А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Пусть т, п. ЕА Е Мщn(К)' Ранг матрицы I'(А) равен наименьшему числуму,М,k такочтоА = В ,С,(это числоk:доказательство,С Егде В Е!VIm,k(K),С ЕMk,n(K)называется факториальным рангом матрицы А),!VIk,n(K),Допустим,что А=В, С, где В Е М,n,n(К),Тогда система столбцов матрицы А линейно выражается через систему столбцов матрицы В (ихkштук).Поэтомуl'(А)';; ь.Пустьk= l'(А).Выберем строки А",•.
" А",., образующие максимальную линейно независимую подсистему строк А].",. А", матрицы АРассмотрим матрицы В Екоторой j-я строка С;M""k(K),= Ai j , jВ= (fiij),= 1,., .• "'.И С ЕТогда А = ВMk,n(K),. С.дляО224Глава 9.Теорема(теорема9.16.14Линейные просюгнстэКронекера-Капелли: критерийсовместности и определённоети системы линейных уравнениив терминах рангов матриц), Пустьных уравнений сnнеизвестными,IЬ;}.4 =-системаЕ Мm,п(К)rn линей--матрицакоэффициентов,расширенная матрица системы линейных уравнений,а) Система линейных уравнений совместна тогда и только тогда,когда ранг матрицы коэффициентов А равен рангу расширеннойматрицы .4' = (А, Ь), ,'(А) = I'(А'),б) Система линейных уравнений определённая тогда и только тогда, когда ,'(А)=,'(А')=п,Доказательство,1)Используя определение ранга матрицы с помощью столбцов,видим, '11'0 всегда2)Если"(.4) :;; ,'(.4')(k 1 , .
, . ,k n ) - решение.т. е. столбцы матрицы.4'линейно выражаются через столбцы матрицы А, следовательно, ,'(А')3)Пустьто1'(.4') = 1'(.4) = '(':;; ,'(А), и поэтому I'(А') = ,'(А),Тогда максимальная линейно независимая система столбцов матрицы.4содержит'(' столбцов.И поэтомуона является и максимальной линейно нсзависимой системой столбцов матрицы А'. Таким образом, столбец9.17.225Размерность пространства решенийлинейно выра жается через эту систему столбцов матрицы А, а поэтому и через все столбцы матрицы А,Итак, существует решение(k], .. '. k n )системы линейных уравненийОВторое доказательство. Элементарными преобразованиями приведём систему линейных уравнений к ступенчатому виду (ранги матриц не меняются при этом).
Совпадение рангов означает отсутствие«экзотических»уравненийв ступенчатомвиде,т.е.совместностьсистемы линейных уравнений.4)ОДоказательство критерия определенности(втерминахрангов). Если система определена, т. е. 1"(А) = 1"(А'), то она определена тогда и только тогда, когда в ступенчатом виде нет свободныхнеизвестных, т. е. 1"(А)9.17.=г(А')= n.ОРазмерность пространства решенийоднородной системы линейных уравненийКак мы отметили ранее, совокупность решений Х од н однороднойсистемы линейных уравнений с матрицей А =ется линейным просгранством,Теорема9.17.1.Если 'г =(a;,j)подпространством1"(.4) <'н, тоЕ Мт,п(К) являв К":dil11X OOH =н- .,.(Т.
е.размерность пространства решений равна числу свободных неизвестных). (Если "(А) =n,то система линейных уравнений имеет лишьнулевое решение.)Доказательство. Дляудобствазаписипереупоряпочимвестные, если это необходимо, так, чтобы'Тl1"",.главных;Т'I"неизвес гиых.;Тnвсиэвсстиыхнеиз226ГлаваПусть(nЕ n -,·Е~ Т) ХЕМn_,'(К)-9.единичнаяЛинейные пространстваматрицаразмера-г). Возьмём её строки в качестве наборов значений(nдля свободных неизвестных и ДОПОЛНИМ их (единственно ВОЗМОЖНЫМспособом) до решений нашей системы линейных уравненийn:n-г = (<:('11-"')1)'"Эта системаn,C(n~7')1"O,O, ...
) 1).~ Т строк-решений линейно независима (посколькустроки единичной матрицы, конечно, линейно иезависимы). Если13 = (131, ... ,13,,-,,13"-'+1, ... , 13п)произвольное"1= 13 -Е Ходн -решение, то(3,,-,,'+1("1 - ... - {3"'-'n-,=(/'1, ... , /,,,-,., О, ... , О) Е Ход н .Однако, конечно,(О,при этом/'... ,О, О, ...,О) Е Ходн ,и нулевое решение имеют одинаковый набор значенийДЛЯ свободных неизвестных.
