А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 22
Текст из файла (страница 22)
+О·И,. =действительно,О, или, другим способом,щ=о= L::OV;.jj;.'lПример9.2.3.Если 'Иi='uj для ii' j,то система '(il, ... ,·и.,. Е к Vлинейно зависима.Действительно, о·и]иначе,1),; = Vj+L:+ ... + 1·Иi. + ... + (-1)'и, + ... + О'И"= О, или,OVk.kioikio]Пример9.2.4.Система строк" 1 •...• СП Е к К"; гдеС] =(1.0.,0).02= (0'1 •... ,О).'п= (0.0 ....
,1).линейно независима. Кроме того, любая строкаЕj(I<nно,(t=(t= (k], ... , kn .)Еявляется линейной комбинацией элементов ==1: ... : Е п , а имен(k 1 , ... ,k,,) = k:]c]+ ... + I.:n.Cn.9.2.193Линейная зависимость в линейных пространствахДействительно,ипоэтому еслиkl "1-1 ...+ "'"с" .., (О, ... , О),тоk l = "'~ = ... ~ "'" = О,следовательно, система строкПри мер9,2.5.Пусть '/11, '/I~,u:J Етема в линейном пространстве·Ul='и1+ 'и2,'и2\ё n } линейно пеэнвнсим».{E't".,='Иlm:V -линейно неаависимая сиеТогдаm: V.+ ·uз,'UЗ='И2+ 'И;З -также линейно независимая система.Действительно, еслнто0= "'1(1'[+ 112) + "'2(1'[ + '''З) + k3(1I2 + 113) == (k 1 + "'2)/.'1 + (k[ + "'3)"'2 +(k2+ "'3)113.поэтому{Следовательно,"'[ =О,k1 + "'2 ="'[ + kз =О,О,"'2 + "'3 = О."'2 = О,"'з=О.
и система элементов щ, U2, 11-:1линейно независима.Упражнения1)2)9.2.6.Подсистема линейно независимои системы линейно независима.Если подсистема линейно зависима, то линейно зависима и всясистема.194ГлаваЗамечание9.2.7.9. Линейные пространстваДля системы строк в К"ctl=(а11,"" иln),01'=(0,'1-1,'",(],/"n)вопрос о её линейной зависимости равносилен существованию ненулевого решения(/"1, ..
, ",.)следуюrдей однородной системы линейных уравнений:1J11:I:1 .+{UlnXl++ 1J"jJ:,. =+ о,7"nХ1"О,= Ос транспонированной матрицей А*, гдеТаким образом, метод Гаусса даёт нам в этом случае алгоритмическоерешение задачи о линейной зависимости строк.Теорема9.2.8.Пусть А = (аи) Е Мn(К) -квадратная матрица.Тогда следующие условия ревноснпьны:1)IAI2)система строк А1,=0;...,А n матрицы А линейно зависима(8пространстве строк кn);3) система столбцов А 1 , ...
з Ан матрицы А линейно зависима(8 пространстве столбцов [(").Доказательство.1)Если строки матрицы А линейно зависимы, скажем, -;-Я строка А; является линейной комбинацией остальных,как мы показали,2) ПустьIAjIAI =О, т. е. 2)= О. Тогда==}1).Ai =2:.: IjAj ,.#;,то,9.2.в Том и ТОЛЬКО в том случае, еслиемоднородной3)=ТакA 1 J ...: А n матрицы А линейно зависима. Итак,2).Так какЗадачаb;jявляется решениматрицей А*.о, та существует ненулевое решение (k], ... ,k п.),т.
е. система строк=?(k], ... , kn )системы линейных уравнений сIA*I = IAI =как1)195Линейная зависимость в линейных пространствгхIA*! = IAI,то9.2.9. Пусть А1)=A j;. Покажите, что еслиТеорема9.2.10.{=;>О3).(Пij) Е IVI n(К), В=о, тоо.IAI =IBI =(О;)) Е IVI n(К), гдеЛюбая система из т строк в К" при т> nлннеяно зависима.Доказательство. Еслито равенство k 1 Q 1+.. .+kmJy. m= О равносильно тому, что (k 1 ,, · · , k m)является решением следующей однородной системы линейных урав-нений:.г:+."а1nХlТак как ЧИСЛОn.
