А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 25
Текст из файла (страница 25)
ПустьИf, dimf{U = /,И,Иiлинейные-dimf{И! ='т"ИВ частности, если И•••~ Vis }ОподпространстваТогдабой базис подпространства И можно дополнить тбазиса подпространства ИiЕс5, то найдётся<m и лю1(- 1 элементами~ Иi И 1 = 177.,дото= И/,Теорема9.13.6(формула размерности). Пусть И, И!ные подпространства в J(V,clim кUИЛИ,+ diш к И!= climJ((U<п.dimJ(V =n-линей00, ТогдаИi )+ diш к(U + W),что экенеэленпю.сЕт к(U+ I,V) =diшДоказательство, Пустьdi111 к ТУ= t,Ясно. что О ~/{U+ сliш J(!VсliШJ((U(/~ 8,nIУ)d ( t,очевидно (объединение базисов в И иVV-diш [«(Иd,=Приd=n Иi),сliШJ{Uдаёт базис в Иберем базис ·UI"".щ линейного пространства Иnв,О утверждение+И/), ВыИf и дополним215Линейная оболочка элементов линейного простр.анства9.13.его до базиса'U1 1"'Ud, 'иl, ...
, 'иJЗ-(} линейного пространства И и до"базиса Vl,,"; V(j, 'Шl) ... , 'Шt-d линейного пространства Иl. Ясно, чтоЕслитоdL·t=lпоэтому 1"1t-tj8-(}+LЛi'/J.iL '/k'IЩ, Е U n Н!,/l.j'lJ.j = -}=lk=l= I"s-d = О, 1'1 = ... = "It-d = О. Следовательно,Л1 = ... = Лd = О. Таким образом,базис линейного подпространстваU+И/, откуда8+t = d+ (8 -d) +d+ (1. - d) =d+ (d +(8 - d) + (t. -d)),поэтомуdimKU + dimKT'V = dimKU n W + dimK(U + W).Теорема(о существовании прямого дополнения под9.13.7пространства). Пустьство в К У.такое,оdim к 11" = n<со.U-линейное подпространТогда существует линейное подпространствоvVв кVчтоU+ Иf =У,U n TV ={О},(называемое прямым дополнением подпространства и в к V; в этомслучаетакжеговорят,чтолинейноепространствопрямой суммой линейных подпространств и и И/,f(V=USf(И,то'U.l,· ..
,1Itявляетсяобозначение:ТУ).Доказательство.вкVЕслидополним1Vl"",'vnUnT'V={O}-1· .егоdim f(l;доПусть'/.базисаy,v =\1'1Илинейного1{"I1.1, ...."11.,.} -пространствабазисКТ!:" , , 'ulI. _"') ' Тогда к'; = U+Иf ,О216ГлаваЗамечание9.13.8.9.Лннейные пространстваКонечно, прямое дополнение определено неодноэначно, однако все прямые дополнения линейного пространстваизоморфны (а именно, все они имеют размерность diш к17 ~diIIl кU).Замечание 9.13.9. Еслиj{ 1/ = И1V, то представление элемен= и: + Ш, IJ. Е и,т Е П7, определено однозначно(действительно, если '() = и + 1и = 'и' + ш', '/1,' Е и, из' Е W, тота(JЕ" - и'Vв виде 'и= ",' -из Е ИnП/={О}, следовательно, '"и поэтому линейное пространствопей прямой сумме {(и,111)Iи}( 1/ =Е И,UJЕИ ЕРW=и', W= w'),изоморфно внешW} линейных пространствкU и f(И! С естественными операциями сложения пар и их умножения на с Е К.Пример9.13.10(прямого разложения). ПустьV = Mn(IR),И={А ЕW = {А Е rvlп(IR)Mn(IR) I А* =I А*А},= -А}.Тогдаll!V=UEPWдействительно, А =А+А*--2-A~A*+ --2-'Если А = А* =~ А, тоОA=OEM,,(IR).Решётка подпространств9.14.линейного пространстваРассмотрим частично упорядоченное множество всех линейныхполпространств И линейного пространства к V:L:([(1i ) = {ИгдеИ]U 1 , и2Е(: U2L:(j,'1/)означаетн,с:;Iии2 .с:; KV},Длялюбыхсуществует точная верхняя граньИ точная нижняя грань И] 1\U2 = U 1 n U2,двухэлементовU1 V U2 =И]+ U2таким образом, частично упорядоченное множество Е(к V) является решеткой (решёmкойлинейных подпространств линейного пространства к 1/), при этомЕ(к1/)- решетка с дополнениями (т.
