А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Ясно,чтоIt;jl =-1.а) Если t;j Е !VIт(К) и А Е Мщn(К), то матрица А' =tijAполучается из матрицы А элементарным преобразованием строк2-ro типа: А'; = A j,А] = Aiб) Если t i j Е Мn(К) и А Е !VIm.,n(К), то матрица А'= Atijполучается из матрицы А элементарным преобразованием столбцов2-ro типа: А';Следствие,J(Л],= Aj , А] = А;8.3.5.Пусть Л 1 , .. . ,Л m Е К,.. . ,Л m)=(:оЛ2ОО]Л~пдиагональная матрица с элементамиЛ], Л2,Ясно, чтоj,l(>.],.... >'",)1= Л], Л 2 ..
Л",..ЕJ\'Im(K)-х., Е к на диагонали.160Главаа) Еслиd(A1," ., А m.)матрица,А1 1 · · ·б) Если18. Алгебра матрицЕ Мm(К) и А Е Мm.n(К), тополучаемаяизматрицыАумножениемстранА т соответственно на «числа» '\1;' ") ).../n.А n) Е Мn(К) и А Е М",.n(К), то(J(A1,""А d(A1"", А n) = (Аu11,' .. , АnА n) матрица,А1 \в...1получаемаяизматрицыАумножениемстолбцовА n соответственно на «чисда» Аl1"'; А n ·частности,умножениеd(l, ... , A.i=<:, ... , 1),<:i=слеваматрицыАнаматрицуО, равносильно применению к строкам матрицы А элементарного преобрезоеэння З-го типа А;.
= сА; (умножение справа на матрицу такого типа даёт прнмененне к столбцамматрнцы А элементарного преобразования 3-го тнпа А;Замечание8.3.6.Ясно, что АЕ= d(A, .... А)=сА;).и (АЕ)А=АА =А(АЕ) для Е = Е n, А Е Мn(К), Т. е. скалярная матрица АЕперестановочна с любой другой матрицей из Мn(К).Задача8.3.7.Пусть КZ(Mn(I<)) =Тогда А ЕZ(M",(K))-поле,{А Е Мn(К)nЕ lЧ. н?' 2,I АВ = ВАУВ Е NЦК)}.в том и только в том случае, когда А = АЕn,А Е кСледствие8.3.8(матричная запись системы линейных уравнений).
для системы линейных уравненийо,1n;1;n = ь;(/1111++Qml1l++ п,m.n:r:n ={Ьт8.3.Матричные епннппы161E i .iвозможна матричная записьАХ=В,где А =(т, n)-матрица коэффициентов,(o,ij) -Х=столбец нензвестных,,:1)(:..столбец свободных членов.Таким образом, строка(k" ... , "".) является решением системылинейных уравнений, если столбец(:J Е мп.'(к)является(2решениемматричногоуравненияACJ С:,)Замечание8.3.9(Штрассен,1969).х 2)-матрицможноосуществитьсжеНЮ1 и18сложений (вместо8Умножениеиспользованиемумножений и47ДВУХумносложений в обычномопределении произведения матриц):( О.
Ь) (есd91.)1,.(0_,/)(e-I,)+(I,_';)(,9+ 1 ' ) +-(а.-lJ)!I+а(ll'+J))+"l(e+g)+(I1.-IJ)/I,(( -(l+c)e+(!(c+g)(a-гJ)(с-!J.)-(а-с)(е+Л++a.(lr.+n-(c-(I)cЭто соображение развивает идею алгоритма А.(1962А.г.) быстрого умножения многочленов. дальнейшийКарацубыпрогрессв теории быстрого умножения чисел, многочленов, матриц связан,в частности, с использованием быстрого преобразования Фурье.162Глава8.4.8.АJJгебра матрицАссоциативность произведения матрицТеорема8.4.1(обассоциативности произведения матриц).ПустьА =(Oi.J) Е М, -.", (К),В =(Ui)) Е Мm.n(К),С =(Ci)) ЕМn.р(К).Тогда(АВ)С = А(ВС).Первое доказательство.