+ aт1~·Cт,= О,+ O-mnХт= О.уравнений меньше числа ПI. переменных, ТО однородная система обладает ненулевым решением, т. е. система (Y.l,···) О'т,линейно зависима.ОСледствие 9.2.11. Если система'-'], . . , (х,.Е К" линейно независима, то 'г ~ п .Лемма9.2.12.Если система элементов'-'], . . , СУ,.Еf(Vного пространства к у' над полем К линейно незгенснкэ,и система 01' .... 0::1"iJлинейно зависима, то/3является линейнойI<ом6инацией элементов 0'1·· .. ,0.1"Доказательство. Пустьk](}1+ ... + "',.(},.
+ k"нЗ= О,",].линей(j Е к V., "',+1Е К,196Главагде не всеk;, 1 :( i :(л:+ 1,равны нулю. Если бынегривиальная линейная комбинация klO'lнулю, означалапроти воречитбы,ЧТО система=О, тоО, равнаяСЧ~ .... 01" линейно зависима, ЧТОи поэтому-k 1(j = k,+l аlЛеммаk'+l =+ ... + k'!'O'J"предположен ию",,+1 '1 О,ИТаК,Линейные пространства9.9.2.13-k,.+ .. + k"+l а с ,о(единственность представления элемента линейного пространства к Vв виде линейной комбинации линейНО независимой системы элементов). Пусть {O:11'" 1 О'Т} -линейно независимая система элементов линейного пространства(1 = k1щТогда k l=+ ...
+ k.,.<.J:,. = А:;щ + ... + k;.<.J:r ,k'l ,. . , ",.Доказательство.и ПОЭТОМУ k 1 - ";9.3.=ki ,KVи'< Е к.= ""..Действительно,О, ... , k,. - k". = О.оМаксимальные линейно невависимыеподсистемы систем элементов линейныхпространств, базис линейного пространстваПустьН) ,r.,' -S' С:;к t 7 . Наиболее важные для нас случаи:конечное подмножество элементов в I<V;б)S=f(\/Пuдсисп.:',ма иl; .... 'С ," ЕS~неино негивисимои подсистемой1)/11'2)"(lJ." _ .. '1.',,: 'иИЛИ,что, • /,'," -1(11вназывается максимальной лuS,если:линейно независимая система;- линеино зависимая система для всякого 'с Е 8,эквивалентно.9.3.197Максимальные линейно незгвнснные поиснеюны2') любой элемент 'и Е S является линейной комбинацией элементов '1J1J".''01"Максимальная линейно независимая подсистема 'И!, ...
, 'И т ВS = [(V (если в [(11' существует такая конечная система) называется базисом линейного пространства [(V, Линейное пространство [(Vс конечным базисом '01, .. ,: '1)/, называется КDнечнамерНblМлинейнымпространством (при этом будет показано, что любой другой базислинейного пространства содержит то же самое число элементов),Пример9,3,1.Как мы уже видели, система строк01=(1,0" ,,0),02 = (0,1, , .. , О),СП =(0,0, ... ,1)является базисом линейного пространства строк К":Леммав59.3.2.Любую линейно независимую подсистему V1, . . . , V c~ К" можно дополнить до максимальной линейно независимойподсистемы в з С:; к».Доказательство.Если 'С!:., .,висимая подсистема в5дётся элемент 'и Етакой, чтоS'nl" - максимальная линейно неза~ ](Л., то все доказано. Если нет, то найнезависимая подсистема в..'i,'/}1;-и2,··· ,·И.,., 'и ='и'г+l- линейноПосле конечного числа шагов процессостановится, так как любые системы изn+ 1 элементовв линейномпространстве К" оказываются линейно зависимыми.Следствие9.3.3.Любой ненулевой элемент Оf '/)DЕSС:; К"дополняем до максимальной линейно неэгенсныой подсистемы вСледствие9.3.4.ВS=IR"(илиS=s.К" для бесконечного поля К) бесконечно много реэлнчных базисов.