е. для всякого И Е L:(f(V) существует такой элемент I'V Е Е(к1/), что UvlY = 17, и А Иf= {О}).9.14., Решётка217подпространств линейного пространстваТеорема9.14.1.В решёткевыполнено следующее модуL(KV)лярное тождество Дедекинда если Х, УХZЕХL:(KV).<; Z,то+ (У n Z) = (Х + У) n ZДоказательство.1) Пусть2.+0.Е Х+ (YnZ),где т Е Х, а Еу=Z-TЕYnZ,поскольку Х<; Z,тогдаYnZ,+ О. Е Х + У; "' Е Х <; Z, а. Е У n Z <; Z.х + а.
Е Z; итак, х + а. Е (Х + У) n Z2) Пусть Z Е (Х + У) n Z, Z = .70 + у, где ,с Епоэтому 2.и поэтому Z(JЕ У, ии следовательно,Х. У Е У. Тогда= т+у ЕХ +(YnZ).оЗамечание 9.14.2. Еслиclim к V ) 2, товL:(K 1/)не выполняетсятождество дистрибутивности(Х+ У) n Z= (Хn Z) + (У n Z).Действительно, в к 11 = К2 имеем дляХ+ У = KV = к"+ У) n Z = Z f(ХЗамечаниеL:(J(11)9.14.3.Итак.ХnZ={О} = (Хмы{О},УnZ=n Z) + (У n Z).убедились втом,{О},очторешеткавсех линейн ых подпространств линейного пространства к Vявляется модулярной (делекиндовой) решёткой с дополнениями.218ГлаваПроективная размерность подпространств9.15.и проективная геометрияЕслито9.
Линейные пространстваdil11{{ 11 =определимп, и Е [(к V)линейное подпространство-8к V,проективнию размерностьр.гйгп ИТакимPG(KV)образом,нулевое= dil11 кU - 1.подпространствоную размерность, равную-1;вKVимеет проективодномерные линейные подпространства имеют нулевую просктивную размерность (их называют точками проективной геометрии); двумерные линейные подпространстваимеют проективную размерность, равнуюпроективной геометрии); и т. д., р.фшсовокупностьвсех(i+ l)-мерныхполучаем(n -где С"множество точек,-1(их называют прямымиV = '1'1.-1.Обозначая через С,линейных подпространств в 1(1/,l)-мер"ую проектцянцю геометриюС1 -множествопрямых,С2 -плоскостей, С,-множество ~-мерНbIХ плоскостей, с отношением инцидентности-<И/I\JНl И Е С"(/j·V ЕС), где 0:(i :( j :( '11.-1, означающим,что и с-- И/.9.16.Теорема о ранге матрицыПуг п, А =l\'l""n(K) - прямоугольная (т.
х n)-матрица1VJ;j .....i/;;:jl ..... п. квадратной(Л: х k)-матрицы, состоящей из элементов на пересечении k строкг номерами t] .... , i-A: и k. столбцов с номерами )1,··· .з». называетсяс элементами(n.;))«.,Еиз поля К, Определительминором /;;-20 порядка матрицы А. Наивысший порядок ненилевогоминора матрицы А. обозначим черезТеорема9,16,11'(.'1).(о ранге матрицы). Следующие четыре числовыехарактеристики матрицы А =(a.'j)Е ]\!Imл(К) совпадают:1) I'(А 1 , ...
