А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 23
Текст из файла (страница 23)
. . Вт матрицы В линейно выражаются друг через друга.Теорема9.4.6(основная теорема о линейной зависимости).Пусть в линейном пространстве к V линейно независимая системаэлементов 'иl"ментов 'Нl1'';., 'С, линейно выражается через другую систему эле1},,s.Тогда л: =( S.Доказательство. Допустим противное: пустьшегопредположенияr > з.В силу на200ГлаваТак как т>9.Линейные пространства8, то Т строкв линейном пространстве строк К" линейно зависимы: найдёгся ихлинейная комбинация с коэффициентаминекоторого 'i, равная нулевой строке (О,",]" .. , k" где ""... , О)fО дляЕ К".
Но тогда и линейная комбинация элементов '1)1, ... ~ 'и 1 , С ЭТИМИ же коэффициентамиk], ... , k,., равна нулю, k]'U]элементов 'U1 1..•+ ... + k.,.·u-c= О. Таким образом, система,'ит линейно зависима, что приводит нас к противоречию.ОСледствие9.4.7.Две эквивалентные конечные линейно независнные системы в лннгйном пространстве к V содержат равное числоэлементов.Следствие9.4.8.Для системы 5 ~KV,гдеKV -конечномерноелинейное пространство, любые две (конечные) максимальные линейнонезависимые1'(5), называемоеСледствиеподсистемысодержатрангом системы9.4.9.Еслиодинаковоечислоэлементов5.5 = KVи к1!-конечномерное линейноепространство, то любые два базиса в к 17 состоят ИЗ одного и того жеn, ЭТО число n называется размерностьюKV, обозначение: dimKV = n.числа элементовпространствалинеiiногоКак мы видели ранее, одним из базисов в линейном пространствестрок к К'" является система строк'1=(1,0....
0).Е n = (О , О ,н поэтому сЕт к К"Следствие=9.4.10.Если в конечномерном лннейнон пространстве кl! одна система элементовгую систему52,то... ,l),N.1'(5]) ( 1'(52).5]линеiiно выражается через дру2019.4. Зенеченяе о линейной выражаемостиСледствиеЕсли в линейном пространстве9.4.11.из тn. элементов имеет ранг т, то любая её подсистематов(3 ,:; т) имеет ранг не меньше чем rДоказательство.Действительно,нейно независимая подсистема в 111,IR\ (RЛ 5')1 ,:;поэтому+з -еслиKV система Мs' из .'3 элеменm.R-максимальная= 'r, то R\(RЛ5') с 111\5', ит - 8. Следовательно, IRn5'1 ~ r - (т - 8) ==Т+8-m.ОСледствиеусловия1)лиIRI9.4.12.Для системы строк '/)1, ...,'u,.Е К" следующиеэквивалентны:система строк Vl, .. " V 1• является бэ.зисом линейного пространства строк К " (т.
е. максимальной линейно независимой подсистемой строк в К": и тогда т =2)каждая строкаv71.);Е К" единственным образом представляетсяв виде линейной комбинации(и тогда т ==n3)т4)т =71.71.);и система строк 'Vl, .. ,:VNлинейно независима;И каждая строка 'И Е К " представима в виде линейнойкомбинацииДоказательство.что 2)Л!'Иl==?+ ... + Л,I'.,.два различныхо = оПри этом тМы уже показали, что 1)1). Если 'иl,.. ', 'О,. -==?2). Покажем,линейно зависимая система строк,= О С некоторым Л;.iо, то нулевая строка имеетпредставления. Uj +. .+ о ·U,.= Лl'l)l+ ...
+ Лт'U"Л;=n, так как .любые базисы в К" содержатt"fI.о.элементов.Ясно, что 1) ==? 3). Покажем, что 3) ==? 1). Для любой строки'()Е К " система строк 'Иl, ... ,'И п , 'и линейно зависима (ТI.+ 1 > ТI.).Так202Главакак 'иl",,: 'и n -Линейные пространства9.линейно независимая система, ТО '() = Лl'Ulдля некоторыхЯсно, что.\], ... ,.\n Е К.1)4). Покажем,=ЧТО 'иl",,) 'и n -что=4)+.. .+Лn'Un1).Допустим,линейно зависимая система. Тогда её максимальнолинейно независимая подсистема 'l)-i.1" .. ,'Ui.'I"' Г<П"является максимальной линейно независимой подсистемой в К"; что противоречит.,.=n.9.5.ОЕдинственностьглавного ступенчатого вида матрицыТеоремаПусть А, В, С Е Мщn(К), В и С9.5.1.ступенчатые-матрицы, полученные из ненулевоii матрицы А конечным числом элементарных преобразованиii строк l-го, 2-го и 3-го типов.
