А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Фундаментальная система решений состоит из двух строкu = (О, 1,1,0),v = (1,0,0,1)Следовательно, {l/,,'V}- базис линейного подпространства Vj9.19.n V2.Собственные числаи собственные векторы матрицыПусть К - поле, А Е М,,(К), О t Х Е Й" = Мп,l (К), Л Е К.Если А·Х = л·Х, то Л называется собственным числом матрицы А,а Х - собственным вектором матрицы А, отвечающим собственному числу Л.Условие А .
Х = л . Х эквивалентно условию(А ЛЕ)Х (~) Е л"-где Е Е М,,(К)-=единичная матрица.условие превращаетсяПри фиксированном Л этов однородную систему линейных уравнений2ЗЗ9.19. Co6cTBeНl-lЫe ЧНСЛ8 н собстенные векторы мырниыотносительноМатрица А-неизвестных Хl,...лЕ этой системы-Хn ,1квадратная матрица размера п: Поэтому наличие иенулевого решения этой системы равносильно тому,чтолЕ! = О. ПустьIA -p(t)= IA -многочлен степениtEInt - переменная,= pntn + Pn_ltn-1 + ... + Роот переменнойЕ K[tJ-t (называемый характеристическим многочленом матрицы А), при этом:рп =Рп-l=(_1)П-12,>;;(-1)''',(_l)П-l t г А ,=Ро= jAI·i=lМы показали, что собственные числа и только они являются корнямихарактеристическогомногочлена из поля К.Если л Е К и р(л) = О, то все собственные векторы матрицы А ОТносительно собственного числа Л-это все ненулевые решения системы(А - лЕ)Х = (О) Е к».Отметим, что множество всех собственных векторов матрицы А относительно собственного числа л не образует линейного подпространства в к», так как все эти векторы неиулевые.
Но если к этомумножеству добавить нулевой вектор, то получится линейное поппространство всех решений системы(А - лЕ)Х = (О).Таким образом, если р(л)=IA-лЕI= О, '/' =j'(A-лЕ), то (Jто размерность пространства решений этой системы равна":;;1' < 11,= 111',поэтому1 :;; s :;; '11" Если {X j . . • • , Х,,} - какая-либо фундаментальная система решений системы (А'- лЕ)Х = (О), то все собственныевекторы матрицы А, отвечающие собственному числу л,-это всенетривиальные линейные комбинации элементов Х 1 . .
. . . Х с коэффициентами из поля К.'234ГлаваПример=Линейные пространства9.19.1.А = (_1~)Корни: \19.к = IR,;),IA -\Е] = 11o_~ х 2 ~ \17, \2==\2 -12\ + 355, ),1,),2 Е IR (собственные числа матрицы А).7:Собственные нектары для ),,1 =неиулевые решения'Собственные векторы для ),2= 5:иенулевые решения:Пример9.19.2.f{ = !С,А=-1'(\)=(~ ~),~IA - \EI =1Имеется лишь одно собственное число:относительно л=IO1-\О), =О. Собственные векторыо задаются системой линейных уравнений9.19.Система уже имеет ступенчатый вид, Х2, .103 Х:) -235Собственные числа и собственные венюры матриныглавные неизвестные,свободная переменная, множество собственных векторов относительно),= О:При мер9.19.3.Еслидиагональная матрица. тоО'n0'1, ... ,все корни характеристическо-го многочлена матрицы А (и следовательно, собственные числа).Пример9.19.4.А=р(),)= IA -),EI(=1а) Кпоэтому= IR:для1) •О-1О),-111-),=),2+ 1.нет действительных корней многочлена р(),)матрицыАнетдействительных=собственных),2+ 1,чисел(и собственных векторов).б) К= iC: многочленр(),) имеет корни ),1=i(собственные числа матрицы А).Собственные векторы для), = ':ненулевые решения:{с.
(-~) I с Е с. с # о} .Собственные векторы для),= -i:Е С, ),2= -'Е С236Гпеег9.Линейные пространстванеиулевые решенияПример9.19.5.к ~. А = О =~ ~)=1'(,\) =IA -,IE[ = _,\ЗКорни многочлена 1'(А): А I -,+ 12А + 16.-2, А2 = -2, Аз = 4 (собственныечисла).Собственные векторы дл» А= -2:(А + (:~) (~)21'.)иенулевые решенияСобственные векторы для.\ = 4:(~~l ) (~O)(А-И):ненулевыеЗадачарешения9.19.6 (уравнение Сильвестера). Пусть А Е М,,(С').В Е М", (С).
