В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 64

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 64)

е. 1,(а) =с=сонэ(. Сопоставляя между собой равенства (8.19') — (8.19") и учитывая, что .)„(г) =с, будем иметь )(г) = (г — Ь1) (г — Ь,),. (и — Ь„)с. (8.20) Отметим, что комплексная постоянная с не равна нулю, ибо в противном случае многочлен 1(г) был бы тождественно равен .нулю и не являлся бы многочленом и-й степени **". Из равенства (820) очевидно, что 1(Ь1) =)(Ьт) =...=)(Ь„) =О, т. е. каждое из чисел Ь„ Ьь ..., Ь„ является корнем многочлена ,э(г). Кроме того, из (8.20) очевидно, что, каково бы ни было комплексное число Ь, отличное от Ьь Ьь ..., Ь„комплексное число * Доказательство основной теоремы алгебры обычно приводится в курсах алгебры и в курсе теории функций комплексной переменной. '* При этом, конечно, предполагается, что п)О. *'* Здесь мы используем следуюгдее утверждение: если многочлен )(з) = =аеа"-~-а,а"-'+.„+а„,а+а' тождественно равен нулю, то асе его коэффициенты равны нулю.

й самом деле, если 1(а) = — О, то при а=о получим аз=о. Но тогда)(з) — а(асс"-'+а~а з+...+а 1) ==О. Так как анто, то вырансение в квадратных скобках тождественно равно нулю, откуда при а=о получим а„,=о, Продолжая аналогичные рассуждения далее, докажем, что все коэф.фициенты равны нулю, $3. Классы функций, интегрируемых в элементарных фунициях 309 ((Ь) не равно нулю в. Таким образом, многочлен 1(г) имеет ровно п корней: Ь,, Ьз, ..., Ь,.

Равенство (8.20) дает разложение многочлена 1(г) на множители. Если известен вид многочлена 1(г) (8.16), то мы можем определить постоянную с в равенстве (8.20). Сравнивая в равенствах (8.20) и (8.16) коэффициенты при г", получим с=с,'*. Многочлен (8.16), у которого со=1, называется п р и в еде чны м. Для приведенного многочлена формула разложения (8.20)' принимает вид 1(г) =(г — Ь!) (г — Ьз) „(г — Ь„), (8.21) В дальнейшем, если не оговорено противное, мы будем рассматривать приведенньсе многочлены. Среди корней многочлена )(г) могут быть совпадающие корни, Пусть а, Ь, ..., с — р а з л и ч н ы е корни приведенного много- члена 1(г). Тогда для этого многочлена представление вида (8.21) принимает форму следующего равенства: )(г) = (г — а) "(г — Ь)"...

(г — с)т. (8.22) В этом разложении а, (), ..., у — некоторые целые числа, каждое из которых не меньше единицы, причем а+р+...+у=а, где и— степень многочлена 1(г). Если для многочлена )(г) справедливо разложение (8.22), то говорят, что комплексное число а является корнем 1(г) к ра тности а, комплексное число Ь является корнем )(г) кратности (1, ..., комплексное число с является кар и ем 1(г) к ра тности у. Корень, кратность которого равна единице, принято называть однократным, а корень, кратность которого больше единицы, принято называть к р а т н ы м.

Можно дать и другое эквивалентное определение корня данной кратности: комплексное число а называется к о рн ем много- члена )"'(г) кратности а, если для )(г) справедливо представление 1(г) =(г — а)'ф(г), где зр(а)чь0. (8.23) 3'. Пусть теперь 1(г) -гн ) с гг-~ ) с гн-я ) (8.24) приведенный алгебраический многочлен с вещественными коэффициентами с„сж ..., с„, Ибо произведение нескольких комплексных чисел равно нулю лишь в том случае, когда равен нулю хотя бы один из сомножителей (см. п.

!). *' Здесь мы используем утверждение: если дванногочлгна агя"+ага""'+. ..+а„и Ьгг" +Ьгг"-'+.,+Ь„тождественно равны друг другу, го аз= Ьг, а~=Ьь .. а„=Ь„. Для доказательства достаточно к разности указанных мвогочлеаов применвть утверждение, отмеченное в сноске *э* на с. 308. З1О Ги. В, Первообразиая функция и неопределенный интеграл нлн, что то же самое, (8.25)з Пусть теперь комплексное число а является корнем много.