Тогда:1)системы строк {В],... , Вт}матрицы В и {С],... , Ст}матрицы С в линейном пространстве строк К" линейно выражаются друг через друга(другими словами, линейные оболочки строк матриц А, В и С в К" совпадают: (А 1 , .•. , А т.) == (BI,' ", В"'.) = (С]"", Ст!,2)чнспел,И"'2ненулевыксм, с. 107);строквступенчатыхВ н С (,ООТНСТСПJС/IIЮ соннэлгкп (при этом~,Iilll/\ (!\ [, , , ' , А",);UУЛУ'I' лнны Н теорем(''" =матрицах"'1лругие интерпретации числа т =9,16,\"'2=.,.(А)о ранге матрицы);З) Jll-I/IСрЫ С"Г1JO/( ступенчатых матриц В и С располагаются в одинк /1 тех Ж(' сюлбннх;Ij)"ели!\Е:Jiи Сглавные ступенчатые виды ненулевой матрицы-J\!I"",,(J\),тоJJ ~ С,Докаэательство,\)В l'II,IIY знмечапи»системы строк9.4,5, в линейном пространстве строк К"{;\ 1, , , ' , II",} матрицы А и {В 1 , ...
, В".,} матрицы В,1I111lСЙIIO выражаютс» друг через друга. Аналогично, системы строк{;1[, ' , , , II",}матрицы А н{C 1 ,'"С m } матрицы С также линей-но выражаются друг через друга. Принимая во внимание транзитивность линейной выражаемости систем строк (см, следствие 9.4.2), по-9.5.203Единственность главного ступенчатого вида матрицылучаем, что системы строк {В], ... ,Вт} матрицы В и {С]' .... Ст }матрицы С линейно выражаются друг через друга.
Следовательно,(А], ... ,А т )Так2)как=ненулевые(В], .. . ,дn)строки=(С], ... ,Ст ) .ступенчатойматрицымаксимально независимую подсистему строк, то из"'2 (см. следствие"'[ =9.4.10),1)образуютследует, чтопри этом.,. = Тl = Т2 = dim(B 1 , · · · , Вт) ==Пусть3)лидеры.,.dim(C1 , ... , Ст )иенулевыхстрок= dim(A 1 , . . , Аm ) .В[, В 2 , .•. , В;ступенчатой матрицы В расположены в столбцах с номерамиk[<k2< .. <k 1 , k2"", k,.,k,., а лидеры r ненулевых строк 0.1,0.2, ... , С,. ступенчатой матрицы С расположены в столбцах с номерами1[,12,' .. ,1,.,11 < [2 << 1,.. Так как системы строк {В 1 , В2"", В,.},{С" 0.2, ...
, Се} линейно выражаются друг через друга, то, в силу леммы 3.5.5 и следствия 3.5.6, k 1[[ ~ min{k;,} = k 1 ) .=I[ (k[ ;;, min{I;}=11;ЕслиВ 2 = L Л 2j Сj .j=lтоЛ21=О=/121'При меняя0.2 = Lf.'2jBj,j=lнаше рассуждение длясистем{В2 , ... , В,.} и {С2 , ... , С,.}, которые линейно выражаются друг черездруга, получаем, чтоk2 = [2.Продолжая этот процесс, убеждаемсяk J'=в том, что k з= I;J,..[1'.4)Встолбцов2) и 3) доказано, что число ненулевых строк т1[, ... ,1,., 1 (; '[ < [2 < .' < 1,. (; n, в которыхи номеранаходятсяглавные неизвестные главных ступенчатых видов В И С, сиределены однозначно.
Таким образом, разбиения на главные н свободныенеизвестные, определяемые ступенчатыми видами В и С, сонпадают.Поскольку главные неизвестные однозначно выражаются через свободные (в эквивалентных однородных системах линейных уравненийс главными ступенчатыми матрицами В и С), при этом главный ступенчатый вид определяется этим выражением однозначно (см. замечание3.6.9), то В = СО204ГлаваЗамечание9.5.2Линейные пространства9.(матричное доказательство п.4теоремыо единственности главного ступенчатого вида).