Пустьи = АВ =(l1'i))11 = ВС(-Uij) Е Мт,р(К),S=т=(АВ)С= А(ВС)Так какЕ М,,п(К),= UС=AV= (Sij) Е Mr,p(K),= (t i j )Е М",р(К).m.'Щ!=Lb(l..j.k k ! 1'Vkj=10=1LbklClj,1=1тоn,"'и=Lп'UnCl)=1=1ti.j=L1=1 k=1Q,ik'(Jk)=k=1для всех(-i,j),1НL L щ.~~ЬkIСlj;O,ikbklCl.jh:=II.=1и, следовательно,Второе доказательстео.LLS= Т.Пусть в диаграммек» ~ к: ~ к» ~ j{TСВАлинейные преобразования А, В, С определены соответственно матрицами А, В, С. Тогда (В силу ассоциативности произведения отображений) (АВ)С = А(ВС). Вычисляя матрицу этого линейного пресбразования (по теореме о матрице произведения линейных преобразований).
получаем, что (АВ)С = А(ВС).О8.5.163Итоговая теорема об алгебре матрицСледствиетельноКвадратные (n х n)-матрицы Мn(К) относи8.4.2.операции умножения являютсяумножения определена наным элементом ЕТеоремамоноидом(т.е.операцня]\Iln(K). ассоциативна и обладает нейтраль= En-J.8.4.3(о дистрибутивностидля матриц). ПустьА= (u'j),В= {b,j)С = (c,j) Е М"т(К);Е Мтп(К);D = (d'j) Е Мn,р(К).Тогда+ В) =+ B)D =С(АСА+ СВв М,n(К),(АAD+ BDв Мт,р(К).Доказательство.
Действительно, для любого местат,I:;c'k(akj+ bkj)="~1L(i j)имеемт_CikUkjk=l+LC'kbkj,k=lL(a", + ba)d' j L o.Ud'j + L bUd,j,=[=1что доказываетСледствиенаш и8.4.4.1=11=1оутверждения.Для любых квадратных матриц А, В, СЕЕ Мn(К) имеем(А+ В)С+ В)С(А8.5.= АС= СА+ ВС,+ СВ.Итоговая теорема об алгебре матрицТеорема8.5.1.1. Совокупность IЧm.n(I-() прямоугольных матриц размера m Х nнад К (В частности, квадратные матрицы Мn(К»относительнооперации сложения образуют абеле ву (коммутативную) группу,т.е.Глава 8. Алгебра матриц1641.1)1.1')опервиня сложения ассоциативна;операция сложения коммутативна (т.
е. А+В = В+А дЛЯвсех А, В Е1.2)О1.3)I\flm.n(K));существует нейтральный+А = А +О = А(нулеваяматрица),для каждой матрицы А Е Мm.,п(К) существует противоположный элемент -АН.элемент Одля всех А Е Мщ"(К);(=(-l)А)=(-о,и), А+ (-А) =Операции умножения матрицы А на элемент с Е К, А.....,о.сА,в Mm"JK) удовлетворяютусловиям:Н.1)1· А = А;Н.2) (С1С2)А = С1 (С2А).III.ОперациисложенияиумножениянаэлементысЕКвМт;n.(К) удовлетворяют условиямIII.I) с(АIII.2) (С1+ В) = сА + сВ;+ С2)А = С1А + С2А.Таким образом,1, 11, 1II означают,что Мт,"(К)-линейное пространСТВО над полем К,IV.С операциями сложения А+В и умножения матриц АВ СОВОкупносзь квадратных матриц Мп(К) является кольцом, '1'. е.IV.I)IV.2)по сложению Мп(К) -абелева группа;с умножением матриц Мп(К)-моноид, т. е.2а) умножение матриц ассоциативно,(АВ)С = А(ВС)для любых А, В, С Е Мп(К);2б) единичная матрица Е является нейтральным элементом дляоперации умножения,АЕ =А= ЕАдля всех А Е l\'!n(K);8.5.165Итоговая теорема об алгебре матрицIV.3)операции сложения и умножения матриц удовлетворяютзакона» дистрибутивности3а) (А+ В)С+ ВС;= АС3б) С(А+В)=СА+СВV.с операциями сложения А+В и умножения АВ матриц и операциями умножения сА матрицы А на элемент с Е К нвадратныематрицы Мп(К) являются алгеброй, т.