Так как значения главных неизвестныходнозначно определяются по свободным, то/' =Итак, мы построили базислинейного пространстварешений Ходн , поэтомуЗамечаниеДЛЯсвободныхС ЕGLn_,·(K)9.17.2.(Iim{(}:}, ... : йn-т'}Ходн= п. - л-,ОЕсли вместо строк единичной матрицы Е,,_тнеиэвестных(т. е.О, следовательно,GбратьЕ Мп(К),строкиIGI !всевозможныхматрицО), ТО этот алгоритм позволяет построить все базисы в ./'У nд н .Замечание9.17.3.Любой базис линейного пространства решений )(одн однородной системы линейных уравнений называегся в рядеалгебраических текстов «фундаментальной системой решений однородной системы линейных уравнений).9.18.227Задание подпространства9.18.Задание любого подпространства=в кVК" как пространства решенийоднородной системы линейных уравненийПусть К-поле, ·Ul.· ...
'Umподпространство'и11 ... , 'l/.m,Т.ве.Ек1/являющееся1(""',множеством всехК";=(Нl"",и т ) U =линейнойлинейныхоболочкойстроккомбинаций строк'Щ"", ит, Мы найдем такую матрицу А Е М"n(К), что множестворешений однородной системы линейных уравненийсовпадает с И,Если И-нулевое под пространство, то в качестве А мы можемвзять любую матрицуА==Е), Если Ихnnс ненулевым определителем (например,К" (это эквивалентно тому, что=n), то1, ЕслиН, ТО пусть и; = ('ий, 'Щ2, ...
,'U'i'n),dimUв качестве А мы можем взять нулевую матрицу из М"n, S ;,же 1 (:<dim И = I('LЧ,· .. 'Um.)'/l,'i,j Е 1<.11 ~ i ~ 1П,Рассмотрим1 :( i :(тn,матрицуВЕМm,,,(К),В=(bij), bij =Uij,п., и однородную систему линейных уравнений1 :( j :((9,2)Ясно, ЧТО т =пространства1~ г< n,то1'(В) =решений1 ( ..,Пусть строки и"<'clim [Т,Х однА Е(u,j),А-т<равна-п, Размерность 8n -Т,Н таккак'и" Е К" образуют фундаментальную систему(9,2),/!,А =1 :(системыn.решений системы]\ls,,,,(K),поэтомуэтойо,;= ('и""" ,11,,,,),=Uij, 1:( i :(1 :( i :(в, и,; Е К, Пустьв, 1:( j :( п.
Понажем, чтоискомая матри цадействительно,по построению матрицы А любая строка из [т(как линейная комбинация строк 1/'1, ... ,'/1./n) является решением од-228Глава9,Линейные пространстванародной системы уравненийА CJ (~)т. е. и<;;(9.3)Ход". С другой стороны,djш Ход" = n - г(А) = n - s = n - (n - Т) = Т = djш U.Следовательно, и = Ход".ОВ заключение отметим, что матрица А определена неоднозначно. Например, другая матрица А' может быть получена с помощьюдругой фундаментальной системы решений системы(9.2).Полученное задание линейных подпростраиств оказывается полезным прирешении ряда практических задач. Например, пустьIRn- линейно независимые строки, 'т, < 'п.
Требует" 'иn, ЧТО {и}; . . , -и n} - базис линейног-о пространства IRn. Как и выше, пусть '!!1, ... , 'us - какая-нибудь'11'1~ ...1Нт Еся найти Такие строки 'и т + l , .фундаментальная система решений системы1"(8)=;'т. S=жем, что {Н,!,... , п н.}килинейно невависимы над''1/.["",1/,.",+ ..n',u.,·1·имеем z Ег; ЕZ[{}n'U. n(в нашем случае-базис в ]Rn. Достаточно по казать, что стро-IR.Пусть O~l""1О'n ЕIRrи= О Е IRn. Тогда для строкигде V = {Нm.+l,""'I1n/.
Если z =:( n, то по построению гюлпространсгв и иUnv,IR, 1,;; i(9.3))(9.2)'n - 111.). Положим 'иm.+l = Vl, . . . , и n = V'n-m' Покэ(Zl, .... Zn}(см. (9.2),vимеем+ ... +Значит,z~, = О, следовательно,Zl=ZN=О, И Z= ()ЕIR".9.18.Но '111, .
