А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 18
Текст из файла (страница 18)
(о.; - о,,);=1удовлетворяет двум условиям:deg l(а;) :( n - 1;1(0,·;) =3)Многочлен1(:1;)Ь,.,i=1,2, ... , n.в форме Ньютона удовлетворяет двум услови-ям:deg.f(x):( n -1;l(а.;)=Ь;,Оi=1,2, . . ,n."1"2Упражнение 6.9.4. Пусть О :(<<< ь; Е Z,0< а! < 02 < ... < а" Е IR, А = (а.;;). где а;; = a~j. Тогда IAI > о.Упражнениещ, Ь; Е6.9.5.Пусть А = (и.;;) ЕM,,(IR),IR.
ТогдаПIAI(а;-о;)(Ь;= 1;:;;<;;:;n"П(о;+Ь j )'/.,]=1-Ь;)1где a'ij =ai+ bj,Глава7Линейные преобразованиялинейных пространствстолбцов, задаваемые(прямоугольной) матрицейРассмотрим линейные пространства столбцов над полем К (например, над полемIRдействительных чисел)и = К " = {х = С,) 1У; Е к),v=Каждаяj:и ~(/11кт = { у = (::.) 1//; Е к )Х n)-матрицаF = (Ji)) , ji} Е К, эадаёт отображение1/,j(X)=у=(.Y•l)Ут150Глава7.Линейные прео6разованиядля всех( J'.I.)=ХЕ и= к»,ХНгде.у1 =Теорема7.0.6.+ ... +jl1 Xljl",,.,,,Отображение= к»j: U->V=к»,задаваемое прямоугольной (т х n)-матрицейF = (J.ij),обладает следующими свойствами:+ Х')1) j(X= j(X)+ ЛХ')дЛЯ всех Х, Х' Е И;сЛХ) для всех с Е К, Х Е И.2) j(c:X) =Доказательство.
дляХ=имеемПрименяяF = (fi.j) ,Х+Х'=(отображениеj,к ХЛХ+ Х'+ Х')Хl:[;n+:X'J)~ :r:~J.'определяемое прямоугольной матрицейи сХ, соответственно получаем= ЛХ)+ j(X').ЛсХ) = cj(X).Замечаниепространствасвойствам1) j(XО7.0.7. Отображение j: U ..., 11 из одного линейногоU в другое линейное пространство V, удовлетворяющее+ Х')= j(X)+ ЛХ')дЛЯ всех Х. х' Е и,2) Лс:Х) = cf(X) для всех с Е К. Х Е И,Глава7. ЛинейныеназываетсяМЫМ('177МЫ151прео6разованиялинеинымпоказали,Х n)-матриuейотображениемЧТОF(преобразованием).отображение,задаваемоеТемсапрямоугольной(fij), определяет линейное преобразование=соответствующихлинейных пространств столбцов:1': ИПримериз И= к»7.0,8.В](1Если=ЙNm.
= 1,->V = к».то имеем линейную функцию=КПример 7.0.9. Поворот плоскости вокруг точки (О, О) на угол аявляется линейным отображением 1': ffi;2 -> ffi;2, задаваемым матрицейповорота-Sina) .COS й.Теорема7.0.10(об однозначной определяемости матрицы, задающей линейное отображение столбцов). Пусть-': И= к»->V= Й'",9: И= к»два линейных отображения, задаваемых->V= йт -('177 хn)-матрицами F = (fi.j)(9;j) соответственно. Тогда .f = 9 в том и только в том случае,когда F = С (т. е.
1'ij = 9;j для всех i, j).и с =Доказательство.1) Если F = С, ТО ясно, что2) Пусть .f = 9. Рассмотримl' = 9.152гдеГлава17.Линейные лреобрэзованияСТОИТ в j-й строке, а остальные элементы равны нулю. Тогда1/IJ[91))С, ~ 11',) ~ '(',) ~ ,,'[f'IТl.]9т)поэтому для любого j имеем lij = 9i), т. е. F =Теорема7.0.11(j:i)) = (9,)) = GО(о задании любого линейного отображения линейных пространств столбцов матрицей).
