А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 20
Текст из файла (страница 20)
+ lJmtm ,К, и пусть>. Е К. Тогдаn ;?т, тоn(fЬО+ у)(А) = 2)а; + lJi)A' ='i=O(здесь Ь n= ... =Ьт.+!n1n,i,=0,;=0L а.,А' + L Ь.;А' = /(А) + g(A)= О);б) если({q)(t) = СО+ c!t + ... + Cт.+ntm+n.,гдеkСА;=La,i,bk-·i.1i=Oтот+n(Iq)(A) =L'=0с другой стороны,т. е. С(у)(А) = /(А)у(А);ckA';172Глава8.Алгебра матрицв)(лj)(А) = ~(лаi)Аi = л( tаiЛi) = Лj(А).2)Еслиj(t), y(t) Е Кег "", I>(t) Е K[tJ, л Е К, то j"(A)О,у(А) = О, и поэтому(I+ у)(А)= ЛА) +IJ(A) = О + О = О,(Ih)(A) = j(A)IJ,(A) = о· IJ(A) = О,(лj)(А)Итак,Ker L:-.<J K[t] (т. е.=Лf(А)Ker L:-.=.л.0=О.~ идеал К-алгебрыK[tJ).Так как система матрицлинейно зависима в Мn(К) (поскольку dimK Мn(К) = n 2 ) , то найДУТСЯ (не все нулевые) элементы 0.0,т.aj, ... , аn,нЕ К, ДЛЯ которыхе.о i J(i.) =Итак, КШ'L:-.t1111-1- 1111 -1- ...
-1- 11"'+1/,"'+1Е КегL:-..о.ЗамечаниеD8.6.4.Более сильное утверждение о том, чтоIA -tEI Е КсгА,является содержанием следующей теоремы.Теорема8.6.5(теорема Гамильтона-Кэли). Пусть К(или даже коннулг-енвное ассоциативное кольцо с1'и)=IA -матрицы А.tEIЕK[t] -degp(t.) =1),-полеА Е Мn(К).характеристический многочлен квадратнойп.. Тогдар(А) = о Е М,,(К).8.6.Доказательство.Для матрицыD =dij173Многочлены от матриц, теорема Гамилыона-КэлиЕеK[t],А- tE = (rJ;j)рассмотрим присоединённую матрицув =b ij =Ее 1I.1п(К[t]).D j ;.
Ееdеg(Ьц(t)) ~K[t] n - 1,В=(bij)ЕеM,,(K[t]),алгебраическое дополнение элемента dj;.. Тогдаи поэтомуB(t)= Во + tB 1 + ... + t,,-1 В,,-I,где в; Ее м,,(К). Так какp(t)где <О; Ее К, i= IA-=tEI+ C,,_lt,,-1 + ... + Clt + Со,D· В = IDI . Е, то(-l)"t"= О, 1, . . . , n - 1,(А- tE)B(t) = p(t)E.(81)Приравнивая матричные коэффициенты при степеняхtk ,О ~ k ~ n,в левой и правой частях этого равенства, получаем:tn-Вn~l=(-l)nЕ,:!;n-l:А· В n - 1 - В n - 2tn- 2 :А· В n - 2-(. ;А· В 1Во = "1Е,tO-Вn - з==(;n-l Е 1С'П.~2Е)(8.2)А . ВО = соЕ.;Умножая слева равенства (8.2) на А", А"-I, ... , А, Е соответственно,получаем-АН.Bn -1= (_l)nA n;АН.
В n - l - A n - 1 . В п - 2=cn_1An- 1:(8.3)А" . Вl - А . Во = С1А.А· ВоСкладывая равенства=соЕ.(8.3), получаемIIl,,(K) Э о = р(А).О174Глава 8.Замечаниематрицы8.6.6.Отметим, что равенства(8.2)Алгебра матриuпоказывают, чтоBo~Dl"", B'n~1 ЯВЛЯЮТСЯ многочленами ОТ матрицы А,в частности, В;А = АВ;, i = 0.1 .... ' n - 1. Поэтому можно былоподставить вM,,(J() э(](8.1)вместо переменной= (А - АЕ)(Воtматрицу А, и тогда+ АВ! + ...
+ Ап- 1 В,,-1) =(~) р(А)· Е = р(А).Замечание8.6.7.Очевидное равенствоIA - AEI=О(] Е К неявляется доказательством теоремы Гамильтона-э-Кэли.Упражнение8.6.8.Аннулирующий многочлен минимальной степени 'РАи) жордановой клетки т-го порядкаравен'PA(t) =Упражнение8.6.9.(л- t)' = IA - tEI·Еслито\САи) = (1 _1.)2,8.7.IA -/;EI = (1 -1.)'3.Обратная матрицаОпределение 8.7.1. Пусть А Е М,,(К)-квадратная матрица. Будем говорить.
