А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 21
Текст из файла (страница 21)
е. ТА = Е для Т = Т,. .следовательно, Т = А- 1 Но тогда В = ТЕ = Т = А-'.Отсюда следует также, что группаэлементарными матрицамиI-ra,G = GLn(J()2-1'0 и 3-1'0 типа.. Т1Н,порождается8.8. Нахождение обратной матрицы A- 12)181Этот алгоритм можно применять и для выяснения, существуетли обратная матрица, так как если определительто мы не сможемпривестиэлементарнымиIAIравен О,преобразованиямиматрицу А к Е (ступенчатый вид матрицы А будет треугольнойматрицей с хотя бы одним нулём на диагонали).
Это означает,что можно не вычислять определительменениемПримерматрицы А перед приалгоритма.8.8.2.А = (~ ~L), IAI = 11 о,(~71~ ~)~(~ ~I~ -~t),т. е.А- 1Пример8.8.3.=(1О-т)l'Найти обратную матрицу для матрицыО ~ ~)если она существует.Решение.(~2000 ) -;10110113 8 О О 1(~((1оО1-;оО2 711 1О2ОО-111ООС22011000 ) -;11101 2 7 О ~1 1~) о-1271-3 -13 О314 1 -4о-147 I 1 -41-3 -13 О32-~ )-i)О271-3 -13 О-8 -:35 1-1:35-~-5)-;182Глава71~14 О1 -4(~(~ ~I(~ ~I21О3~121ОО1ОИтак,1)1-9 1~64~2113-3-40985-1-513-316-409-25-1520)-1(231318СОО7I О121 41О-38.-1-49~ )~-1))-5 -2)(13-316-405.9-1Замечания о матричных уравнениях АХ(случай У А =Алгебра матриц= ВВ сводится к этому, А'У' = В')1.
А Е Мn(К), IAI # О. Тогда существует обратная матA- 1 , и поэтому существует единственное решение Х = А- 1 ВСлучайрицауравнения АХ= В (для уравнения У А = В существует единственное решение У = BA- J ) . При ЭТОМ можно отдельно не вычислятьматрицуA- J , а применять наш алгоритм. приписывая к матрице АI В),I А -1 В).матрицу В, (Астрок к (ЕПример8.8.4.и приводя элементарными преобразованиямиПустьВ= (-~Требуется найти матрицу А -1 ВРешение.(-~ -~ ~ I-~227~167-В9)-37-167-138.9.183Замечания об обратимом (биективнам) линейном отображении(о-2 -11 0111 -612 27(Оо1 О 11 -33 5 8 -191 2 2 7 -13(~-4 (~1011 -3-2о 1 12 2 7 -131оОО1О111-37-132 )-3-47~)(~n (~ 1 О 1 ~ )) (~ 1 ~ ).~)-350115 -102 2 7 -131О1ООО-3 2-2 13 -3 1О7-э1 112 5-2-7-3013О 1 -31 -2Следовательно,A-1B=(1 =~ ~)Общий случай матричного уравнения АХ = В, А Е Мт,n(К),Х Е Мn,т(К), В Е Мт,,·(К), равносилен рассмотрению 'г системлинейных уравнений с матрицей А и столбцами Б 1 ,...
,8.,.в качествестолбцов свободных членов. Приведение матрицы А к ступенчатомувиду А,(А1 В) >->(АIБ),сводит задачу к анализу 'г ступенчатых систем ~ одной .матрицеЙ Акоэффициентов и столбцами свободных членов Бl,... ,Б, ..Замечание 8.8.5. Вычисление матрицы У = ВА -1 можно провести, используя элементарные преобразования столбцов:8.9.Замечания об обратимом (биективном)линейном отображении8.9.1.Пусть и,v - линейные прсстрапсгиа.-417 -линейное отображение (т.
