А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 15

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 15)

, .j.... .з, ... )i расположено левее, чем j, но i > jговорить. что числа .; и j расположеныБудем говорить. что числаобразуют инверсию, если число(в противном случае будемв правильном порядке).числавсехПОрЯДКОВп(пЯСНО, что сумма числа всех инверсией ив любойперестановкеИЗnчисел1\ 2\ ... ) 11,-1)равна C,~ = ~~2--'При мер5.4.1.Число инверсий в перестановке (1.2,.'n(п - 1)n - 1, ... ,2..

1) равно --2--',п) равнонулю, в перестановке (п,Удобный алгоритм подсчёта числа инверсий: считаем, сколь­ко инверсий образуетвычеркиваемТеорема11(все числа, находяшиеся левее), после чегои переходим к5.4.2.числа инверсий.2и т. Д.Транспозиция влерестанояке меняет чётность5.4.119Чётность лересгановок и подстановокДоказательство.Рассмотрим транспозицию элементов(... ,i, ...

j,.)~iиj:(... ,j, .... i.... )Сначала рассмотрим случай «соседей):(... ,i,j, ... ) ~ (. .. .з,«Так как при перестановке чисел... ).i и j их отношение с числами, рас­положенными левее (как и правее) не изменяется, то число инверсийизменяется на единицу (т. е.±1),следовательно, чёгностъ числа ин­версий изменяется.Если же между числамидовательно переставляяiиJнаходитсяkэлементов, то после­k раз,k раз элемент j с левыми соседнимиэлементами, мы, проведя k + 1 + k = 2k + 1 транспозиций соседнихэлементов, осуществим транспозицию чисел i и j. Таким образом,потом сj,iс правыми соседними элементамизатем перестявляячётность изменилась.Следствие5.4.3.ОЧисло чётных перестановак причислу нечётных перестановак и равноn ;? 2равноn!2'Доказательство.

Расположив всепример, сn! лерестановок, начиная, на­(1,2, ... , n), В список, в котором каждая следующая пере­становка получается из предыдущей одной транспозицией, мы видим,что четныеперестановкичередуютсяс нечётными, поэтому числочётных перестановак равно числу нечётных и равноn!2'оЧётность подстановки[п)Зnопределяется как чётность суммы числа инверсий в верхней строчкеи числа инверсий в нижней строчке.Предложение 5.4.4. Чётность полсзэноекн а Ееё записи.Snне зависит от120ГлаваДоказательство.5.Попстнонкч.

пеоес-еноькнЕслидве записи лодстановки о Е SN, ТО, переходя конечным числом транс­позиции от перестановки (-il)"" 'ln) к перестановке и~"",ставляяпри ЭТОМ соответствующиеприходим(,,(i~),отнижней... , "U~)).строчки'i.:'J,пере­«столбики»(,,(i 1 ) , ... , "Оn))Перестановка двух «столбиков"кстрочкеявляется транс­позицией в верхней и в нижней строчках, следовательно, меняетсячётность в верхней и в нижней строчках, в итоге чётность суммычисла транспозиций в верхней и в нижней строчке при перестановкедвух «столбиков»Замечаниене изменится.5.4.5.ОПодстановка, обратная к чётной подстановке,чётная.

Действительно, есличётная, ТОjn)'I"nDчетная.5.5.Чётность произведения подстановокВозможносгьиспользоватьПРОИЗ80ЛЬНУЮзаписьподстановкиудобна для рассмотрения произведения.С1.11откуда следует' иlп)Jn2'/'2Ci2j211)In .5.5.121Чётность произведения подствновокЛемма5.5.1(о чётности произведения).оТччитчнчнчннннчоРассмотрим отображениеЕ:Sn ~ {1,-1},Е(и) =Замечание{1,если а-115.5.2.-если СУ -четная подстановка,нечётная подстановка.Напомним, что{1, ~ 1} -коммутативная груп­па относительно операции произведения. Действительно, произведе­ние является операцией на {1, ~1}; эта операция ассоциативна и ком­мутативна; 1-нейтральный элемент; (1)-1 = 1, (~1)-I = -1.Следствие 5.5.3. Если и, Т ЕSn,то:,-(ит) = о(и),-(т)(Т.

