В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 78
Текст из файла (страница 78)
2. Интеграл Стилтьеса (9.2.2) существует при условии, что функция )('х) интегрируема на сегменте (а, Ь) ао Риману, а функция и(х) удовлетворяет на этом сегменте условшо Диа!ница, т. е. условию 1и(х') — и(х") ! (с)х' — х"), где с=сонэ!, для любых х' и х" из (а, Ь). Так как функция, удовлетворяющая условию Липшица, является функцией с ограниченной вариацией, то для до к аз ательства этого критерия, очевидно, достаточно рассмотреть лишь случай возрастающей функции и(х), удовлетворяющей условию Липшица, и заметить, что н н Я вЂ” з= ~~~' (М, — и!) Ли(х,) < С~ (М! — и!) Лхо (9.2.4) ь=! 388 Гл. 9.
Определенный интеграл Римана где М;=зпр[(х), т,=(п([(х), х~ [х; ь хг], йги(хг)м и(хь)— — и(х; г), с — постоянная из условия Липшица. Выражение з 1' (Мг — тг) бх, в неравенстве (9.2А) может быть сделано, г=! в силу интегрируемости по Риману функции [(х), сколь угодно малой величиной за счет выбора разбиения сегмента [а, Ь~). Следовательно, величина 5 — з также может быть сделана меньше наперед заданного числа е)0, если выбрать диаметр разбиения достаточно малым.
Согласно утверждению основной теоремы функция [(х) интегрируема по Стилтьесу. В общем случае функции и(х), удовлетворяющей условию Липшица, также можно рассмотреть представление и(х) =ох — [сх — и(х)1=иг(х) — ие(х). В атом представлении обе функции иг(х) и ит(х) удовлетворяют условию Липшица и возрастают*. В таком случае доказательство завершается так же, как и выше. Укажем, наконец, еще один класс интегрируемых по Стилтьесу функций. 3. Если функция [(х) интегрируема на сегменте [а, Ь) па Рамону, а функция и(х) допускает представление в виде интеграла с переменным верхним пределом и(х) =А+ ) гр(с)сЦ, е где гр(9) — интегрируемая на сегменте [а, Ь) по Рамону функция, то интеграл (9.2.2) существует.
Действительно, так как гр(9) интегрируема по Риману, то она ограничена; (<р($) [-кК=сопз(. Следовательно, [и (х) — и (х )1 = ~ ~ гр ($) с(9 ~ < К! х' — х" (. х Позтому справедливость итого критерия вытекает из справедливости предыдущего. Заметим, что в ряде случаев интеграл Стилтьеса ь т'=) ((х)ди(х) сводится к интегралу Римана по формуле а ) ~(х)г(и(х) = ) Г(х)гр(х) дх. (9.2.5) * Дли функции лз(х) при х'>х", очевидно, можно записать соотношение ит (х') — нз (х") ~)с (х' — х") + [и (х') — и (х" ) ] ле.
Дополнение 2 389 В частности, равенство (9.2.5) имеет место в случае, если а(х) имеет ограниченную и интегрируемую в смысле Римана на сегменте [а, Ь] производную и'(х). В этом случае !р(х) = = и'(х). 2. Свойства интеграла Стилтьеса. Сформулируем ряд свойств интеграла Стнлтьеса, непосредственно вытекающих из его определения. а) Линейное свойство как относительно интегрируемой, так и относительно интегрирующей функции (при условии сущест- вования каждого из интегралов Стилтьеса в правой части): ь ь ь ] (а)!+Р1а) да=а] )!да+ Р] )ейи, а а а ь ь ь ~ )д [аи, + 5иа] = а ~ 1".с(и! + Р ~ ~с(иа, а а а здесь а, й — произвольные числа. б) Если выполнено условие а< с<Ь, то ь с ь ~~ (х) с(и (х) = ] 1(х) ди (х) + ~ 1 (х) ди (х), а а а в предположении, что существуют все три интеграла.
Подчеркнем, что из существования обоих интегралов с ь' ~~(х)ди(х) и ]1(х)ди(х), вообще говоря, не вытекает суа с ществование интеграла ] 1(х) ди(х). Вот соответствующий а пример О , если — 1(к<0, А, если 0( х< 1, А чьО; и(х) = О, если — 1 ь„х( О, В, если 0~(х<1, ВФО. о ! [1нтегралы ] !'(х)с(и(х), ~1(х)ди(х) оба существуют и рав— ! ны нулю, так как соответствующие им суммы Стилтьеса все равны нулю. Действительно, в первом интеграле 1(х) =О, — 1~х~О, во втором аи(х,) =и(х,) — и(х! !) =0 для любого ! разбиения сегмента [ — 1, 1].
Однако интеграл ~1(х)ди(х) -! 390 Гл. 9. Определенный интеграл Римана не существует. В самом деле, пусть (х») — разбиение сегмента [ — 1, 1], не содержащее в качестве точки разбиения точку О. Тогда в сумме Стилтьеса а=~~ Г(й,)Ли(х,) остается лишь 1 одно слагаемое, а именно слагаемое 1(5») (и(х») — и(х»,)] =В)(9»), ВФО, для которого точка нуль содержится в сегменте 1х» ь х»].
