В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Утверждение доказано. 3 а меч ание. Требование 3) в утверждении 4 является лишним и обусловлено лишь методом доказательства (желанием применить формулу интегрирования по частям). Для того чтобы доказать утверждение 4 без требования 3), достаточно применить для оценки интеграла ] 7(х) л(х) дх вторую форму- 1 лу среднего значения (см. свойство п. 2 $4 гл. 9). Убедитесь в зтом сами. П р и м е р 1. Рассмотрим интеграл — ах, а>0.
1 (9.1.9) Так как интеграл в правой части этого неравенства равен и (А1) — Ы(Ае), то, очевидно, Гл. 9. Определенный интеграл Римана 378 Полагая 1(х) =8(их, у(х) =1/х", легко убедиться что длп этого интеграла выполнены все условия утверждения 4. Поэтому интеграл (9.1.9) сходится а. + о П р и м е р 2. Рассмотрим интеграл Френеля ~ 81пхЧх. о Согласно п. 1 этого дополнения его сходимость вытекает нз схо+'> +и димости интеграла ) 81пхчх= ~ ха(пхз — дх. полагая /(х) = 1 =ха(пха, у(х) =1/х, легко убедимся, что выполнены все условии утверждения 4. Поэтому интеграл Френеля сходится.
4. Замена переменных под знаком несобственного интеграла и формула интегрирования по частям. В этом пункте мы сформулируем условия, при которых действуют формулы замены переменных и интегрирования по частям для несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим сначала вопрос о з а м е н е п е р еменной под знаком несобственного интеграла.
Мы будем предполагать выполненными следующие условия: 1) функция /(х) непрерьсвна на полуоси а <х<+со; 2) полуось а<к<+оп является множеством значений некоторой строго монотонной функции х=д((), заданной на полуоси а~(<+ос (или — со<(~а) и имеюи(ей на этой полуоси непрерывную производную; 3) у(а) =а, При этих условиях из сходимости одного из следующих несобственных интегралов -с-м +О а ) /(х) с(х и ) 1(к (с)) й (с) й( (или — ~ с (и (У)) У' (с) Й) (9.1.10) вытекает сходимость другого и равенство этих интегралов. Сформулированное утверждение у с т а и а в л и в а е т с я с помощью следующих рассуждений.
Рассмотрим произвольный сегмент [а, А). Этому сегменту 'отвечает, согласно строгой монотонности функции д(1), сегмент [а, р) (или [р, а1) оси 1 такой, что при изменении на сегменте [а, р] значения функции х=д(1) заполняют сегмент [а, А1, причем у(р) =А. Таким образом, для указанных сегментов выполне- 1 1 ох * Так как (з(пх)> ми'х = — — — соз2х и интеграл ) — при 0<о<! 2 2 1 + соз 2х расходится (см. пример 2 из п. 1 $1), а интеграл ) — ох сходится (в е,.м с силу утверждения 4 при /(х)=сов 2х, е(х)=1/(2х'*)), то при 0<ам! интеграл (9.1.9) сходится условно. допьлаение К 5 2 379 (9.1.12) вытекает сходимость другого из этих интегралов и справедливость формулы +Ф +С ~ и (х) о' (х) Йх = 1 — и (а) о (а) — ~ о (х) и' (х) дх. (9.1.13) ь а Для доказательства сформулированного утверждения рассмотрим произвольный сегмент [а, А).
На этом сегменте делствует обычная формула интегрирования по частям. Поэтому л А ~и (х) о' (х) дх= [и(х) о(х)), — ) о(х) и' (х) дх. Так как при А — «+ьь выражение [и(х)о(х)1," стремится к Ь вЂ” и(а)о(а), то из последнего равенства следует одновременная сходимость или расходимость интегралов (9.1.12) и справедливость формулы (9.1.13) в случае сходимости одного из интегралов (9.1.12). р" 2.
Несобственные интегралы второго рода В этом параграфе будет дано обобщение понятия определенного интеграла на случай неограниченных функций. ны все условия п. 3 5 5 гл. 9, при которых действует формула замены переменной под знаком определенного интеграла. Поэтому имеет место равенство л ь а ~ ~(х) дх =) [(д'(1)) д (») Й [нли = — ) ~(Я(т))у'(1) сЦ) (9 1 11) а а Р В силу строгой монотонности функции х=у(1), А-«+со при р-«+оь и, обратно, р — «+ьь при А — «+ьь (или А — «+оо при р-» — ьь и р-» — оо при А — «+со). Поэтому из формулы (9.1.11) вытекает справедливость сформулированного выше утверждения. Перейдем теперь к вопросу об интегрировании по частям несобственных интегралов первого рода.
Докажем следующее Утверждение. Пусть функции и(х) и о(х) имеют непрерывные производные на полупрямой а~к<+во и, кроме того, существует предельное значение 11гп[и(х)о(х))=Т.. При этих ь-»+ условиях из сходимости одного из интегралов + + ) и(х)о'(х)дх и ) о(х)и'(х)дх О О Гл. 9. Определенный интеграл Римана Пусть на полусегменте (а, Ь) задана функция 1(х). Точку Ь мы будем называть ос о б о й, если функция не ограничена на полусегменте (а, Ь), но ограничена на любом сегменте (а, Ь вЂ” а( а>0, заключенном в полусегменте (а, Ь). Будем также предполагать, что на любом таком сегменте функция 1(х) интегрируема.