для А Е IVIm,п(К)существуют такие обратимые матрицы Р, С Е lVIm(К) (произведенияматриц.соответствующихэлементарнымпреобразованиямстрок),чтоА=Р·В=С·ССледовательно,где D = р- 1 с .В = D . С,Используя определение главного ступенчатого вида и переставляястолбцы матриц В и С, имеем:B·Q=гдеQ(-%ti-)Е lVIп,(К) (матрица=D·Q-(*)=D·C·Q,(9.1)обратимая матрица, соответствующаяпоследовательности элементарных преобразований столбцов; мы ужедоказали в п.2и3,что числа г и столбцы]1, .
.,З,·, в которых стоятлидеры строк, одинаковы для ступенчатых матриц В и С, соответственно; нулевые блоки могут отсутствовать (еслиСледовательно, матрицагде матрица*'DЕ r-Лm,m-r·(I() (если т<элементов поля К. Поэтому, умножаяиприравниваяk=r=т)),имеет следующий блочный вид:тn) СОСТОНТ ИЗ произвольныхDнак(-%ti-)получаем, что* = *' Еполучаем В =С.lvI т _ , n _ ,, ( К ) , Умножая(91) справа на (2-1,9.6.205ИзоморфИЗМ линейных пространств9.6.Изоморфизм линейных пространствПусть кU, К Vлинейные пространства над полем 1<.
Биектив-ное отображениекиf:-;кУдля которогоНИj+ 'и2)= Нщ)+ f(U2),j(ku) = kj(u)для всех ти , 'и2,'и Е кU,пространств кU ипространства кUk Е 1<, называется изоморфизмом линейныхKV (в этом случае будем говорить, что линейныеи KV изоморфны, обозначение: кU S' KV),Упражнение 9,6,1. Отношение кU S'KVявляется отношениемэквивалентности.ЛемманыхЕсли9.6.2.пространств,dimKU{J(ej), ... , j(e n)} -базис вК V - изоморфизм линейn, {ег. ... ,е.,,}-базис в ии, тоKV, и поэтому dim к1 1 = n = dimf(U.f:кU=Доказательство.'и.
=1) Если u Е KV, ТО Ли) = 'и для некоторого u Е кU. Пустьkjej + ... + kne n, где kj, .... 1,0" Е К. Тогда2) Пусть kjj(ej)0= kjJ(eJ)н+ ... + k,,/(c n)+ .. + k".f(c,,)= О дляkJ .... , k" Е К, Тогда= j(kjej-+. + k"e,,),поэтомуследовательно, 1,0,Итак, в силустранства к 1/= k2 = ... = k" = О.1) и 2), и(е,) ... , Ле,,)} - базис линейного проО206ГлаваЛемманейногоv ="' 1 е !9.6.3.
Если dim{{Vпространства+ ... + к;»;координат(k!, ... , k п.)к V,то,=nиЛинейные пространства9.{еьсопоставляя.,еn}~базискаждомулиэлементуЕ к 17 однозначно определённую строчку егов базисе {е1,,,,, сп}, получаем изоморфизмлннейных пространств к V""К", таким образом, каждое n-мерноелинейное пространство к j/ над полем К изоморфно линейному пространству строк К":Доказательство.
Соответствиеявляется биекцией, для которой6.(v +и') = 6.((k!<o! += 6.((1,,1 + Ас;)е1 += (Ас 1 + Ас;, ... ,"'n+ "'nе n ) + (k~e1 + ... + "'~en) =+ (k n + "'~)en) =+ Ас;,) = (Ас!, ... , Асn ) + (Ac~"Ac~) == 6.Сn) +6.(',,');6.(k·u) = f'.(k(k!e! + ... + "'nе n ) ) = 6.((kk 1)e1 + ... + (kkn)e n) == (kk!, ...
, kk n ) = k;(k,!,. " "'n) = k6.(v). DТеорема9.6.4.Конечномерныелинейные пространства КU и к Vизоморфны тогда и только тогда, когдав этом случае к И"" К " ""dimKU = dimf{V =Доказательство теоремы следует из леммУпражнение9.6.5.п, ик V.9.6.2и9.6.3.DПокажиге. что следующие линейные пространства являются бесконечномернымилинейными пространствами(это означает, что в них нет базиса из конечного числа элементов):J) !RC[O, 1] ~ линейное пространство вещественных непрерывныхфункций на отрезке [0,1]:2) к /{[;r;1 - линейное пространство многочленов от переменной,1;с коэффициентами из поля К;3) J(/{F'i - линейное пространство всех счетных последовательностей (1,,1."' 2 . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
