А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 24
Текст из файла (страница 24)
. . , Ас n,... )элементов из поля К.9.7.207Замена базиса линейного пространстваУпражнениеа)dimДокажите, что9.6.6.кlvlт.n(К)='11т.;б) diШII{А Е Ivln (IR )I А* = А} =В) dimll{A Е Ivln (IR )I А* =-А}·П('II.+ 1)--2-;=n(n-1)--2-'Замена базиса линейного пространства9.7.Пусть'и}конечномерное линейное пространство над полем К,V -dim V = nв V,< 00,={и1".• 'и n }-базис в+ (;2'/1)2 + ... + Gn j '1) n ,CljVl(запись по столбцу!).
С= (e;j)1/. {v\, ... ,'и~} - другой базисj= 1, ... n,1Е Ivl n ( К )-CijЕ I(матрица перехода отпервого базиса ко второму.ЗамечаниеТа" как умножение в поле К коммутативно. то9.7.1.левое линейное пространство к V можно рассматривать и как правое линейное пространство'и ЕV.полагаяVK,11'\ = '\'1для всех,\Е К,Тогда определение матрицы перехода может быть записанов матричномвиде как(0'1' ... ,'О",) = (-01 .
. . . ,vn)C.Ограничиваясь левыми линейными пространствами, мы можем использовать эквивалентную форму записи:ИЛИ, кратко. Е'=С'Е; где[=ЕслиV=К"; тоС,)и![' С,) Е=M",l(V),.. vn:'u~)",,'u;, Е[(11,[,Е' Е[' = С*[ означает равенство квадратных (n xn)-маТрИ11.~Лn(I() и208Глава9.8.Линейные пространства9.Обратимость матрицы перехода1) Если1('1= о, тоIC*I= о и строки матрицы С* линейно зависимы. Поэтому из( I!~ ):'.= С*(11'):следует, ЧТО H~, .казали, что(с*)-l2)линейно зависимая система в. , 'U;j.
-ВОДИТ 1< противоречию1(.'1 i") т. е. Е/ = С*Е,VNI!nс тем, что 'ui, ... ,1'~J. -V, ЧТО прибазис. Итак, мы поо и существует обратная матрица с- 1 (тогда= (с- 1 ) * ) .Другое докаэательство обратимости матрицы С даёт интерпретация матрицы В = С-l как матрицы перехода от второго базисакпервому.Действительно, элементы Vl"," V n также выражаются как линейные комбинации элементов базиса {v~,в= (iJ;j)Е ]\{,,(К). Тогда ЕЕ= Е,и поэтому ВJv~J:В*Е'.
Так как Е'= В*(С*Е) =Так как {'Иl"", и п.} -св=...(В'С*)Е==(СВ)'Е.базис в \/, то (С в)' ==С*Е, тос- 1Е, следовательно,О3) Для любой обратимой матрицы С Е JVlп(К), ICI i" о, 11 любого базиса {1I1 ... . и п } конечномерного линейного пространства к \/,din1 к V = 'п, элементы '{J~, •• • J v~.
Е К V, гдеС) =С' С,)образуют базис линейного пространствадействительно, в этом случае("') .(",1) =(С*)-I,:(·пI'ftf(V.9.9. Замена координат элемента линейного пространства при замене базисат. е.'n линейно независимых элементов 'иl"", '1У n линейно выражаются через P~ l 'элементы v~,{'и;,209....
'и;,,} -9.9.•• 1·и;',.: По основной лемме о линейной зависимости... , V~,линейно независимы. Так какctimf(V ='11.,базис линейного пространства к V.ТОоЗамена координат элементалинейного пространства при замене базисаПусть {'и1"., 'и п } , {'и;"", 'и~,} - два базиса линейного простран-ства J(\J', diШJ(\J' = п, С ЕMn(I{),ICI #о,-матрица перехода отпервого базиса ко второму,С) =С* С)Х = :clvl+ ... + хn'иn= x~'u~+ .. _+x~v~.Е J(V.