члена с вещественными коэффициентами )(г) кратности Л, т. е. справедливо представление Г(г) = (г — а)з~р(г), (8.26т (8.27р в котором р(а) ~0. Из сопоставления (8.26) и (8,25) вытекает, что Г (г) = (г — а) ~р (г), а последнее равенство в силу (8.14") можно переписать в виде ) (г) = (г — а) ~р (г). (8.28) Заметим теперь, что в силу установленного выше соотношения (г") = (2") справедливо равенство (г — а) =(г — а) =-(г — а), (8.29) Докажем, что этот многочлен обладает следующим важныи свойством. Теорема 8.3. Если комплексное число а является корнеле многочлена с вещественными коэффициентами (8.24) кратности Л, то и сопряженное ему комплексное число а также является корнем этого многочлена той же самой кратности Л. До к а з а т е л ь с т в о.

Начнем с того, что докажем следующий вспомогательный факт: если Я(г) — многочлен с в е ш ее те е н н ы м и коэффициентами, то комплексная величина )(г~ является сопряженной по отношению к величине )(г). Так как коэффициенты многочлена (8.24) являются вещественными числами, то для доказательства указанного факта достаточно убедиться в том, что для любого номера и комплексная величина (г)" является сопряженной по отношению г". Но это последнее сразу вытекает из утверждения, доказанного в самом конце и. 1, точнее, из соотношения (8.14"). Положив в этом соотношении г =г,=г, мы получим, что (г')=(г)'.

Далее, положив в том же соотношении (8.14"), г1=га, гз=г, мы получим (гз) = (гз) г = (г)з Продолжая аналогичные рассуждения, мы убедимся в том, что (г") =(г)" для любого номера и. Итак, доказано, что величина 7(г) является сопряженной по отношению к величине Г(г), т. е. ~(г) =~(г) Ь 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 311 Подставляя (8.29) и (8.28), мы получим представление )(з) =(з — а)'ф(х), (8.30) в котором через ф(г) обозначена величина Ф (з) =- ф (з). (8.31) Для завершения доказательства теоремы 8.3 остается убедиться в том, что ф(а) ФО*, но зто сразу вытекает из того, что в силу того, что согласно (8.27) ф(а) не обращается нуль "*.

Теорема 8.3 доказана. 3. Разложение алгебраического многочлена с вещественными мозффициентами на произведение неприводимык множителей. В дальнейшем нам придется иметь дело с многочленами от переменной, принимающей лишь вещественные значения. Поэтому зту переменную мы будем обозначать буквой х, а не х. Пользуясь теоремой 8.3, найдем разложение многочлена с вещественными коэффициентами 1(х) на произведение нсприводимых вещественных множителей. Пусть многочлен )(х) имеет вещественные корни Ьь Ь,,...,Ь кратности бь рх, ...,]) соответствен.но и компленсно сопряженные пары корней а~ и аь ах и ах, ...,а и а„кратности Ль Лх, ...,Л, каждая пара соответственно.

Тогда, согласно результатам п, 2, многочлен )(х) может быть представлен в виде у(х) =(х — Ь,)Р'(х — Ьх)а*...(х — Ь )а'" м х (х — ах) '(х — а ) '(х — ах) *(х — ах) '...(х — ал) "(х — а„) . (8.32) Обозначим вещественную и мнимую части корня аь (й=!,2, ...,и) соответственно через ыь и оы т. е. пусть аь=ыь+(оь Тогда ах=их — (ое. Преобразуем для любого Й=),2, ..., и выражение (х — аь) л(х — аь) л = ((х — ал) (х — пе)] ь = к — х х = ((х — и„— (оь) (х — ил + (о,)] и = == [(х — иь)х + охе] « = (х'+ р,х + г)л) ь, 2 х в.де р„= — 2ию де =- иь+ ое. Используя (8.33) в (8.32), окончательно получим следующее разложение многочлена ((х) на произведение вещественных не- приводимых множителеи: * Ибо представление (3.30) при условии ф(а) ФО и аэначвет по определе.