С Е Мпл,(С)магрицы А и11не имеют общих СПс'-ственных чисел. Тогда матр"· 'ое уравнение Сильвестера АХ -х= С имеет ели нсгвенное реь.. ние Х Е :Nln.пJ:С).li9,19.237Собственные числа и собственные векторы матриuыЗадача9.19.7.
Пусть А, В Е мn(с), АВ = ВА. Покажите, чтоДЛЯ матриц А и В существует общий собственный вектор.Трудная задача 9.19.8. Пусть А. Б Е мn(с) и [(АБ- БА)= 1.Тогда для матриц А и Б существует общий собственный вектор.Теорема 9.19.9. Пусть А Е Мn(К), О f .Х"I,"" Х/ Е к.;ЛI, .. ,)'1 Е К, Л;. f Лj при 1 ( i f j ( 1, А· Х; = Лi . х; i = 1, ..
,1.Тогда столбцы Х 1,,Х/ линейно независимы, т. е. собственные век...торы, отвечающие различным собственным значениям, линейно неззвисимы.Доказательство.Основание ИНДУКЦИИ:Доказател~ство пРоr:едёМ ИНI;\УКЦИ:'Й ПО1 = 1,А· Хl = Лl. Х1 , ОfХ 1 , {Х 1 } -1.линейно невависимая система векторов.Пусть теперь1 ( l' < 1.1 ;;: 2и наше утверждение доказано для всех1',Допустим, что""IXI+ ...
+",,/X/=OEkn,"";ЕК,-;=1, ... ,1.(9.6)Умножая слева на матрицу А обе части равенства, получаем, что"1'иА· Хl+ .. + (\/. А· Х/= А· О = О Е к-,поэтому<УIЛ1Х 1Умножая(96)+ ... + <У/л/Х/<Y1.\,X1 -f ...Вычитаем(98)= О.197)+ ЩЛ/Я, = О.198)на Л/, имеемиз(9.7):<У] (Лl - '\/)Я 1+ ... + 11/_) (Л/_I - Л/)Я/_ 1=О Е к».При меняя нрсдположснис индукции, получаем, чтоf Л/, ... , Л'_I 'f- Л/, отсюда следует, что 0'1 == О Следовательно. из (96) следует, что С"Я/ = О Е к» ТакПОСКОЛЬКУ \1= Щ-lкак Я/ f 11. то (.1/ = О.
Таким ооразом. Щ = . = (У/ = О, И поэтому,\:, линейно неэависимы.собственные' векторы X 1D238ГяеееСледствие9.19.10.'/J/I'II]/(I)1/\ -- (Е!тО M<lTl'lIllil/1ТеоремаЛинейные пространстваЕсли А Е Мп(К). характеристический много-имеет n различных корней А),... , А пв поле К,иолобнг диагональной матрице:где CEGLn(K).(' II\('=I/.(A[, ... ,A,,),9.19,11,Матрица А Ес ~I,,(I\') лнн некоюрою119.rn.]\I1,,(C) нильпотентна1'1) тогда и толькоЕ(т. е. А'" =тогда, когда('O(I,"l'/H'III1I,JtI числе Л[j"" Л N равны нулю.Локпнательство.
а) Если Аl=А2= ... =Ап= О,тоIA -.\Е!=п= ( 1)"'\". По теореме Гамильтонв-е-Кэли А = (О) Е Мп(С).5) Если А'" = (О) Е М,,(С) и АХ = АХ, где А Е С, О f Х Е СП,то сп ) 11 = А"'Х = А"'Х, следовательно, А" = О И .\ = О.оЗамечаниеОДНИМ из фундаментальных результатов об9.19.12.алгебре матриц Мп(С) над полем комплексных чисел С (и о строении отдельно ВЗЯТОГО линейного оператора конечномерного линейного пространстваcV)является теорема о жордановой нормальнойформе:1)ДJIЯкаждоii матрицы А Ематрица С ЕGLn(C),М".(С) найдёгся такая обратимаячтоОООJ2 ...ОООз;J))-жорда нова матрицаупражнение2)(Т. е .
.111"':J{<; - жордановы клегки. СМ.8.6.8);нормальная жорданова форма .],4 матрицы А определена однозначно (с точностью до порядка жордановых клеток).Эта теорема обычно является одним из центральных результатовкурса линеиной алгебры. Она также показывается в более общем виде в разделе о строении конечнопорождённых модулей над кольцамиглавныхидеалов.9.19.239Собственные числа и собственные векторы матрицыКонечно, теорема Гамильтона-Кэли над полемiC являетсяследствием теоремы о жордановой нормальной форме.