Если поле К конечно,1[(1= '1 (например, К = Z2), то число элементов в К" равно ц",И поэтому число базисов в 1(/1. конечно. Найдите их число,Замечаниевисямы. 8<11.9.3.5.Пусть строки I1,J,.,., и, в ЕК" линейно незаТогда существуют такие строки (J,8+1,'"1аn Е К",198чтоГлава{f!.J ... "-а",.}базис линейного пространства К": Практическое... , а nНахождение строк (J,8+1~разом.Запишемстрокиможно осуществить следующимаз0,[, . . . ,по столбцамчснпую матрицу к ступенчатому виду:((/,~,.,. ~(/,::)1ACTYIlЛинейные пространства9.Еl\iIn,..,(I{) , rp-иприведём<p(ai, ... , а;)=06-полуА с ту п,гдепоследовательность элементарныхJlрL'()()ра:юmJIIИЙ строк.
Так как строки 0.1, . . . : 0..., линейно невависимы. то ВII"VIIимеется ровно" иенулевых строк (первые" строк).Пуст[, ~.,.[ [,.' .,~" Е [(n - столбцы, на i-M месте которых стоит 1,(]остнльны« элементы равны О,1([,[справаПрименяя[( матрице[( матрице'; =в+1, ...1'п. Припишем эти столбА сту п .
Пусть В Е М.,,,(К)полученная матрица.-В последовательность элементарных преобразовапий СТрО[(, обратную к <р, приходим К матрице В. При этом (В)*матрица, в [<оТОрОЙ первыеsстрок-это0,[, . . . ,аз, а последующиестроки дополняют их до базиса линейного пространства К":9.4.Замечание о линейной выражаемостиконечных систем элементовв линейном пространствеПустьf(V-линейное пространство,52говорить, что системаэлементов 'и!,5[ <:: f(V, 52 <:: f(V...
_)'U sБудемлинейно выражаетсячерез систему81 элементов 'Иl) . . 1 'и/., если каждый элемент и, Е 82,1 ~ i ~ з . является линейной комбинацией элементов Vl: ... : V'I" системыS't,1Ч. =L 1т/"ijVj,rn"ijЕ К..1=1Если 1\ тому же система 8з элементовжается через систему101: .. . ;'Шt линейно выра52,в/1'k =L lk;i:Щ,)lki.Е к,1~ k. ~t.;.=1]"0"Щ=t lцн; t=/,=1f)lkimi)'/.=1 J=1)и; =t (t.1=1,/,=1Т. е. система 5,з линейно выражается через системуS\.9.4.199Замечание о линейной вырежэеыосзнСистемы51 и 52 называются эквивалентными, если они линейно51 ~ 52).выражаются друг через друга (обозначение:Следствие51 '" 52,9.4.1.Отношение «быть эквивалентными системами»,является отношением эквивалентности,Следствие9.4.2.Если элемент v Ебинацией элементов 11};.
. ,1.'1'системыэлементов и1) . . . J ·II.~, то элементэлементов и11'Следствие';системы'11..<;9.4.3.'1)J(V является линейной ком81. 51 ,. . . , 82,где82 -системаявляется линейной комбинацией52.Любая (конечная) система элементов 5<;;J(Vэквивалентна своей максимальной линейно независимой подсистеме.Следствие9.4.4.Любые две (конечные) максимально независимые подснстемы любой системыЗамечание5 <;; J(Vэквивалентны.9.4.5.
Если А, В Е Мт,n(К) и матрица В полученаиз матрицы А конечным числом элементарных преобразований l-го,2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы В является линейнойкомбинацией строк матрицы А (поскольку от матрицы В мы можемвернуться к матрице А с помощью элементарных преобразованийстрок 1-го, 2-го и 3-го типов, то каждая строка матрицы А являетсялинейной комбинацией строк матрицы В). Таким образом, в линейном пространстве строк К" системы строк А 1 , . , . ,А т матрицы А иВ, . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