, А",) (ранг системы строк. в к n ) ;2) 1'(;\1' .. " ",!,,) (ранг системы столбцов, в1<'11;9.16.219Теорема а ранге маТрИНbl3)г(А) (наивысший порядок ненулевого минора);4) число ненулевых строк(Это совпадающее'1'в ступенчатом виде А матрицы А.число называется рангом матрицы А и будетобозначаться через 1·(А)).Доказательство разобьём на четыре леммы.Лемма 9.16.2. Пусть матрица А получена из матрицы А элементарным преобразованием строк (столбцов) 1-го или 2-го тпэ, тогдаг(А) = г(А).
Если А - ступенчатая форма, к которой приводитсяматрица А, то г(А) = г(А}Доказательство проведём для преобразований строк (для столбцов всё аналогично).Случай1. А'; = А.;+ cAj ,с Е К, ii= j.для k> l'(A)рассмотримминор л1 = 1I1;1 .....i,"I.... .н: в А.а) Еслиi f/c {i 1,, ik}, то 111 = Mi" .. ,i"jl, .... jk = о.б) Если i, j Е {i, ik}, ТО 111 = M", ...,;'.;jl•...,j' = О...в) Если i Е {i], ", ik} 75 з . то разложим определитель Мпо i-йстроке А'; = А, + cA j в сумму двух определителей: 111 = lVI + с6. = о,так как М = lvI;.I ......i.k;jI .....
:i,. = о, поскольку k > r(A), определитель 6.в качестве i.-Й строчки имеет часть строки Aj, но j f/c {ч . ... , ik},И поэтому 6. отличается от минора матрицы порядка k перестановкой двух строк, и поэтому 6. = о. Итак, г(А) О;;:; l'(A). Посколькуот А кii:можно вернуться элементарным преобразованием строк, тоI(A)O;;:;l'(A)Случай 2. А; ;-, Aj разбирается аналогичноi,j f/c {i]"i k}; i Е {i],.i k} 75 Л·Лемма9.16.3(i,j Е {i] •.
. ,ik};о(о сохранении линейных соотношений междустолбцами при элементарных преобразованиях строк). Пусть отматрицы А к матрице А' мы перешли элементарными преобразоваНИЯМН строк, тогда столбцы матриц А 11 А' имеют одни и те желинейные соотношения, а именно, k1A 1 +только тогда. "огда k:]A'] + ... += о.Доказательство.... += о тогда нЯСНО, что элементарные преобразования г-го и2-го типа для строк сохраняют линейное соотношение для столбцови эти преобразования обратимы.О220ГлаваСледствие 9.16.4. Система столбцов A.i'"9.Линейные пространства" А;,.мегрниы А линейно зависима (соответственно, линейно неэависима или являетсяыэкснмэльной линейно независимой подсистемой вA1 , ....
А n ЕК'Н)тогда и только тогда, коте соответствующаясистема столбцов (с теми же номерами)Aj".", Aj,.матрицы А' линейно зависима (соответственно линейно независнма или является максимальной линейнонезэвисимой подсистемой в A~,... ~ A~,. Е i'{'ш).Следствие 9.16.5. г{А\, ... , А n } = l{А'" , "A~}.Лемма 9.16.6. Если А - ступенчатая матрица, то иаивысший порядок ненулевого минора г(А) совпадает с числом r ненулевых строк,Доказательство,1) Мннорт-го порядка на пересечении 'г ненулевых строк н столбцов, проходящих через уголки ступенек, является определителем треугольной матрицы с иенулевыми элементами на главной диагонали,ипоэтому отличен2)отнуля,Все миноры, порядок которых больше т, нулевые. так как име-ют нулевую строку.ОЛемма 9.16.7.