е. и:Sn--->{1, -1} -гомоморфизм групп);Следствие 5.5.4. Если U = TI ... Т" - разложеиие подстаиовкио Е Sn в произведение транспозущий Т], ... , Т", то ,-(и) = (~1)".Доказательство. Отметим только, что если Т =зиция, то ,(и Л) =Упражнение 5.5.5. Е(иlдлины Т, т(i j) -транспоО-1i,)) = (_1)"-1 для цикла и]i,)): 2.Теорема5.5.6.Чётные подстановки Ан являются группой (под-группой В группе подстановокSn);'IA"I-=.!2приn ): 2.122ГлаваДоказательство.5.Подстановки, пересзеновкнТак как произведение СУТ чётных подстановонСУ, т Е Аn. является чётной подстановкой, то имеем операцию про­изведения на множестве А n , которая ассоциативна.

Тождественнаяподстановка чётная и является нейтральным элементом в Ан. Еслио Е А n , то мы уже отметили, чтоЗадача5.5.7.(7-1Е Аn .DНайти разбиение в классы сопряженных элементовгрупп А 4 • А".Задача5.5.8.Группа А n ,n ) 3,порожлается тройными циклами(любой элемент группы А n является произведением тройных циклови обратных к ним; обратный элемент к тройному циклу сам являетсятройным циклом).Указание.

Чётная подстановка может быть представлена в видепроизведения четного числа транспозиций, при различных(i k)(i j) = (i j k),при различныхi, j. k, 1(i j)(k 1) = (j k l)(i 1Л.Оi,з,kГлава6Определителиквадратных матриц6.1.Определители малых порядковРассматривая систему линейных уравнений{длявычисления:"1а ll Х !{},21:1;1умножим+ (112:);2+ 0,22:1:2первое= Ь1 ,= Ь2,уравнениенаа22,второе урав­нение на -(],.12 и сложим их. ПолучимАналогично, для вычисления J:2 умножим первое уравнение на -0,21,второе уравнение на «ц и сложим их.

ПолучимЕсли мы определителе",(2х 2)-мuтриU,ы0 11( 0.21назовём число(12)(/,22124Глава6.Определители квадратных матрицТО В этом частном случае мы получим следующее утверждение (пра­вило Крамера дляотличенесли определитель квадратной системыn = 2):от нуля, т.е.0,1210,1110,21=0,22"'110,22 - а120т # О,то система является определённой и для её единственного решениясправедливы формулыXlIbЬ21 0,121la 11а22=Х210,11 0,121 '=0.21210,11 0,121'0,210,220,21Ь11Ь0,22Непосредственная проверка показывает, что (Хl, Х2)Упражнение6.1.1.решение.-Проделать аналогичную процедуру в случаеn = 3.Замечание6.1.2.Очевидно, что определигели второго порядкаобладают следующими свойствами:1)2)3)I~011 =10.110.211'0.121 = _10.21 0.221 ;0,220,110,12Iса.11 СЩ21 = с 10.11 Щ21 '0.210,220,210.22аналогично для второй строки;0,1210,22=I Ь10,21аналогично для второй строки;5)0.1210,22=10.110,12(;210,22;6.2.Определители квадратных(nНаша ближайшая цель125Х n)-матриц-построить общую теорию определите­лей квадратных (п х п)-матриц и привести многочисленные прило­жения определителей, в частности в системах линейных уравнений.Отметим, что на начальном периоде теория определителей фор­мировалась параллельно с аксиоматической теорией площадей и объ­ёмов.