Так какз: =ци 1 + ... +ХпlJп = (1:1, .. , "Тп) (~J == (1'1,' , ,,Хп)(с-1)* (и~) = (х;, ,X~) (и~,).,'1)'11тоили(А )=с- 1 (Хl);r~),чтоэквивалентноХN( 71) = С (1:1) оln.ХN'1J·п210Глава9.Линейные пространстваПример 9.9.1. Пусть V = ]R:J, 'иl = (2, 1, ~3), '1.'2 = (3,2, -5),= (1, ~1, 1), Необходимо выяснить, образуют ли элементы '1.'), '/)2,'Iз базис в ]R3, и если да, то найти координаты строки х = (6, 2, ~7)'1.';1в базисе {Vj,'U2,'UЗ}'Решение.где {с), "2, "З} - стандартный базис в ]R3,С (~~ ~~)1-3 -5=Строки 'и), 'И2, 'ИЗ образуют базис в]RЗ тогда и только тогда, когда матрица С обратима, Если матрица С обратима, то столбец координатстроки х в базисе {Vl, V2, VЗ} равенДля вычисления этого столбца применим алгоритм вычисления матрицы А -1 В (см, с,182),в процессе работы которого проверяется,обратима ли матрица А = С:(~-3;~5-~1 -7~) (~-3 ~ -~1-7~)1I( ~ -~ -~ I ~)~3~51~7~5(~~ =~ I-~О1~2(~ ~ =~ 1-0 (~~ ~~ IО( ~ ~ ~I~) (~~ ~I~)00110011-1)9.10.211Линейные подпространства линейных пространствТаким образом, матрица С обратима,В базисе {'/)] эЭтотжерезультат(6,2, -7)(с')-lкоординаты строки х(1,1,1) -= 'Ul + 'и2 + 'из·'lJЗ} , .г'/)2;можнобылополучить,используяформулу(1,1,1),=(~~ =~ J (~~ ~ J16-12О О1-1-1-1-1-7(здесь применяем элементарные преобразования столбцов).Линейные подпространства9.10.линейных пространствПусть Кполе,-кV-Непустое подмножество gлинейноеl'пространствонадполемК.и с;; к V называется линейным nодпространством линейного пространства к V, если:1)+ '['2Нl2) ku.
ЕЯсно, ЧТОЕ И для всехИ для всехk'Uj, Н2Е К,и ЕЕ И;U.линейное пространство относительно тех же опера1<U-ций сложения элементов и умножения на элементы из поля К, чтои в линейном пространстве к V.Если И-линейное подпространство в конечномерном линейномпространстве к V, 17. =dim 1<V <00, тоdimкu:;;dim к V.Действительно, если элементы иl .
. . . ,'и 8 Е кU линейно неэависимы в[{U,тоэти элементы линейно независимы и в линейном пространстве кУ,я:( 11,поэтомуЕсликСclilll кU :(линейное-ства кl/. ки с;;к V,то этии сЕт к 1/=подпространствоn'11,иn.}-Е ки,k;пространбазис линейного пространства кU ~элементов 11'1,'поэтому{'tll1""u. n'иn}ства кl/. Итак. каждый элемент ·и Е+ k,,:/J.n.линейного1<V и dimKU = dimKV = n, то к'! = кУ. Действительно, если {H.l..~dilП к 17.Е К, т. е.
к1/ =[{U.Vлинейно независимы в к 1/базис линейного пространимеет ВИД/!= kjnj+.+212Глава9.Линейные пространстваПересечение линейных подпространств9.11.Лемма9.11.1.Пересечениеu=П u;iEII 'iлюбого семейства линейных подпространств {и; С к \1ЕI}линейного пространства к V является линейным подпространством.Доказательство.
Если",щ, 'и2 Е И; дЛЯ любогобого -i Е1, т. е. 'и1 -1- Н.2,'и, щ, 'и2Е';",n ЕЕU=поэтому -и,1,n и;.U=n И;,«:-1- '''2, ",u.kЕК,тоЕ И; дЛЯ лю-ОiEIСледствие 9.11.2. Если и1 и и2 нейного пространства к У, ТО и 1nлинейные подпространства лиИ2 -линейное подпространствов к V (наибольшее подпространство среди подпространств, лежащиходновременно в И, и в И2),Сумма линейных подпространств9.12.Если и, и И2-линейные подпространства линейного пространства [(v, то сумма линейных подпространствтакже является линейным подпространством. Действительно.