. 1 'Нт.=229Задание подпространстваО'т=линейно независимые строки, поэтому-0:1=О. СТрОКИ 'Um+l, .. " 'и n также линейно независимы, следовательно, 0т+1 =..== й n = О и строкиОП = О. Итак, 0:1 =.'иl1 " ' , 'lLn линейно независимы.Таким образом, мы рассмотрели два способа задания линейныхполпростра нет в в к V = К":Г) как множество решений Х{)ДН однородной системы линейныхуравнений;2) каклинейнуюоболочку(иl1'"J'Нт)строк'Нl,· . 1 'И"m.ЕEKV=K n .При этом мы научились переходить от первого задания ко второму(фундаментальная система решений) и от второго задания к первому. Первый способ задания удобен для задания пересечения Иn И/подпространств (надо к первой однородной системе уравнений приписать вторую). Второй способ задания удобен для задания суммыподпространств:в следующем примере мы увидим комбинацию этих приёмов.Пример 9.18.1.
Пустьстрок "1=(Щ, 11.2, 11.З)V1 =(1,1, О, О),11.2=с;]R4(линейная обо= (О, 0,1,1»,= ("1, "2, ·uз) с; ]R4 (линейная оболочка строк '''1 = (1, 0,1, О),'и2 = (0,2,1,1), I'з = (1,2,1,2). Необходимо найти базисы линейных пространств V + V2 И V 1 n V2, при этом строки Щ, 'и2, 'uз, 'Uj, '''2,'''з выразить через базис пространства V + V2 .лочка(0,1,1, О), ЩV2jjРешение. Запишем строки иl, 'и2, НЗ, 'и1, 'и2, 'Из по столбцам иприведём полученную матрицу к ступенчатому виду с помощью элементарных лреобразований строк:ОО1О1 О1 1О 1О1211-11О1О230ГлаваI'/1,1(:-+оо1ООООО11ПосколькуО1-122-11О+ V2V1fН'2Линейные пространства9.fиз!)f"21-1О2-1-121(11,1) 7[2) Hз~ 1Jl,l.l2, ?!з)If'°1'ОзjJИ элементарные преобразования строк матрицы не меняют линейных соотношений междустолбцами, тоdiШ(V1+ V2 ) = 4, ТОV + v24).
Из ступенчатоговида мы вычис{'Щ,U'2,'UЗ,'Ul}-базис вVl+ V2 =(и1таккакIRляем 'u~ и 'и~ через u~, и,~, u з . 'u~:Поэтому+ 'I/.э-,,& ='01''1/.1,+ 'I/.~ + U:1-,,;и, следовательно,для 'u~ мы видим, что 'u~110ЭТОМУ оэ= 2'1/.1+ 2'I!;j -завершению ириведеиия'01,'112 =uj= (2, о, 2, О)" = 2'1/.~+ 1/.2 ++ 2и~,Провецённые вычисления равносильныматрицы~+ ,,;к~ ~ :::~() 011 ()главному сгупенчатому виду:~)112'1·-1_-_1~() () UlL_l_,_PIi('('Moтpr'IM теперь \/1n V2'дЛН ЭТОГО найдём однородные системылиш-нпых уравнопий. ЧЬИ множества решений совпадают СсоотиетсгвонV1иV2110,11ml Vr:1 1 О О) ('11)( ОО О1 11 ()1 '.](о)О'2()Х4системаужевестные, :1'4 -имеетступенчатыйвид,Хl,Х2,"'3 -главныенеизсвободная, Фундаментальная система решений состоитиз одной строки(-1,1, -1, 1).Итак, подпространствоVjсовпадает2319.18. Зглгнне подпроетранетвас ПрОСТр2НСТВОМ решений однородной системы линейных уравнений(Х)1Х2(-1,1, -1, 1).Для1 О() 2(1 2·r;з= о.(9.4)Х4Vo::) @ш (i:::)@ (:): 1:)@~ Ш - (i :: :) (IO ~ (1)Л@ ШиМЫприходи мКступенчатомунеизвестные, а :Т4 -виду,приэтом'"1,:1:2, :1:3 -главныесвободная.
Фундаментальная система решенийСОСТОИТ из одной СТрОКИ(-1, -1, 1, 1). Значит, однородная системалинейных уравнений(-1,-1,1,1)(:~],];3:1;4эадаёт подпространство 1/2.ЯСНО, что система- 1( -11 -1-11=0(9.5)232ГлаВЕV1 nV2 .задаёт подпространство(-1-11-1-11Решим эту~) (::)Тз9.Линейные пространствасистему:~ (О)ОГ4~ (-~-;) (::) ~ (:) ~-1-11'4~(lhXI, Х2 --1-212-: )(IO -(:).главные неизвестные, 2'з, '1'4 -свободные неизвестные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