Например. в декартовой системе координат на плоскости опре­делительI~~: :~~Iравен (ориентированной) площади параплелограмма. построенного навекторах (а'11,Щ2) и (а21,а22).6.2.Определители квадратных (n Х n)-матрицПустьА = (аI1..о,n1квадратная(nх п)-матрица, й.ij Е К, где К-любое поле (например,K=lR:.)При п.= 1: lal = аПри '11. =2Е К.мы имеемт. е. определитель(2 х2)-матрицы является суммой двух слагаемых,каждое из которых является произведением элементов матрицы,взя­тых по одному (и только одному) из каждой строки (столбца). приэтом знак определяется чётностью соответствующей подстановки ин­дексов:(~ ~)-четная подсгановка;~ 0.120.21, (~ ~)-нечётная подсгаиовка.+ [1.110.22,126ГлаваОпределители квадратных матриц6.с этой «подсказкой- определим определитель квадратной матри­ЦЫ А какIAI=Lс(0')о.10'(1)...о.,ю(п),о:ЕSпт.

е. как сумму всех произведений элементов матрицы А, взятыхпо одному (н только одному) из каждой строки и каждого столбца(0.1"(1) -ИЗ 1-й строки и О'(1)-го столбца; ... , О'м(п) -из n-й строкии О'(n)-го столбца), т. е. тех проиэведений , индексы которых даютподстановку а Е(с(а) =1),Sn,при этом эти произведения берутся со знакомесли подсгановка а четная, и со знаком+- (0(0') = -1),если подстановка а нечётная.Упражнение 6.2.1. ЕслиIAI= о.11 о.22 о.ззn= 3,А=+ 0.1з0.210.32 + 0.120.2з0.31-(а;)) Е Мз(К), то-аlза22а31-0.110.2з0.32-0.120.210.зз·Мнемоническое правило: три произведениявходят со зна ком+;входят-.СОзна КОМтри произведенияУпражнение 6.2.2.

При n = 3, А = (aij) Е Мз(lR) в декарто­вой системе координат в lR?'l определитель IAI матрицы А равен орн­енгированномуобъёму параллелепипеда,(аl1,аI2,аI3), (о.21,а22,а.23) и (а.,н,а.'12,а.зз).построенногона векторах6.3.Свойства определителя. Базовые свойстваУпражнение6.2.3. Если А=127/-4(a;j)Е I\'lэ(JR), то все шесть слага­емых в разложении определителя третьего порядкаIAjодновременноне могут быть положительны.6.3.Свойства определителя.Базовые свойстваСвойство1.1-4ЕслитоIEj = 1Доказательство следует из следующего утверждения.ЛеммаD6.3.1..: :. :::1 о,11а.22· аnп·=-.апnдоказательство. Следует рассмотреть только те произведения,входящие в определитель, которые из первого столбца содержат со­множителем al1ля(J.jj(остальные равны нулю).

Вхождение сомножите­занимает первую строку и первый столбец. Из второго столбца(при уже занятой первой строчке) остаётся включить в произведе­ние 0.22(остальные произведения равны нулю). Повторяя это рас­суждение, приходим к произведению{].110.22 ..П'n.n (остальные из 'п!произведений все равны нулю).Так как подстановка2217.)'nчётная, то ЭТО произведение ВХОДИТ со знаком+.D128Глава б.СледствиеОпределители квадратных матриц6.3.2.<IJ lН]2оа'2'2()()[.' а!n1....

.а .2n~()о,n'/lтогда и только тогда, когда все а,:.;. ::j=. О, 1 ~ 'i ( Л..Задача6.3.3.Чему равен определитель("Н:.~:.(т. е. чему равен определитель.0,111,-1а2n-lО":'1в котором все элементы ниже побоч­ной диагонали равны нулю)?Свойство2.Прн перестановке двух строк А; ирицы А определитель меняет знак(iA'1=-IAI,Aj. 'i-~где А'j, мат­матрица,полученная из матрицы А перестановкой двух строк).Доказательство.

Характеристики

Список файлов книги