При наших предположениях на полусегменте (О, Ь вЂ” а) задана функция аргумента а ь-а р (а) = ~ 1(х) йх. а Исследуем вопрос о правом пределе функции г"(а) в точке а=О: ь — а 1ггп ) 1(х) с(х. а-~+О а (9.1.14) ) 1(х) г(х. а (9.1.15) При этом говорят, что несобственный интеграл (9.1.15) сходится ь ь-а и пишут равенство )((х)йх=1)щ ( 1(х) йх. а +О а а Символ (9.1.15) употребляют и в случае, если указанного вы. ше предела (9.1.14) не существует, но в этом случае говорят, что несобственный интеграл (9.1.15) расходится. 3 а м е ч а н и е.
Понятие несобственного интеграла второго рода легко переносится на случай, когда функция 1(х) имеет конечное число особых точек. П р и м е р. Рассмотрим на полусегменте (а, Ь) функцию 1(х) =11(Ь вЂ” х)", Л>0. Ясно, что точка Ь является особой точкой для этой функции. Кроме того, очевидно, что' функция интегрируема на любом сегменте (а, Ь вЂ” а|, а>0, причем (Ь вЂ” х)' ~ ~~ " (Ь вЂ” а)г ~ — аг — при Лчь1, — Л 1 — Л вЂ” 1п(Ь вЂ” х)(а "=!п(Ь вЂ” а) — 1па при Л=1.
г(х (Ь вЂ” а)' Очевидно, предел 1пп ! „существует и равен 1 — Л а при Л<1 и не существует при Л>1. Следовательно, рассматриваемый несобственный интеграл сходится при п<1 и расходится при Л а1. Определение. Правый предел (9.114) в случае, если он существует, называется н е с о б с т в е и н ы м и н т е г р а л о м в т араго рода от функг(ии )"(х) по сегменту (а, Ь1 и обозначается символом ь Дополнение 1. $2 Сформулируем критерий Аоьии сходимости иесобственног/ь интеграла второго рода.
При этом мы будем предполагать, что функция 1(х) задана на полусегменте 1а, Ь) и Ь вЂ” особая точка этой функции. Утверждение 5 (критерий Коши). Для сходимости несобственного интеграла второго рода (9.1.15) необходимо и достаточно, чтобы для любого е>0 можно было указать такое 6>0, что для л/обых а' и а", удовлетворяющих условию 0<сел< <а'<.6, справедливо неравенство Ь вЂ” а' ) /(х) с(х~ < е. Ь-а' Справедливость этой теоремы вытекает из того, что понятие сходимости интеграла по определению эквивалентно понятию существования предельного значения функции Г(а), введенной в начале этого пункта.
Мы не будем подробно развивать теорию несобственных интегралов второго рода. Это объясняется тем, что. основные выводы и теоремы предыду1цего параграфа без труда могут быть перенесены на случай интегралов второго рода. Поэтому мы ограничимся некоторыми з а м е ч а н и я м и. 1'. При некоторых ограничениях на подынтегральные функции интегралы второго рода сводятся к интегралам первого рода.
Именно: пусть функция 1(х) непрерывна на полусегменте (а, Ь) и Ь вЂ” особая точка этой функции. При этих условиях в интеграле Ь вЂ” а ~ /(х)с(х, а>0, мы можем произвести следующую замену пеа ременных: а/ 1 1 х=Ь вЂ” —, с(»= —, „(1 ( —. Р Ь вЂ” а Я В результате этой замены переменных мы получим равенство 1/а (9.1.16) 1/(Ь-а) ь Пусть интеграл ) /(х) ах сходится, Это означает, что сущеста Ь-а вует предел !пп ( /".(х)ах.
Обращаясь к равенству (9.1.16), а-~+о мы видим, что существует также и предел при 1/а-~+оп выражения в правой части (9.1.16). Тем самым доказана сходимость несобственного интеграла первого рода Гл. 9. Определенный интеграл Римана са82 |ЛЬ- 1 ь ш равенство этого интеграла интегралу ) у(х) йх.
Очевидно, а -сходимость только что указанного несобственного интеграла перь свого рода влечет сходимость интеграла ) у(х)йх и равенство а этих интегралов. Итак, из сходимости одного из интегралов ь +ы ~~(х)йх и ~ у(Ь вЂ” — ) —,Й а 1ль — а) ,следует сходимость другого и равенство этих интегралов. 2'. Для несобственных интегралов второго рода легко доказы: ваются утверждении, аналогичные утверждениям и. 2 предыдущего параграфа, которые можно объединить общим наименованием «призна ки ср а в пения». Отметим, что во всех формулировках функция 1(х) рассматривается на полусегменте [а, Ь), где Ь вЂ” особая точка функции. Ч а стны й признак сравнения будет иметь следу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
