В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Бл.Х. Сендов - Математический анализ (PDF) (1108882), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Конечно, теорема 7.9 имеет более узкунг сферу. действия, чем теорема 7.8. Так, теорема 7.9 не решает вопроса о наличии перегиба для случая, когда у функции у=)(х) не существует конечной третьей производной, а также для случая, когда 1(а>(с) =О. В последнем случае для решения вопроса о наличии перегиба нужно изучить поведение в точке с производных высших. порядков, что будет сделано нами ниже (см. п.
5). Возвратимся к примеру, рассмотренному в п. 2, и покажем, что вопрос о наличии перегиба у графика функции у=х' — Зх' — 4 может быть решен и при помощи теоремы 7.9. В самом деле, )<а>(х) =6МО, значит, точка М(1, — 6) является точкой перегиба согласно теореме 7.9. б. Третье достаточное условие перегиба. Установим еще одное достаточное условие перегиба, пригодное для случая, когда в данной точке с обращаются в нуль как вторая, так и третья производные рассматриваемой функции. Аналогом теоремы 7.3 является следующее утверждение. Теорема 7.10.
Луста п)2 некоторое четное число, и пусть функция у=)(х) имеет производную порядка и в некоторой окрестности гочки с и производную порядка и+1 в самой точке с. Тогда, если выполнены соотношения (<а>(с) =)>а>(с) = . =Я>(с) =О, 1(аы>(с)ФО, (7.3*), го график функции у=> (х) имеет перегиб в точке М(с, 7(с)). Дока з а тельство, При п=2 теорема 7.10 совпадает с уже доказанной выше теоремой 7,9, так что нужно вести доказательство лишь для четного п)4. Пусть четное число и удовлетворяет условию пъ4, н пусть )ы+»(с) МО.
Тогда, в силу теоремы 6.1 о достаточном условии возрастания нли убывания функции в точке, функция )гл>(х) либо убывает в' точке с (при 1("+»(с) (0), либо возрастает в втой точке (при 1(вы>(с)>0). Поскольку, кроме того, )>а>(с)=0, то н ь том, и в другом случае всюду в достаточно малой окрестност>ь точки с функция )са>(х) имеет разные знаки справа и слева от с Заметив зто, разложим функцию 7>а>(х) в окрестности точки а по формуле Тейлора, записав остаточный член в форме Лагранжа (см, з 7 и 8 гл. 6). Мы получим, что для всех х из достаточно малой окрестности точки с между х и с найдется точка с тае кая, что Ра>(х)=Р>(с)+ " (') (х — с)+ ... + ~ (') (х — с), + 11 (л — 3)1 ра>а),, 4„, (в — 2)! 279 $4.
Асииитогы графика функции В силу соотношений (7.3«) написанное разложение принимает вид 71и(х) = (х — с)"-'. 1(«1 («н) (7.4*) 1 и — 2)! Выше мы установили, что 'для всех х из достаточно малой *окрестности точки с производная )оо(х) имеет разные знаки справа и слева от с. Так как ~ лежит между х и с, то для всех х из достаточно малой окрестности точки с величина 71">5) (а значит, в силу четности п и вся правая часть (7.4«)) имеет разные знаки справа и слева от с. Итак, в силу равенства (7.4') для всех х из достаточно малой окрестности точки с производная 1И1(х) имеет разные знаки справа и слева от с. В силу теоремы 7.8 график функции у=7(х) имеет перегиб в точке М(с, ((с)).
Теорема доказана. Замечание. Очень важным является требование четности л в теореме 7.10 (сравните эту теорему с теоремой 7.3). Рис. 7.12 эг 7.13 иллюстрируют исследование на экстремум и перегиб графи- Рис. 7.12 Рис. 7.13 ка функции у=(х — 1)"+'. В силу теорем 7.3 и 7.10 эта функция имеет минимум в точке х=1 при нечетном и, а ее график имеет перегиб в точке М(1, О) при четном п (проверьте это сами). а 4. АСИмнтОты ГРАФикА Функции Определение 1. Говорят, что прямая х=а является вертикальной асимпто той графика функции у=1(х), если хотя бы один из пределов 1пп 7'(х) или 1пп 7'(х) «- «+а «- и — и равен +со или — оо, Гл.
7. Исследование графика функции 2ВО является наклонной асимптотой графика функции у= =1(х) при х — «.+со, если !(х) представимо в виде [(х) = Ьх+Ь+а(х), (7.9) где 1пп а(х) =О. «+Ф Рис. 7.!4 Теорем а 7.!1. Для того чтобы график функции у=)(х) имел х — +со наклонную асимптоту (7.8), необходимо и достаточно, чтобы существовали два предела !пп — =)е и !пп [/'(х) — Ах)=Ь. 7 (х) «.«+ х «-«+ « Доказательство. 1) Необходимость, Пусть график функции у=)(х) имеет при х-+-+со асимптоту (7.8), т. е. для 1(х) справедливо представление (7.9). Тогда !пп — = !пп 1(х) . ох+ Ь+ ц(х) .
Г Ь а(х) 1 = 1пп 1/г+ — + — 1 =(е, « ~+««х «3+Ф х «-,+~ ~ х х !цп [[(х) — Ьх~)= 1пп [Ь+а(х)[=Ь. « ~+Ф «-«+ Ф (7.10) 2) Достаточность. Пусть существуют пределы (7.10). Второй из этих пределов дает право утверждать, что разность 1(х)— — )ех — Ь является бесконечно малой при х -+со. Обозначив эту бесконечно малую через а(х), получим для 1(х) представление (7.9). Теорема доказана. 3 а и е ч а н н е.