если//·1 -1-'l/.2,Н', -1-n; Е И] -1- И2 , 'и], n~ Е и"(-I/.j -1- ·и.2) -1- (11.~ -I-n;)k(-щ -1- '11.2)Замечаниествосреди9.12.1.линейныхи1-1-щ,n; Е и2 ,k Е Т(, то=('11., -1- '11'1) -1- (-и'2 +'//.;) Е и 1 + И2;=k'/1] -1-И2 -/;"//2 Е И]+ И2 .Онаименьшее линейное подпространподпространств.содержащихи 1 и И2. Более того,пиодновременно9.13.213Линейная оболочка элементов линейного пространстваЗамечание9.12.2.Если И, И], И2, Из-линейные подпространства в к 17, тоИПИ=И,И+И=И,И[ПИ2=И2ПИ[,И]n (И2 n [lз)[I[+И2=И2+И 1 ·= (и 1+ (и2 + U:1) =n (И[ + и2) = и],и[и[(и[и[n [Т2 ) n U:1,+ [Т2 ) + U:1,+ (И] n [Т2 ) =[1[.Линейная оболочка9.13.элементов линейного пространстваПустьлинейное пространство, 'И["."KV -11",Е к V.Рассмотримсовокупность всех линейных комбинаций k;l'Ul'(!["..
,'Иm, с коэффициентами+ ... +km'u mэлементовЕ К, называемую линейной/;;[, . . , /;;",оболочкой элементов Vl: ... ,'и т . Линейная оболочка (-Ul)'.: 'и т ) является наименьшим линейным подпросгранством. содержащим элементы 'Vl"(/;;["I![_') 1)т' Действительно,+ .' , + /;;m'Иm,) + (1]',,[ + ... + lт'Иm) == (/;;[ + I[)'I1] + ...
+ (k ", + lт)'l1 т;k(k['и[еслиU-+ ... + km'иm.)линейное/';],"] + ... + /,;mv",вЕ и, следовательно,ГО,(-IJ1 , . '+ ... + (Нт)И т;= (Н])'О[подпространство'1'иm) =f(V,'О].(1'], ... , " т )n'и тЕИ,ТОс;; [1. Более то-ии~K\'ul ..... ·L''''EUЗамечаниеclil11{1!)= 1;9.13.1. Если О efu Е к V, ТО (и) = Т(,·если иЗамечание=О,9.13.2.(v) =(-и[.,Ки== {k"" I k{О}... ,'и т ) = К'и]+ ...
+ {(о",.Е{(},214ГлаваЗамечание9.13.3. сliПl /{('ОI •..Линейные пространства9.= !·{'О!., .. 'и",}; любая мак, ,"",)симальная линейно неэависимая подсистема в {'/)l) .... 'UПJJ являетсябазисом линейного подпространства (VI,' , , ,'Ит)'Основная лемма о линейной зависимости может быть сформулирована в следующей эквивалентной форме,Теорема9.13.4 (о замене). Пусть "1"", 'О"Елинейноf{V -неэавнсимая система, иl"" .н; Е ('иl",,; ·us ) , {и'1,"'; 'и т } - линейно независимая система элементов.
Тогда т:( sигде< ." < 'i s1 :( i r + 1Доказательство. Так каклиrs, ТО=(VIJ""·иs ) =s = dimK(U!; ...(HIJ"') 1t 1· )fJ.- ('lЧ, ... 1 'И Т ) (индекс i'l'+l -V'I:r+l:( 8.,'и 8 ) , тоЕсли Т.'{' (; s.минимальный с ЭТИМ свойством).Продолжая ЭТОТ процесс, построим базис {иl"", 'И Г 1 Щ"'+l JВ ('UI,"" 'и,) ,Следствиевf{Vи И ~9.13.5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
