А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 17
Текст из файла (страница 17)
k-ro столбца приA ikравна нулю).Докаэательство.1)айLa;jAkj.i=1(разложениезаменой0--i.1по. k-й строке опрелелигеля.k-j1 стракищniоь.'"*==опал учен наго. из исходного.на 'i-ю и равного О, поскольку в нём имеется двеодинаковые строки, 'i-я и k-я).2) При меняя 1) к фальшивому разложсиню по. строке дЛЯ[А'[ =[AI,палучаем фальшивое разложение по столбцу дЛЯПример6.8.8.Найти определительIA'I,[AI.о138Г.лава6.Определители квадратных матрица) По определению,6 = ] . 3 . 2 -1- 2 . :З . ] -1- 2 .
1 . :З - :! . :! . 3 - 1 . ] . 1 - 2 . 2 . 2 = -18.б) Разлагая по первой СТРOl<е, получаем.В) Используя элементарные преобразования строк, имеем(; ~~)3(~-~-~)2 (~-~-5 -7-~) (~31О1 2-~),182-1ООи мы пришли к треугольному виду. При этом мы при меняли толькопреобразования ]-го типа, не меняющие определитель. Следовательно,6 = -18.Пример6.8.9.Найти определитель2-26=1-15-33-6-3 -22 -5-2243Используем элементарные преобразования строк, оставляя неизмен ной третью строку:о6->-11-2 -31з-1 -62-24-6-523ОО1-133-61-2-24-6-123О-11313О -3-2-22О-6-125Мы применяли только преобразования 1-го типа, не меняющие определ итель.
Применяя разложение последнего определителя по первому столбцу, имеем6.8. Сведение вычисления определителя к определителям меньшего ПОРЯД/iЗПример6.8.10139(вычисление определителя п-го порядка с помощью рекуррентного соотношения). Найти определитель5ООоо5ОооО9495ооОООО49946п =Разложим определитель по первой строке:6"= 9· 6 п - 1 + (-1)· 5·6 = 9 ·6"-1 + (-5) ·4· 6,,-2(В соответствующем миноре6 мы применим разложение по первому= 9 и 62 = 61. полученная рекуррентная формула позволяет вычислить 6" для любого n. Нетрудноубедиться, что 6" = 5,,+1 - 4"Н (это можно доказать, например,индукцией по '11).столбцу).
Если учесть, что 61Задача6.8.11.Вычислить определители порядка'11:а)оо1О1Ооо(все элементы вне побочной диагонали равны О. а на побочнойдиагонали стоят1).б)Упражнение122333445'11-2'11-1nп.'11'11п.6.8.12'11-111пп71пn.'11(игра в определитель). Играют два участника. расставляя по очереди числа1, 2, 3. 4, 5, 6, 7, 8. 9 без повторений в хачестве элементов матрицы3х;,.Один из участников(1)140ГЩI8i1стремится['ОЙв итогеполучить6.Определители квадратных матрицположительный определитель,адруотрицатсэп.ный. Чтобы уравнять шансы, играется две пар(ll) -тии: в первой партии первый ход делает участникучастник11.1, аво второйПосле этих двух партий значения полученных определителей складываются.Если получилось положительное число, то выиграл участник Г, если отрицательное число, то выиграл участник П,если нуль, то ничья.
Покажиге.что сумма всех9!определителей,возможных в этой игре, равна нулю.Теорема6.8.13(об определителе с углом нулей).ICI = I~где А Е~I = IAIIBI,Mn(I<J, и Е Мn,m.(К), О Е Мm.n(К) - нулевая (т Х n)-матрние, В Е Мm.(К).Доказательство.11.Проведём индукцию поНачало индукцииn.= 1 рассмотрено в лемме 6.8.3. Пусть n ;,: 2 и утверждение верно для всех 11.'< n.Разложим наш определительICIпо первомустолбцу:Так как по индуктивному предположению для111;.1где~IМ/ 1 -дополняющий минор элемента o,il в матрице А, тоICI =LCtilC;1 = L Ct a ( - l У+ 1 М;, I В I =;~!i~l= (t1=1Oi!A;!)IBI=IAIIBI.о6.8.
Сведение вычисления определителя к определителям меньшего порядкаСледствие6.8.14.ПустьA i • 1 ,;; .; ,;;141г, -/{вадратные матрицы.ТогдаооУпражнениеопрелелигель'il, ... ,ikиkА,.6.8.15(теорема Лапласа). Еслиматрицы).проходящийстолбцов стельный минорчерезномерами п,... .з»,/v! -строкk;k) 1,минор (т. е.сномерам кТО дополниопределяется как определитель, получаемый выJV!i], ... , i k И столбцов :i], ... ,:ik. Алгебраическоедополнение минора М определяется следующим образом;,чёркиваниемстрокА(М) =Если А =номераk(a;j)(-1){;1+..