Аналогично определяется наклонная асимптота и доказывается теорема 7.11 и для случая х- — оо. 2««+ х П Р и м е Р. ГРафик фУнкции У = — имеет наклонную х+1 1 П р и м е р. График функции у= — имеет вертикальную х 1 1 аснмптоту х=0, ибо 1цп — = + со, 1!гп — = — — со (рис. 7.14) «- о+о х оо х Предположим, далее, что функция у=)(х) определена для сколь угодно больших значений аргумента. Ради определенности будем рассматривать сколь угодно большие значения положительного знака. Определение 2.
Говорят, что прямая У =йх+Ь (7.8) $5. Построение графика функции асимптоту У=2х — 1 и при х- +со, и при х- — со и, кроме того, имеет вертикальную асимптоту х= — 1 (рис, 7.15). В самом деле, 1ип — = 1ип =2, 7(х) . 2хк+ х к тк х «-~як к(х+ 1) 1'ии 11 (х) — 2х) = 1 ив ~ — 1 + — 1 = — 1, 1 к-ка к к-ке о х+1~ 1ип 1(х) = + оо, 1!гп 7'(х) = — оо. к-~ — Н-о к-1 — ! — о Наряду с линейной асимптотой (7.8) рассматривают также и асимптоты более сложного вида. Говорят, что парабола п-го порядка, определяемая лногочленом у=а х +а„1х"-'+ ...
+а,х+а„ (7.8*) является а с и м п т о т о й графика функг(ии у=((х) при хк-+ос, если функг(ая )~х) представила в виде )(х) =а ха+а„1х" '+ ... +а1х+ао+а(х), 1ип и(х)=0. к"к+ к Легко доказать следующее уттверждение. Длч того чтобы график функг(ии у =1(х) имел при х-к + оо Рис. 7.15 асимптоту (7.8*), необходимо и достаточно, чтобы существовали следующие п+1 пределов: 1ип — = а„, 1ип 7 (х) . 7(х) — а„х" =а„ь ..., + хк ы к 1 хк-г (х) — (а„х" + а гх" 1 -1- ... -1- акх') 1ип а„ х +с х 1ип [7 (х) — (а„х" + а„ ~х"-' + ...
+ а,х)] = а,. к-к+к й 5. ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ФУНКЦИИ В этом параграфе мы изложим схему, по которой целесообразно проводить исследование графика функции, и приведем пример, иллюстрирующий эту схему. Гк. 7.'Исслецоваиие графика функции 262 Для исследования графика функции у=!'(х) целесообразно прежде всего провести следующие исследования: 1'. Уточнить область задания функции.
2'. Выяснить вопрос о существовании асимптот (вертикальных и наклонных). 3'. Найти области возрастания и убывания функции и точки экстремума. 4'. Найти области сохранения направления выпуклости и точки перегиба. 5'. Найти'точки пересечения графика функции с осью Ох.
По полученным данным легко строится эскиз графика функции. В качестве примера построим график функции у= ха — 5ха -1- Рэх — 15 (7.11) Будем следовать изложенной выше схеме. 1'. Поскольку функция (7.11) представляет собой рациональную дробь, то она определена и непрерывна всюду на бесконечной прямой, кроме точки х=О, в которой обращается в нуль знаменатель.
2'. Выясним вопрос о существовании асимптот. Очевидно, что ка — 5ха + 19к — 15 1нп, = — оо, а+а «а поэтому график функции имеет вертикальную асииптоту х=О. Далее, нз существования пределов !!гп — = 1!гп ха — 5ха -1- 19:г — 15 к-~к к х ', к-~Э ха 5 19 15 1 = 1пп (! — — + — — ) =1 а к-~к в х х ха) ха — 5ха+ 19х — 15 — ха к Кс к Ьк ха 19 15 ) = !нп ( — 5+ — — — )= — 5 к «Ф х х' к вытекает, что прн х-к.+оо н при х- — оо график функции имеет наклонную асииптоту У = х — 5.
3'. Для нахождения областей возрастания и убывания вычислим первую производную функции (7.11): х — 19х+ 30 (х+ 5) (х — 2) (х — 3) ха ха Имея в виду, кроме того, что сама функция и первая производная не,существуют при х=О, мы получим следующие области сохранения знака у: 283 $5. Построение графика функции а<к<+ < к < — 5 -5 < к < О О<к<2 2<к<О Облесть значения к Знак д' убываег Поведение функции возрастает убывает возрастает возрастает Из приведенной таблицы очевидно, что функция имеет следующие точки экстремума: 1) максимум при х= — 5, причем 1( — 5) = — 14, 4; 2) максимум при х=2, причем 1(2) =2,75; 3) минимум при х=3, причем 1(3) =2,666.... 4'.
Для нахождения областей сохранения направления выпуклости вычислим вторую производную 45 ) зр( — — ) 121 882 — 90 1 19 ! кз кз о<к<— 45 19 — < к < -1- 15 19 Область назченяа к —.- <к<о Знак у(з) Направление выпукло- сти графика вверх вниз вверх Из приведенной таблицы очевидно, что график функции имеет 545 (45'1 перегиб в точке ( —, 1 ( — )). Легко подсчитать, что 19 (, 19) 5'. Остается найти точки пересечения графика с осью Ох.'Эти точки соответствуют вещественным корням уравнения х' — 5х'+19х — 15 = О. Легко видеть, что х' — 5хз+19х — 15 не (х — 1) (х' — 4х+15) . Поскольку квадратный трехчлен х' — 4х+15 не имеет вещественных корней, то рассматриваемое уравнение имеет только Один ве- Имея в виду, что сама функция и ее производные не существуют в точке х=О, мы получим следующие области сохранения 'знака у121.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