е. /(1/1 + '11.2) = /(1/1)1 ,/'(1/'1)Замечание/:И184иГлавадЛЯ всехf(T'IL) = 'I'}('I/.)ниеf8.Алгебра матриц'11:11.],""2 Е И и т Е 1<), Если отображебиективно, то его обратное отображение/-1также являетсялинеиным отображением,Доказательство, Для всех 'И1,'и2 Е/сг (-О l1+ 1"2))=+ '02 ='1']= /(/-1(и,))Так как/V+ 1(/-1(1'2))= f(/-I(1'l)+ г 1 ( 'и2 ) ) 'инъективно, тоАналогично, ДЛЯ" ЕVиr Е К из/(/-1(1"1))) = ти = т{'(Г 1('и)) = /(гг 1 (-u ) )следует, чтог1(т'u) = тг 1(-и).Итак,1-1 -линейное отображение,Замечание 8.9.2. Если f:с матрицейтогдаиа) 'тб)F =оkn --; km -(/и) Е lVI т , ..
.(К) , тоf-линейное отображениебивкгивное отображениетолько тогда, когда=n,IFI/O,При этом матрица линейного отображения 9 =/-1равна G = р- 1Доказательство,1) Если т.=n иIFII О,{/jl",.1],"x·11'.то для системы++'. .. + /nnХП =Унпо правилу Крамера знаем, что решение существует и единственно,приэтомо.рuХ; = ТFj = ТFjY1к;+ ' ,, + тУП= УilУl+ ... + У.;":У",,8.9 .. Замечания 06185обратимом (6иективном) линейном отображениигде G = (gij) = р- 1 Итак, .9 = 1-1 существует и является линейнымотображением с матрицей G = р- 12) Для линейного отображенияР =(Iij)1: i(n--+к» С матрицейЕ Мт,n(К), где(Уl)"'1)( Е"f{ 'jf'"~.'I:Ixl + '....
+Уmj'.mnXn='Уm.,из нашего исследования систем линейных уравнений (метод Гаусса)имеем:а) если т< n,то отображение1 неявляется инъективным (даже для нулевого столбца свободных членов есть отличный от нуляпро образ (ненулевое решение));> n, то> n ;?б) если т(так как если тотображение1не является сюръективнымт, ТО В ступенчатой формеFнашей системы для столбца правых частей, дающего «экзотическое»0·7'1+ ... + ОХ n= Утf=уравнениеО, уже нет прообраза (решения)).Итак, если 1 биективно, то тп = n, т. е.
1: и --+ И, где И = к».Если 9 = 1-\ то 9 - линейное отображение. Пусть G = (gij) - егоматрица. Так как 19 = lu = 91, то РС = Е = СР, и поэтому 'РI ! ои с= p~l.DУпражнение8.9.3(ещё одна очень хорошая функция от матриц).1) Пусть А=(o.ij) ЕМ,,(К). Положимntl'(A) = ан+ а22 + ... + """ = Laii'[:::::1(след матрицы А).
Тогда:а)ът-линейная функция,tl'(A+ В) = tl(A) + tl'(B),для всех А, В ЕI\'I,,(K)б)tl'(E) =в)tl'(AB) = tl'(BA).п;и л Е К;tl(M) = ,\ tl'(A)186Глава2) Функция тг: Мn(К)8.Алгебра матриц--> К однозначно определяется свойствамиа), б) и в)3)Еслислаг КI\IIn(K)дЛЯ А, В Е8.10.= О (например, К = IR?), то в алгебре матрицединичная матрица Е не представима в виде АВ ~ ВАNln(K).Матричное построениеполя комплексных чиселПоле комплексных чисел !с можно найти как изоморфное подполев кольце(2 х 2)-матриц M 2 (1R?) над полем действительных чисел IR.(2 х 2)-матриц видаРассмотрим совокупность !С' всехгде а, Ь ЕIR?.Так как/J.((1(~ЬЬ)(J.d)Ь) + ( с-Ь"с-d= (а+с-(IJ+d)Ь+(1) 'а+с(-(1с d)(; = (ш;- ьd ad + Ьс) (с d) (-ьа-(ас! + Ьс) ас ~ ьd = ~d сто подмножество !С' вЬ)а.'M 2 (1R? ) замкнуто относительно операций сложения н умножения, о которых мы уже знаем, ЧТО они ассоциативны,умножение в С' коммутативно, сложение и умножение связаны законом дистрибутивности.Так как-Ь) Е !С',адТО (!С'.+) -абелева группа.Итак, (!С',Если+..) -коммутативное кольцо.А= (о.