е.V.l)кольцом (относительно сложения и умножения матриц);V.2)линеiiным пространством (относительно сложения матрици умножений матрицы на элемент К)и дополнительноV.3) (сА)В = с(АВ)= А(сВ)Доказательство свойствадля с Е К, А, В Е 1tЦК).для любого местаV.3."l)ca.ik)bkj = с L(J.ikbkj = Laik(cbkj).k=lk=lТеорема8.5.2(i,j) имеемоk=l(о транспонировании произведения матриц).ПустьА ЕВ Е М... ".(К),j\'!m,n(K),тогда(АВ)' = В' А'.доказательство.
Ясно, что GЕ=(АВ)* Е М,.т(К). Так какD =Мп.т(К).итопроизведение=АВ Е Мт,,·(К) и Н=В* Е М,.п(К) и С =В' А'существуетиС" =А' Ележитв М,·.m(К), как и (АВ)' Е М,.т(К).Для любого места(·i.'nимеем для и = В* А* =DC, где В' = D,А' = С.'Il.ij=nLr1i.kcA:jА:=lИтак, В'А*=и=н=LVA:-iJljkk=l= (АВ)'.=L0jklJki=.f}ji. =I'Чj'k=lо166ГлаваТеорема8.5.3IABIдоказательство.211.хАлгебра матриц(об определителе произведения матриц). длялюбых квадратных матриц А, В Емера8.=1\1n(K) имеемIAIIBIПусть С = АВ. Рассмотрим определитель раз2'11:А*O i'-1~~В-1.".=о-1-1=IA*IIB*I=IAIIBI·В*с другой стороны, прибавляя к каждому столбцу, проходящему через матрицу В, соответствующую линейную комбинацию столбцов,проходящих через матрицу А, т.
е.I~]ь~I-]+[,1';оь.,ополучием. чтоA~()·1",С=оАВА-]В-1-]= (_1)n1 ."IО~-1АG= (_1)2nICI = IGIо8.5.167Итоговая теорема об алгебре матрицСледствие8.5.4.1) Если А, В Е l\'!,,(K), то IABI =IAIIBI= IBAI (т. е. хотя матрицы АВ и ВА могут быть различны, их определители равны).Упражнениекоммутирующие8.5.5.Покажите. что любые две матрицы вскоммутируют между собой.Упражнение8.5.6.Еслитодляm.Е !':Т, где1'0 = О,11 = 1, 12 = 1,Im+1 = j;n1з=+ Im-1(числа Фибоначчи). Если51 ) ,v5где.\1 =--2-'1+V51 - v5.\2=-2-'тоипоэтомуA"'=B-l( х3mО) В,.\!Г2,1\'12(2:),168Глава8.Алгебра матрицоткуда/'"Х'{' - A~Гv5=V5)'" _(1 - V5)m}~{(1 +v52=2'Im~ ~A'{'посколькуlim1n .......ООУпражнение(1-V5)'"-2=0.Пусть А Е Мn(К). Покажите, что8.5.7.{В Е IVЦК)I АВ =ВА}-подалгебра в алгебре матриц Мn(К).Упражнениепри iOJ j,8.5.8.D = d(Al".
А n ) Е Мn(К), А;. OJ AjDA = AD, то А - также диагональнаяЕслиА Е Мn(К) иматрица.Упражнение(внешнее произведение векторов). Если8.5.9А Е М т,l(К), В ЕM1,,.(K),(~)3УпражнениеА ЕM1,,,(K),2 3)Упражнение=nЕ(4 5) = ( : 150).12 15(скалярное произведение векторов).