+;k)+(j, + ..+j,,) JV!.Е Мп(К), 1';;строк, то определительk Е 1\1, i], ... ,i kIAI-эафиксированныеравен сумме всех проиэведенийМА(М), где М пробегает все c~ миноров, проходящих через строкиi 1 ; · · . ) ik.с номерамиЧастными случаями теоремы Лапласа являются теорема о разложении по строкеТеорема(k = 1)6.8.16(правило Крамера).
для квадратной системылинейных уравнений (O;j1)системаIAIк теорема об определителе с углом нулей.111;)С (71 Х 71)-матрицей А =является определённой(o..;j)имеем:тогда 11 ТОЛЬКО тогда,когда#0;2) в этом случае (т. е. если IAI(k 1 , - ., k n ) имеет следующий#О) это единственное решениевид для:i = 1, __ , '17:Djk:'=15'гдеD =IAI.о,=1(/11(}nlr:J(/[" 1({nп142Глава6.Определители квадратных матрицопределитель, полученный из определителяjIAIпутём замены-со столбца на столбецсвободных членов системы.Доказательство.1) Приведя элементарными преобразованиями систему к ступенчатому виду (O.ij, Ь;) со ступенчатой матрицей А = (ii;j), из критерияопределённости квадратной системы имеем: система (aij,определённойтогда и только тогда, когда ступенчатаяA~(Tтреугольная0.22сиенулевыми"f О, .
. , О' nn "f О,IAIb-i,)являетсяматрица:::)0,12а22оапnэлементамиподиагонали,аll"fО,т. е.= (-l)'IАI = (-l)'iil1 ... о.nn "f О.2) Если ("'1, ... , "'n) - единсгвсниое решение нашей системы,ТО, умножая }-е уравненне надывая,A.1j , 'i,-e -на A';j' 'П,-е-на Ан) и склаполучаем(). "'1 + ... + Dkj + ... + (). "'"Итак, Dk jВторое= D j • D "f О,поэтому "')доказательство("'1 •. " "',,), где"'j == IJjA jj=+ ." + ЬпАn;= Dj.D~.утвержденияD~. является решением.2).Покажем ,чтоСведение вЬ/числеffИЯ определителя 1( опредеЛJlТСJlfIМ МСIIIJUЮГU ПОРЯД/(;j6.8.Действительно,n2: (J,i.jXjподставим строчку(k 1, .• "")143в ь-е уравнениеЬ(=j=1nLnLо,иbkAk)~~=lj=1DМы использовали разложение определителя=DjtbkAkj,k=lприki' iа также приD)поj-My столбцупk= i разложение Lnфальшивое разложениеLo,ijA k j = О.o,ijAijDиз=1Dj=1Из теоремы Крамера можно вывести полезные следствия.Следствие(n6.8.17.
Если квадратная система линейных уравненийn неизвестными) не имеет решения, то определительуравнений сматрицы её коэффициентов равен нулю.Доказательство. ЕслиIAI =l(rЧj)1i' О,то по правилу КрамераDсистема имеет решение.Следствие(n6.8.18.Если кеелрглнея система линейных уравненийуравнений с ·п неизвестными) имеет более чем одно решение, тоопределитель матрицы её коэффициентов равен нулю.Доказательство. ЕслиIAI=1(0.1))1 iсистема имеет единственное решение.Следствиеуравнений(n6.8.19.о, то по правил у КрамераDОднородная квадратная система линейныхуравнений сп нензнес гнынн; имеет ненулевое решениетогда и только тогда, когда определитель матрицы её коэффициентовравен нулю.Следствие6.8.20.Еслипии) и свободгше членыкоэффициенты квадратной системыb;(t.) являются непрерывными функциямиот [., то в силу правила Крамера конпоненлы "'-; решения (k[, ... , "'-")144Глава6.
Определители квадратных матрицЯВЛЯЮТСЯ рациональными дробями от переменных {ai.j ~ lJ i } с целымикоэффициентами и поэтому являются непрерывными функциями отв некоюэоё окрестности точкиtoЕIR:.,где100;"j(to)1 #Задача 6.8.21. Пусть A,B,C,D Е !I1 п (К) , ~Задача1)I~ ~I =IAIIDI-IBIICI;2)I~ ~I =IA+ BIIA - BliP.><fktO•Показать (разлагая по последнему столбцу), что6.8.22.хООО-1:г,ОО0,1О-1хО"2О()():1:0.11,-1О()ОЗадачаtО,...-1"о="о+ЩХ+... + аnхn.n'n6.8.23.