11) i (О О),-ь()ОО8./0.187Матричное построение поля комплексных чиселтоа аыI-Ь=а2+ Ь2 '" О,и поэтому существует обратная матрица().(- (,,2 ~IP)А- 1 =таким образом, С'а2+ 12)o.2~b2)а0.2+Е С',Ь2поле (подполе в кольце матриц-Отождествляя действительноечисло а ЕM2(JR)).со скалярной матриJRцей(~ ~) Е С',получаем (изоморфное) вложение поляJRв С'(JR <;;С'),a~ (~ ~).Обозначив.1)(О. -1ъ =ОЕа>'L.,получаем.,2 =(о-11) ( О 1) (-1О-1Если(u-ЬООО)-1= -1.Ь) Е С',ато(-ЬаЬ)(l(оО О) + (ОЬ ')-ь о(l==(~ ~) + (~ ~) (_~ ~) =aHi188ГлаваЗамечаниение8.10.1./ из 1[ в С,8.Алгебра матрицФактически, нами установлено, что отображе/((0., Ь))=(_~ ~)является изоморфизмом построенных полей 1[ и 1[', т.
е. биекцией,для которойZ1,z2ЕiC.l(zl+ Z2) = l(zl) + I(Z2), l(zlz2) = 1(zl)l(z2)для всехГлава9Линейные пространства9.1.Вывод свойств линейного пространстваиз аксиомПусть Кполе (например, К =-поле действительных чиIR -сел). Многочисленные конкретные примеры линейных пространств,с которыми мы уже столкнулись (линейные пространства строк ](П,столбцов к-, пространства прямоугольных и квадратных матрицJ\i]m,n(]() и М,,(]() , пространство многочленов ]([.1:], пространствонепрерывных вещественных функций С[О,оправдываютвведениенеиного пространстваuией сложенияи рассмотрение1]на отрезкепонятия[0,1]н т.
д),абстрактногок V над полем К как множествали\7 с опера(V х V ---+ V, (о., Ь) f--' О. + Ь) и операциями умножения(V ---+ V, 11 f--' С1!), удовлетворяющимиследующимна элементы с Е Кусловиям:1.1)ассоциативность сложения (т. е.всех 11.,'.11' Е('11.+ 'n) + чп=11+ (00 + 11')для\/);'11.,',1.2)коммугативнос ть сложения (т. е.о..+о =о+и для всех1:3)существование нейтрального элемента О для операции сложе"ни (1'. С."I.~)+ ()сушествоваиие/'ЕV (1'С./I=С дЛЯ всех '1 Е= О);V);V);противоположного+ (-и)Еэлемента-'1)длявсякого190Глава11.1) 1· '/1='И дЛЯ всех 'И ЕЛинейные пространства9.V;11.2) (rs)'U = T(S'U) дЛЯ всех Т,В Е К,'И Е 1/;IIl.l) T(-I!] +'И2) =ги] +'/"1)2 для всех r Е К, '''],112 Е V;Ш.2) (Т+ s)'U =+ S'UТI1дЛЯ всех Т,.5 Е К, 'И ЕV.Приведём вывод ряда следствий из этих аксиом линейного пространства (хотя, конечно, в каждом конкретном случае они достаточно очевидны).1) Уравнение 'и+х ="; = (-'11.) + ·и.'И дЛЯ 'U,'И Е к V имеет, причем единственное,решение-11.Действительно, прибавляячто х =2)(-11.) + V.к левой и правой части, получаем,С другой стороны,Если ;Х +:Е = х для х Е11.