Еслив Е М n,l(К). то С = АВ Е(1Н' Н8.5.10то С = АВ Е Мm,,'(К):(=(~)8.5.11.M1(J() =к:= (1 . 4 + 2 5 + 3 6) = (32).Пусть Н =(1,.;'j)ЕMn(JR), 11;]Е{1, -1},Н Н') (такая матрица называется матрицей Адамара) . Например,(~11-~ ~ -~)1-1-1-1-1186.169Многочлены от матриц, теорема Ггмняысня-г-Кэпндокажите, что для 'п, отличных от1, 2 и 4k, где k Е М, не существуетматриц Адамара.Упражнение8.5.12. Пусть А = (ajj) Е Мn(С) - матрица Марn.коей (это означает, ЧтО ДЛЯ каждого j, 1 ~.7~ п,I: (/,'/)= 1,т.
е.-/=1"iMMa элементов по каждому столбцу равна 1). Докажите, что еслиА. В Е М.,,(С)-1)АВ и A k ,2)еслиIUj.i1матрицы Маркова, тоk Е М, - матрицы Маркова;~1(Ci.i)Ib'.il 1идля матрицы8.6.~ для всех " j, то= с = АВ.ICi.i1~1для всех " jМногочлены от матриц,теорема Гамильтона-КэлиПусть Кполе,-многочлен с коэффициентами из поля К, А Е Мn(К). Тогда определим/(А) = иоЕ+ ajA + ... + аnА " ЕМn(К),гдеЕ - Е.". -- (10 ".
01)единичная(nЕ М." (К)-Х n)-матрица, т. е ..f(A)=LQ.jA"/=0здесь А О = Е.Пример 8.6.1. Пусть .i(t)= t 2+2t+1 =(t+1)2 g(t)А = (~ ~) Е M2 (1f!: ).= t+1Е If!:[t],170Глава 8.Алгебра матрицТогдалА) (~ ~)2 +2(~ ~) +о ~)==(~ ~) + (~ ~) + (~ ~) = (~ ~)=( = (1111)2 = ((О1 О1) + (1О 10))2 = (!J(A)) 2) .УпражнениеПусть8.6.2.иI(л)= IA -лЕI=0. -сЛd ~Ь л I=(о- л)(I] - л) - Ьс =1= л - (о.2+ d)л + (o.d -Ьс)(= л 2 -tгАл + IAI)характеристический многочлен матрицы А (здесь тг А = 11.-'(А) = А=в этом+ d).Тогда-(11.2+(т. е.(11.
+ I])А + (o.d - Ьс)Е =+ Ьс 0./' + b~) _ ((о. + d)aса + dc сЬ + d(о. + d)c2(ad~bC o.d~bJчастном=(11(о.+ d)b) ++ d)d(~ ~)случае мы видим,что справедлива теоремаГамильтона-Кэли о том, что матрица А является корнем своего характеристического многочленаТеорема8.6.3.Пусть КдА:-j'(),) = IA поле.
А ЕлЕI для(2х 2)-матриц).l\']n(K) ,K[t] -' l\In(K) -отображение, для которого L:,A(I(t)) = /(А) дЛЯI'(t)ЕK[t].Тогда171Многочлены от матриц, теорема ГаМИЛЬТОН8-КЭЛИ8.6.1) 6 =6А -гомоморфизм К -алгебр, т. е.6(.1 + у) = (f6(/у)6(>.1)дЛЯ всех2) Кег 6А+ у)(А) = j(A) + у(А) = 6(!) + 6(у),= (fg)(A) = J(A)g(A) = 6(1)6(g).= (>'Л(А) = >./(А) = >'6(Л/, 9 Е K[t], х Е К;= U(t)ЕK[t]I ЛА) =О} -ненулевоi1 нпеэл кольцаK[t].Доказательство.[)Пусть/(t) =гдеa'i, IJj Еа) если0.0+ o,jt + ... + ant n,,q(t) =+ IJ!t + ...
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