~нию, что комплексное число а является корнем многочленв 1(х) кратности Х. "' Мы учитываем, что комплексное число равно нулю тогда и только тогда, когда равно нулю сопряженное ему комплексное число (см. п. 1 настоящего аарагрвфа). згз г л 8. Первообрааная функция н неопределенный интеграл р(х) =(х — Ь,)Р'(х — Ьа)Р*... (х — Ь )"'" х Х (х'+ Рх + г))"'(ха+ Рах+ г)а) ...(х'+ Рх+ г)) ".

(834) Мы приходим к выводу, что многочлен ((х) с вещественными коэффициентами распадается па произведение (8.34) неприводи- мых вещественных множителей, причем множители, соответствую- щие вещественным корням, имеют вид двучленов в степенях, рав- ных кратности корней, а множители, соответствующие комплекс- ным парам корней, имеют вид квадратных трехчленов в степе- нях, равных кратности этих пар корней. 4.

Разложение правильной рациональной дроби на сумму прос- тейших дробей. Р а ци он а ль ной дробью называется отно- шение двух алгебраических многочленов. Всюду в дальнейшем мы будем рассматривать рациональную дробь, являющуюся отношением двух алгебраических многочле- нов с в е ш е с т и е н н ы м и коэффициентами (такую дробь при- нято называть рациональной дробью с веществен- ными коэффициентами). Р (х) Рациональная дробь — называется п р а в и л ь н о й, если гс (х) степень многочлена Р(х), стоящего в числителе, меньше степени многочлена Я(х), стоящего в знаменателе, В противном случае рациональная дробь называется не и р а- вильной. Докажем две вспомогательные теоремы. Л е м и а 1.

Пусть — — правильная рациональная дробь Р (х) Я (х) с вещественнагми коэффициентами, знаменатель (г(х) которой имеет вещественное число а корнем кратности а, т. е. г;)(х) = (х — а)'гр(х), где гр(а) ~0. (8.35) Тогда для этой дроби справедливо следующее представление; (к) т ) (8 б) гг(к) (х — а) (х — а]~ а гр(к) В этом представлении А — вещественная постоянная, равная А = —, й — целое число, удовлетворяющее условию й) 1, Р (п) ~р (а) гр(х) — некоторый многочлен с вещественньсми коэффш(иентами такой, что ггоследняя дробь в правой части (8.3б) является пра- вильной.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначив через А — вещественное Р(п) ' число А =-, рассмотрим разность ф (п) * Число А всегда определено, нбо Чг(а) ФО в силу (8.85). $ 3. Классы функций, интегрируемых в элементарных функциях 313 Р (х) А О (х) (х — а)" Приводя эту разность к общему знаменателю, будем иметь Р (х) и Р (х) — А!р(х) Ф (х) О (х) (х — а)а (х — а)" ср(х) (х — а)а !р(х) ' где через Ф(х) обозначен многочлен с вещественными коэффициентами вида Ф(х) =Р(х) — Аф(х).

Так как Ф(а)=Р(а) — Аср(а)=Р(а) — — ср(а)=О, вещест- Р (а) !р (а) венное число а является корнем многочлена Ф(х) некоторой, кратности й~1. Это означает, что справедливо представление Ф(х) = (х — а) х!р(х), где ф(а) ФО, (8.38) а ф(х) — некоторый многочлен с вещественными коэффициентами. Вставляя представление (8.38) в равенство (8.37), окончательно будем иметь ср (а) чьО, (8АО) Я(х) =(хх+рх+гр)'чр(х), где р(а)~0 р= — 2и, !)=ив+о'. Тогда для этой дроби справедливо следующее представление: — (8.4!! е ы <Р.! !* !-,!' е' !.,*.;,! Ее!*! ' В этом представлении М и )х' — некоторые вещественные постоянные, й — целое число )1, а ф(х) — некоторый многочлен с вещественными коэффициентами такой, что последняя дробь в правой части (8А1) является правильной.

Характеристики

Список файлов книги