В то же время имеются элегантные доказательства теоремы о жордановой нормальнойформе, использующие теорему Гамильтона-Хэли.Мы оставляем этот сюжет для следующих частей наших "началалгебры» (или его можно рассматривать как достаточно трудную задачу).Список литературы*Учебники111 Александров П. С. Введение в теорию групп. - М.: Учпедгиз,1951[2] Александров П. С. Курс аналитической геометрии и линейнойалгебры. - М.: Наука, 1979.[3] Андреева Е., Фалина И.
Системы счисления и компьютернаяарифметика. - М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2000.[4] Аничков д. С. Теоретическая и практическая арифметика.М, 1764, 1775, 1786, 1793.[51 Аничков Д. с. Начальные основания алгебры, или арифметикилитеральной. - М., 178].[6]АрнольдИ.В.Теоретическаяарифметика.-М.:Учпедгиз,1939.[7]Артин Э. Геометрическая алгебра.[8]Архангельскийства.-А.В.- М.: Мир, 1970.КонечномерныеМ.: Изд-во Моск.
ун-та,векторныепростран1982.[91 Афанасьев П. А. Арифметика.-М, 1814"За 300 лет истории математики и математического образования в России на русСКОМ языке накопилось достаточно много интересных и глубоких базовых учебныхтекстов по алгебре как РОССИЙСКНХ авторов. гак и переВОДО8. Привести все эти пу6ликации не представляется ВОЗМОЖным в ограниченном объеме.
Мы ограиичилисьвекоторои выборкой с целью поиаэатъ связь ЭПОХ Б преподавании алгебры.241СПИСОК литературы[10) Афанасьев П. А. Алгебра по руководствам Франкера, Лакруаи других новейших математиков. - м., 1816.[11]Барсов А. Д. Новая алгебра.[12[Барсов А. Д. Новейшая арифметика.-м.,1797.-м.,1797[13] Барти Т., Биркгоф Г. Современная прикладная алгебра. - м.:Мир, 1986.[14] Бахвалов Н. с., Жидков Н. П., Кобельков Г. М. Численныеметоды- м.: Наука, 1987.[15]Бахтурин Ю. А.
Основные структуры современной алгебры.м.: Наука,1990.[16]Безу Е. Курс математики.[17]Беклемишев Д. В. Курс аналитической геометрии и линейнойалгебры.[18]-м.,1798, 1801, 1809- м.: Наука, 1984.БеклемишевД.В.бры.-М.: Наука,Дополнительные[19]Беллман Р. Введение в теорию матриц.[20]Бертран Ж. Алгебра[21]главылинейнойалге1983СПб,--м.: Наука,1969.1899, 1901.Богомолов А. м., Салий В. Н.
Алгебраические основы теориидискретных систем.-м.: Наука,1997.[22] Боревич З. И. Определители и матрицы. - м.: Наука, 1988.[23[БохерМ.Введениеввысшуюалгебру.-м:Гостехиздат,1933.[24]Бугров Я. с., Никольский С. М. Элементы линейион алгебрыи аналитической геометрии.-м.: Наука,1980.[25] Букреев Б. Я. Элементы теории опрсделителей - Киев, 1907.126)Букреев1912.Б.Я.Элементыалгебраическогоанализа.- Киев,242[27]Список литературыБурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная иполилинейная алгебра.[28]Бурбакигруппы.[29]Н.-Алгебра.-М.: Физматгиз.МногочленыМ.: Физматгиз,и1962.поля.Упорядоченные1965.Бэр Р.
Линейная алгебра И проективная геометрия.-М.: ИЛ,1955.[30][31]Бюшгенс С. С. Высшая алгебра.-1915.Ван дер Варден Б. Л. Современная алгебра.М.-Л.: ОНТИ,-1937.[32]Ван дер Варден Б. Л. Алгебра.[33]Ващенко-Захарченко М.форм.[34]-Киев,Е.М.: Наука.-1976.Теория определителей и теория1877.Ващенко-Захарченко М. Е.
Алгебраический анализ или высшая алгебра.-Киев,1887.[35]Вендлер И. Ф[36]Вейцлер И. Ф. Аналитика специоза или алгебра.[37]Виленкии Н. Я. Комбинаторика.[38[Арифметика.-Винберг Э. Б. Курс алгебры.М,--1765, 1787, 1795.М.: Наука,М.,-1795.1969.М.: Факториал,1999, 2001,2002.[39]Виноградов С. п. Основы теории детерминантов.И. Д. Сьггина,[4011915;ОНТИ,-М.: Т-во1935.Воеводин Б. В. Численные методы алгебры Теория и алгорифмы.-М.: Наука,1966.[41]Воеводин В. В. Линейная алгебра -[42]Воеводин Б.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