В ступенчатой матрице А ранг системы столбцовсовпадает с числом"ненулевых строк (а именно, столбцы, проходящи" через уголки ступенек, образуют максимальную линейно незапнснмую по,!{систему столбцов),Доказательство.1) Указанныестолбцы линейно независимы, так как проходят че1'('3 (,' х,' )-матрицу с ненулевым определителем.2)Любой столбец ступенчатой матрицы является линейной ком-бинацией указанных.Следствие9.16.8О(алгоритм нахождения максимальной линейно независимой подсистемы в системе столбцов прямоугольной матрицы). От матрицы А ГJерейдём к ступенчатой матрицеilс иомоизью элементарных ГJреобразованийслрок }-го и 2-го тнпов, заноыннм номера слолбиов)1, ... ,,],,., проходящих через УГОЛКИ ступенек в А, в матрице А возьмём столбцы С этими понерэмн .4.iI· ...
A.i,,'221Теорема о ранге матрицы9.16.ПримерНайти какую-либо максимальную линейно неза9.16,9,виеимую поде истему строк в системе0.1= (-1,4, --3, -2),(1.;10.1, (/.2,(1.2= (3, -2, 1, О),аз, а4 Е }R4,= (3, -7,5,3),04 = (-4,1,0,1),а остальные строки выразить как линейные комбинации строк этойподсистемы.Решение. Записываем строки al, а2, аЗj а4 как столбцы и при ВОдим полученную матрицу кглавному ступенчатому виду с помощьюэлементарных преобразований строк:(-~-3-23-7533-2135-4О-332ООЗаписываем номера столбцов в ступенчатом виде, проходящие через уголки ступенек:1, 2,Поэтомуневависимая подсистема, аз=темы строк а1, а2, (J,э, й,4 равен30.1{(I.[, а2} -+ 20.2,0.4максимальная линейно=-50.[ -30.2; ранг сис2.Завершение доказательства теоремы о ранге:['(А[,леММ~lб3 [,(А[,.,., А n ) (ранг столбцовступенчатой матрицы А) ле""м~9.16.7 т леШI~9.1б.6= ['(А) л'"''''dТеоремаЕ М"" ( К ).
['(А) = г(А*) ле",,~lб.З г(А[, , "Ат)'I6 29.16.10,Пусть А =(aij)ЕМm,,,(К), ВТогда['(АВ) ~ ['(А),г(АВ) ~ г(В).=О(lJ ij)Е222ГлаваДоказательство. Пусть С= (Cij) ==с, =+ o,;.nbnj,+n·i.nB11'A1 b1j ++ A"bn j .Q,'ilBlЛинейные пространстваАБ. Тогда++СЧ = o,'ilbljС;9.т. е. строки матрицы С линейно выражаются через строки матрицы Б, столбцы матрицы О линейно выражаются через столбцы матрицы А. Поэтому г(С)Следствие1"(В) и ['(О),;9,16,11,:(1"(А),ОПри умножении на квадратную матрицу А сIAj '" О ранг не меняется,IAI '"Доказательство, Так какрица А- 1 Поэтомуио, то существует обратная матследовательно,['(Б):( г(БА),1'(Б)'; г(АБ)Ранее мы доказали, что['(В)?г(БА),г(В)? 1"(АВ),Поэтому1'(Б)Задачи1)= 1"(БА),= 1"(АВ),9,16,12,В условиях теоремы:,'(А)2)г(Б)+ 1"(Б)-п.:(,'(АВ),Если А, Б, О Е Мn(К) и АБС = О, тог(А)+ 1"(Б) + 1'(0):( 2п,О223Теорема о ранге матрицы9.16.>3) Пусть А Е !VIщn(К), В Е Мn,т(К) и тdet(AB) = О,п, Покажиге, чтоДоказательство. Так как АВ Е !VIт(К), то<г(АВ) ~ I'(В) ~ nт,О4) Если А 2 = А Е Мп(К), тоI'(А)5) Если А, В Е Мn(К) и АI'(А2+ l'(Е = А,+ В)6) Если А,В Е !VIn(К), АВ=АВА) = й..=О== т(А)ВА, то+ r(В),ВА, т(А 2)=I'(А) И r(B 2)=I'(В),тоr((Ав)2) = [(АВ),7) Если A]"",Ak Е Мn(К), k? 2, тоl'(А 1 " ,A k )Теорема9.16.13? r(А 1 )+'" + l'(A k )-n(k - 1),(о факториальном ранге).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