В зависимости от того, будет ли й» удовлетворять условию й»<0 или $»>0, мы получим, что о=О или о=А ВФО, так что о не имеет предела при стремлении диаметра разбиений к нулю. Указанный факт связан с тем, что как у функции 1(х), так н у функции и(х) точка О является точкой разрыва. в) Для интеграла Стилтьеса (9.2.2) справедлива формула среднего значения. Пусть функция 1(х) ограничена на сегменте (а, б], так что и» <1(х) <М,'а функция и(х) возрастает на этом сегменте. Тогда найдется такое число 1», удовлетворяющее неравенствам т<1» <М, что для интеграла Стилтьеса справедлива формула среднего значения ь ] 1(х) с(и(х) =р(и(Ь) — (а)]. а В частности, если дополнительно предположить непрерывность 1(х) на сегменте:1а, б], то найдется точка $ен(а, Ь] та кая, что р.=1(ь).
Доказательство этой формулы вполне аналогично доказательству формулы среднего значения для интеграла Римана (см. и. 2, $4). Глава 10 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА 5 П ДЛИНА ДУГИ КРИВОИ 1. Понятие простой кривой. Начнем наше рассмотрение с выяснения понятия кривой. Пусть на сегменте [а, р) заданы две непрерывные функции ~Р(г) и ф((). Аргумент этих функций будет в дальнейшем называться цар а метром.
Рассмотрим плоскость (х,у), т. е. совокупность всевозможных упорядоченных пар (х,у) чисел х и у. Каждая такая пара называется т о ч к о й п л о с к о ст и, а числа х и у называются координатам и этой точки. Точка (х, у) может обозначаться также одной буквой М, при этом запись М(х,у) означает, что точка М имеет координаты х и у. Если рассматривать параметр ( как время, то уравнения (10.1) х=ф(1), у=фЯ, а~Мй определяют закон движения точки М с координатами х и у на плоскости. Множество (М) точек М, отвечающих всевозможным значениям параметра 1 из [а, р) можно рассматривать как след точки М, движущейся по закону (10.1). В общем случае даже для непрерывных функций ~Р(1) и ф(() этот закон движения может быть очень сложным.
Например, можно так подобрать непрерывные на сегменте айаг(~ функции ср(1) и ф(г), что при изменении параметра 1 на этом сегменте точки (М(х, у)) заполняют целый квадрат «. Введем понятие п ро с той плоской кривой. Оп р е деле н ив. Множество (М) всех точек М, координаты х и у которых определяются уравнениями х=у(г), у=ф(1) при Г из [а, р), называется простой плоской кривой Ь, если различным значениям параметра г из [а, р) отвечают разные точки множества (М). Каждую точку множества (М), определяющего простую плоскую кривую, называют точкой этой кривой, причем точки, отвечающие граничным значениям а и р параметра г, называются граничными точками простой кривой. При этом говорят„что «уравнения (10.1) определяют простую плоскую кривую Е» или «простая плоская кривая Е параметризощ у~ ю Й (1О.1) с .
г ге д фф,~, р с. !56. В92 Гл. 1О Геометрические приложения определенного интеграла Примером простой кривой является график полуокружности радиуса г, лежащей в верхней полуплоскости с центром в начале координат: х=гсоз1, у=гз(п1, при 0<1~и. Более общим примером простой кривой является график непре- рывной на сегменте [а, Д] функции у=/(х); параметризацню этой кривой вводят по правилу х=1, у=/(1) при 1е=[а, р]. Заметим, что простые кривые не исчерпывают всего множества кривых, которые могут быть определены уравнениями (10.1). В следующем пункте мы рассмотрим более общие кривые, определяемые этими уравнениями.
В заключение этого пункта сделаем два замечания. 3 ам еч а ни е 1. Одна и та же простая кривая Б может быть параметрнзована различными способами. Целесообразно рассмат- ривать только те параметризации, которые получаются из данной путем представления параметра 1 в виде непрерывных строго мо- нотонных функций другого параметра з. При таких преобразова- ниях параметра сохраняется порядок следования точек на кри- вой Е. 3 ам е ч а н не 2.
Пусть Ь, и /а — две простые кривые, при- чем граничные точки кривой Б, совпадают с граничными точками кривой Ба, а любые не граничные точки кривых /.е и Ба различны. Кривая /., полученная объединением кривых 1, и Ьа, называется простой замкнутой кривой. 2. Понятие параметризуемой кривой.
В предыдущем пункте мы рассма~ривали простые кривые. Следует заметить, что в матема- тическом анализе часто приходится рассматривать кривые, не яв- ляющиеся простыми, например кривые, имеющие точки самопере- сечения или целые участки самоналеганин. В связи с этим воз- никает необходимость ввести в рассмотрение понятие так пазы. ваемой п а р а м е тр из у ем ой кривой. Будем считать, что множество (1) представляет собой либо сег- мент, либо полусегмент, либо интервал, либо числовую прямую, либо открытую нли замкнутую полупрямую. Введем понятие разбиения множества (1). Будем говорить, что конечная или бесконечная система сегментов ([1е „1е]) р а з б и- в а е т множество (1), если, во-первых, объединение всех этйх сегментов представляет собой все множество (1) и, во-вторых, об- шили точками любых двух сегментов системы могут быть лишь их копны.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