что матрица В Е М,,(К) является обратной к А, еслиАВ = Е= ВА.1758.7. Обратная матрицаЗамечание8.7.2обратная матрица В(ДЛЯ любой ассоциативной операции). Еслиматрице А су шествует, то](он" однозначно= Е = ВА и АС = Е = СА= ВЕ = В (это повтор того, чтоопределена. действительно, пусть АВтогда С= ЕС =(ВА)С= В(АС)мы уже отмечали ранее: единственность обратного элемента, еслион существует, для любого элемента моноида).В этом случае однозначно определённую обратную матрицу В мы будем обозначатьA- 1 :черезАА- 1Теорема=Е=8.7.3A-1A.(об обратной матрице).
Пусть А ЕМn(К)квадратная (n х n)-матрица. Тогда:1) обратная матрица В = (b;j) = А-l существует тогда и толькотогда, когдаIAI fО;А;2) в этом случае bi j = I~I (формула для элемента обратной матрицы);З) IA-11=.2IAIдоказательство.а) Если АВ = Е, то 1 = IEI = IABI = IAIIBI, поэтому IAI f О и,более того , IA-11 = IBI = .2IAIAj iб) Если IAI f О, то рассмотрим В = (bij ) . где Ь;) = ТАТ' Ясно,что АВ =Е= ВА (принимая во внимание разложение определителя по строкам и столбцам, а также «фальшивое» разложение), т. е.В = А- 1ОСледствиечто ВА =сторонне»)8.7.4.Если А, В Е Мn(К), то нз АВ = Е следует,Е (матрица, имеющая правую обратную, обратима (дву.Доказательство.
Если АВ = Е, топоэтомуIAI fрица А- 1 Таким образом, А- 1 == Е· В = В,следовательно, ВАСледствиеэтомуIABI fIAIIBI = IABI = IEI =1,О. но тогда существует двусторонняя обратная матA-1E =А- 1(АВ)= A-1A = Е.=ОIABI = IAIIBI, поIAI f О и IBI f О, т. е.8.7.5. ДЛЯ А, В Е М,,(К) имеемО тогда и ТОЛЬКО тогда, когда= (A-1A)B176Глава8.Алгебра матрицобратная матрица (Ав)-I существует тогда и только тогда, когда существуют А- 1 и в-I Более того, в этом случае (Ав)-I = B-1A- IДоказательство.
(AB)(B-1A- 1)=Е(В- 1 А-l )(АВ).=ОСледствие 8.7.6. Если существуют обратные матрицы Ajl,.А;:-l для Al.А,. Е IVIп(К) , то(A 1A2 ..... А,.)-l = А;I '.. А2'l Ajl.Следствие 8.7.7. Если существует обратная матрица А- 1 дЛЯА Е Мп(К), тоцы(A-1)-1= А.Доказательство. A-1A =A- 1 : А = (A-1)-I).Е =АА- 1 (с точки зрения матриОУпражнение 8.7.8. ПустьА= (~ ~) ЕIVI2(К), IAI=ad-Ьс#О.Тогда:В = (ь;) =А-1= (Aj ; ) = (ad~ Ьсс-ad-bcd~C- ad-ь);а~ ьс) .(J,ad-bcУпражнение 8.7.9.
ПустьАсТогда(:••А' {о-' 0-;)8.7.177Обратная матрицаУпражнениеНайти8.7.10.(матрица размера1/х1/.на главной диагонали которой стоят нули.а все остальные элементы равныУпражнениеА=Пусть8.7.11.(n~ ,1).21113213 4. n-' nJ....Тогда':' :~;(',..-2 1/-1. .n~.3 .. n.~.2n1.n(п+111J111-1 +-'гдеEM,,(Q).,я1)s = --2--'Теорема8.7.12(о линейных группах).а) Множество обратимых матрицGL,,(J() = {А Е М,,(К)IIAI i= О}с операцией умножения является группой (линей/юя группа),б) Множество матриц с единичным определителемSL,,(K) ={А Е М,,(К)IIAI = 1}с операцией умножения является группой (специальная линейная группа).178Гяэея8.Алгебра матрицДоказательство.Н) ВС" IlрОI'''IЖН !(JI>I СС,,(К) уже, были провелены.б) Если11, В Е 8L,,(K), тоIAI= 1, ]BI = 1, поэтому IABI =AIJ Е 8L,,(K).