Пусть /(",) = (01 - :r.)(C2 - х) ... (Сп - х), а!ЬТогдаnn(l.(:1/,(':1а11/,/1а...3ПдНЧО6.8.24.=".,f(l,) -ЬЛа)n-ЬСп.Вычислить определитель порядка 17ТIп.(элементы на главной диагонали равны 'п, все остальные элементыравны1),Ответ.(2'1/. - 1)(17 - 1)n-1AJJ:> 'L~o6.9.145Определитель ВандермондаЗадача6.8.25.Доказать (разлагая по строке и получая рекуррентное соотношение). чтогдеn = 2k -6.9.аООЬоаЬОоЬаОЬооаразмер матрицы.Определитель ВандермондаТеорема6.9.1.V(al, ...
,an.)=п(а; - щ),al, .... lL n Е К.l~j<'i~nДоказательство.Проведём индукциюпоn(начало индукцииn = 2). Пусть утверждение верно для п' < n. Тогда, применяя элементарные преобразования столбцов An-аU-ln-l, An.-l-a,.4n-2, ..42 - (1,1.41 И предположение индукции, получаемV(al'" .. а n ) =о,nоа;,;-2(о.2 - 0.1)((1.n -(1.1)146Глава=I (а2 ~ (1)o,z-2(a26,Определители квадратных матриц~ Щ)I=0,:~-2(a" - fll)(а" ~(1)(fln_fl l) 11021аnп-2аn= П(о.k - щ)V(а2, ... ,0.") =k=2=П(аk- а 1 )to.jпрн лТеорема1)П(0,;-0'1)=(a;-aj).оl:S:;j<'i::;:nV(Щ, ...
, о.п) t о тогда и только тогда, когдаj (т. е. когда все элементы 0.1,0.2, ... ,а" различны).Следствиеи.;П2~j<i~nko:=:26.9.2.t6.9.3(интерполяционнаяформула Лагранжа).Если 0,1, ... , а п -различные элементы поля К, Ь 1 , . . . , Ь"- любые элементы поля К, то существует и единствеиный много2)членJ(x)всех1,;; '';; nЕ К[х] такой, что degJ(~,)(здесьdegJ(x) -,;; n~1иJ(a.;) = Ь,I(:r)).дЛЯстепень многочленаЭтот многочлен имеет видt.f(x) =Ь, (Т - Щ)'=1..
(:;=-;;:;)(а; - (1) ... (0;=-;;)(:1' -оп)(а.; - а,,)(здесь (:~:), (a;=-;i) означает, что эти множители не ВХОДЯТв произведения).3) Инлерполяинонный многочлен .f(x) Е К[.т], deg( 11 - 1,ДЛЯ которого .!"(ai) = IJ'i. i = 1, ... , п; можно находить методомНьютона в виделх) == ,\[)-n-1+ /\1 (:1' -0.1)+ .\2(Х -о.l)(Т ~0.2)+ ... + .\,,-1 П (х {~1П,),6.9.147Определитель 8андермондаприэтом коэффнинензы определяются последовательно:= а] имеем /)1 = /(аl) = '\0, т. е . .\0 = /)1;/)2 = /(0.2) = /)1 + .\1(0.2 - 0.1), т. е . .\1 = (/)2 -при:1'при::с=аn-1:]; =/)1)/(а2при0.2 имеем- 0.1);'получаемn-2и,,-1 = .\0+ .\1(о.n-l- Щ)+ ... + .\n-2 П (о.n-l- 0.;)·i=1и нехолнн .\n-2 (коэффициент при .\n-2 отнчен от нуля); по'11-1лаган л: = а.«, имеем коэффниненг П (а nа;)-#о при.\n-l·i=lв равенствеn-l/)n =.\0+ .\1(о.n -аl) + ... +.\n-l П(аn -а;)'i.=1и находим Лn-l.Доказательство.1)Будем искать многочленj'(x) = [сгде [с,+ .flX + ...
+ /n_l:гn-\/1 •.... }:,,-1 - неизвестные коэффициенты (элементы поля К),такой, чтоI(a n)= /0 + /1аn + ... + In_la~:-1 = /)n'Определитель эТОЙ системы1/("1 . . .а,,)= 111аlппоскольку все элементычленI (:,,)0,1: . . .(а; -Uj)# о,1"f{,.i<i."f{,nоп1й,,7. различны. Поэтому такой многосуществует (и единственный).148Глава2)6.Определители квадратных матрицОчевидно, что приведённый многочлен в форме Лагранэкаl(х)=tЬ; СУ -01) . . (;=-;;:;) .. (х -оп)(а; - 01)." (0;=-;;;) . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