+ (-11.)+V= 'И.KV, ТО о); = О.Действительно, прнбавляя к левой и правой части противоположный элемент-:J:), получаем, что ;J:)=(-:J:)) + Х +:J:)=(-;1;)+ Х = О.3) О'и = О для любого 'и Е KV.=Действительно, если Х=(О+ О)'и = О'" = Х,4)-о=О для.,' ЕК, О ЕДействительно, если :1И поэтому :1:=О,·+ О'И=1/.= тО,то":+".= ,,'0+'1'0 = '/'(0+0) = та = '1!,1)ЕV.Действительно, (-1)-/1 + '[/=(-1 + 1)'/1 = О" = О, т. е. (-1)'1) = -[/.V тогда и только тогда, когда либоб) '/"/!=+Х =О.5) (-1)1) = -1)7'O'U (здесь О Е К), то Х,7; = О Е KV.И поэтомуО ДJlЯ 'г' Е К, 'О' Е=О, либодля всехv =О,=J О, ТО В поле К-: 1 Е К, и поэтому 'И = 1и = т-lгu = с- 10 = О.Действительно, если т7)1:(11 - 11) = Г/1,Действительно,-'1'1)1'('1/.для всех r Е К, н:» Е-и)+г"=,/.('{/, -существуетV.п+'с)"'(11 _.
'и) =1:11. - )"и.8) -(-'n)=./!для всех 'и ЕДействительно,'/1+ (-'/1)элементV.= О, И поэтому -(-и) = ·И.'/"/1, т. е.191Линейная зависимость в линейных пространствах9.2.9.2.Линейная зависимостьв линейных пространствахПустьк1 1 -" 'и,. Е·IJj,.линейноеV. "'1,пространствонадполемК.ЕслиЕ К, то элемент,k,.k1Vl+ .. + к.»;Е11называется линейной комбинацией элементов '11.1, •.• , '11.,. С коэффициентами"'1 , ..., "',.Е К.Систему элементов 'lJl, ...если найдутся элементыа) не всеkj ,,v7, Е К V назовём линейно зависимой,••• , "',.Е К такие. чтоki.
равны нулю (т. е. хотя бы один элемент "'; отличен отнуля);Длякраткостивиальная.в этой ситуации мы будем говорить, чтолинейнаякомбинация элементов Vl,.",1),/,«нетриравнанулю(конечно, тривиальная линейная комбинация всегда равна нулю,О'{)]+ ... + 0'11.,.= О).Система элементов 'Ul, ., ,,1.'1' Е К V называется линейно неаа.висимой, если она не является линейно зависимой, Э1'О означает, чтоизравенства"' 1'иlследует,+ ... +"',.·и,.
= О,"'1, ... , "',. Е К.что"' 1Теорема9.2.1.= "'2 = ... = k,. = О.Система элементов '/11-."1'11/,сима тогда и ТОЛЬИО тогда, когда ДЛЯ некоторогои; = Llj'uj.Е к V линейно асl/iИi" 1 ~ i. ::( '}',lj Е кj::j;-i(т, е. элемент 'U-i является линейной комбинацией остальных элеменТОВ системы 'иl, " . , V T) .192Глава9.Линейные пространстваДоказательство.1)Пусть система ·Иl, ...
, ·И,. линейно зависима, т. е.+ ... + k,.·u,. = О,kl'И]kii' О.ТогдаЕсли2)тоLljVj+ (-1)щ = Vi + (-I)v'i = О,.i:j:.i.т. е. система Vl,""Примерv,.линейно зависима, поскольку-1i' О.Если в системе элементов V], •..• И Г Е9.2.2.нулевой элемент, скажем, Щ =KVоестьО, то система '01 ... , и; линейно зависима.0'()1 +...+ 1·Ui+ . . .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