Ясно, что IEI = 1,т. е. Е Е 8L,,(1\). Если А Е SL,,(A), то IA] = 1 '1 О, т. е. существует1А- 1 , при Этом ]А- 1 1 = jAj = 1, поэтому А- 1 Е 8L,,(1\).о= IAII1:i1 =1·1= 1, следовательно,Лемма 8.7.13. Если А ЕIA'I = ]AI i' О(Т. е. А* ЕGL,,(K)(Т. е. А Еl\/1,,(K) иIAI i' О),тоGLn(K)) и, более того, (А*)-1 = (11-1)*.Доказательство.(А- 1)* А* = (Ак 1)* = Е* = Е;А*(А- 1)* = (А- 1 А)* = Е* = Е(с точки зрения матрицы А*: (А*)-1 = (А- 1)*).Определениео8.7.14. Квадратная матрица А Е М.,,,(К) называется ортогональной матрицей, если А-1 = А*.ТеоремаСовокупность ортогональных матриц ОП(К) =А- 1 = А*} относительно умножения матриц явля8.7.15.= {А Е М,,(К)1ется группой.доказательство.а) Если А, В Е Оп(К), ТО А- 1 = А* и в- 1 = В* Тогда (Ав)-1 == В- 1А- 1 = В*А* = (АВ)*, поэтому АВ Е ОП(К)б) Е- ! = Е = Е*, т.
е. Е Е ОП(К)в) Если А Е Оп(К), то для В = А- 1 имеем н:' = (А- 1)-1= (А*)-I = (А- 1)*=В*, следовательно, В= А- 1Е ОП(К).ОЗадача 8.7.16. Пусть А Е МП(К) и существует такое число !С,что А " - нулевая матрица. Покажите. что матрицы Е - А, Е + Аобратимы (здесь ЕЗадача-единичная матрица вl\'1 n(K)).8.7.17. ДЛЯ А, В Е !vIп(К) равносильны условия:1)матрица Е-АВ обратима;2)матрица Е-ВА обратима8.7.179Обратная матрица(этот факт полезен при построении теории определителей над произвольным кольцом Н: в алгебраической К-теории Более того.можно доказать. что если АЕ М".т(К), то Еткогда Е"ВА---АВЕфункторK1(R)).Мт.п(К), ВЕобратимая матрица тогда и только тогда,-обратимая матрица.Задача 8.7.18.Найти число элементов в группах GL 2(Z2),SL2(Z2), GLn(K), где К - конечное поле из q элементов.Упражнение8.7.19.Рассмотрим отображениеI:---;в,GL,,(K),гдеI(a) =L;Ea(j)jj=l(т. е.
вj-Mстолбце единственная единица стоит в а(j)-й строке,остальные элементы нулевые). ТогдаIj'(a) I =поэтомуj'(a)ЕЕ(а) ={1'-1а Е А'/7.'а ЕSn \А",GLn(K). Покажите. что J - инъективный гомоморGL".(K) содержит подгруппу, изоморфную групфизм (т. е. группапеS,,).Действительно, для 0-, Т Е=I -имеемL; En(i)iE'=T(j)j = L;Ea(T(j))j = L;E«H)())j = Лат),.i=lт. е.Snj=lj=lгомоморфизм. Если Ла) = Е, то22Итак,I -иньсктивиый гомоморфизм.о180ГлаваКонтрольные вопросы1);fз, (с;;)-12) ifj, (~1 = t;j;3) >'1f=(Е8.Алгебра матриц8.7.20.+ CE;j)-1 = Е -О, ... , >." f О, г1(>'1, ...
, >.,,)-1cE;j:= d(>'jl .. , >.;;1)8.8. Нахождение обратной матрицы А- 1Пусть дана квадратная матрица А Е IVI,,(К) такая, чтоПервый способ. А- 1=В= (bi j ) , bi j =Il;АIAI fО.(к сожалению, требу-ется вычислить 71.2 определителей A j ; размера (71. - 1) х (71. - 1)).Второй способ. Найдем матрицу Х Е IVI,,(К) такую, что АХ = Е(тогда, по следствию 8.7.4, ХАнахождению таких столбцов=Е, ХX1 , ... , Х",=чтоА- 1 ) .
Это равносильнот. е. решению 71. систем линейных уравнений с матрицей А для коэффициентов и столбцами свободных членов Е 1 ,ничной матрицы). Так какIAI fЕ" (столбцы еди...•о, то элементарными преобразованиями строк 1-1'0, 2-1'0 И 3-1'0 типов мы можем матрицу А привестик единичной матрице Е. При меняя эти преобразования одновременнокnнашим системам, получаем(AIE)e-+ .. e-+(EIB).Но тогда столбцы матрицы Б-решения наших(как мы уже отметили, в этом случае БАЗамечания1)=nЕ, Всистем. АВ = Е=А- 1 ) .8.8.1.Можно предложить другое обоснование этого алгоритма. Найдутся элементарные матрицы т; 1-1'0, 2-1'0 или 3-1'0 типа такие,что Т,. .. Т2Т1А = Е, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