ПУСТЬ1: И =К"---.v=Кт-лннейное отображенне лннгйных пространств столбцов, т. е.1) I(X+ Х')2) l(cX)=f(X)= c/(X)+ f(X')дЛЯ всех Х, Х' Е И,для всех с Е К, Х Е И.Тогда найдётся (и единственная) (т Х n)-матрицаF=(j:ij)такая,что определяемое с её ПОМОЩЬЮ линейное отображение совпадаетс яннейнын отображениемДоказательство.1.ПустьПолучили (т. х n)-матрицуF=Ui)).для любогоХ=("1) Е И =К"...1".имеемХ = :J:lel+ ... + ·7:n е n ·7.1.[53Произведение линейных отображенийТогда=1;[ (fJ[) +...
+;};n (fln) ,1mlТ.е.У] = .fll;};l+ ... +Ут.+. . + fmnxn.=]т.lХlИтак, линейное отображениеfКак мы показали, матрица7.1..fl"Jn,задаётсяF=(fij)fmn('171х n)-матрицейF = Uij).Dопределена однозначно.Произведение линейных отображенийТеорема7.1.1.Если кй,KV, кТ,у' -г лннеяные пространства надполем К,uLvi',\,y'./и.'1 - линейные отображения линейных пространств, то их произведениеявляется линейным отображением.Доказательство./.«'] + (2)=(gЛ("U]Пусть ·и.,щ,"I12 Ее ки И ,\ Ее К, Тогда+(2) =У(/(ll] +и2)) == .'1(/(Щ) + /("112)) = r;(/("'l)) + .'1(/(11.2)) = /1.(11.]) + /1(n2);//(,\'1/) = (.r;Л('\u) = .'1(/('\1.1)) = g('\I(u)) = '\(..'1(/("'))) = >'/1(11.)7.2.DМатрица произведения линейныхотображений пространств столбцов-Если И = к-.
V = к», w = к; пространства столбцов надполем К, линейное отображение .f: к» ~ [(m задаётся ('171 Х n)-мат-154Глава7. Лннеёныепреобразовання---;рицей F = Uij), линейное отображение 9: ктК ' задаётся(Т Хlл,)-матрицей G = (9',1), то вычислим однозначно определённуюматрицу линейного отображения 1), = 9/: к»К"',---;ПустьХ (Xl) Е к»,=Хn.91):= j(X)у=(Тогда дляЧ, =f'/.=1Е кт,Z =(Zl) 9(У) Е КС ,=Уm,1 ~ k:Z"~'1'fу!:(!};, =9k,i,('1.=1(;) t ft/;1,'7;/)l=ltt (f=f9kJ"t XI, =,t=l l=19ki!iI X / ={=1 '1.=1[=19 kJ il ),t=lХ/ =tI!kl x /,1=1гдеI!k/= 2:,9kJil =9klЛ' +", + 9kmJml,,t=1т, е, матрицей линейного отображения /1, =рица Н =9/является (Т Х n)-мат(11",1),Замечание(*),Использованное в доказательстве равенствоозначает разный порядок суммирования элементов прямоугольной('111Х п)-матрицы (-у;/) ЕI\iJm,n(K) ,Это вычисление приводит нас к следующему определению произведения согласованных по размеру матриц,ОпределениеG7.2.1.= (9;,1)ПустьЕ М,m(К),F= Ui,1)Е Мщп(К)-1557.2.
Матрица произведения линейных отображений пространств столбцовпрямоугольные матрицы согласованных размеров (т. е. длина т строки матрицы С совпадает с длиной т столбца матрицы Р). Тогдаопределим произведение Ннн== CF2::: яыГн =как (Т х n)-матрицу Н.'IklГll= (1J.kI),где+ ... + 9kmJml.i=lТаким образом, нами фактически доказанаТеорема7.2.2.Для диаграммыс линейными отображениями, задаваемыми матрицамиЕ Мm,n(К) и С =(9i.j) ЕF = Uij)ЕМ,.,m(К) соответственно, произведениеIL=9j:k"--+k'является пннейным отображением, задаваемым матрицей Нявляющейся произведением НСиF.= (I'';j) ,= СР матриц линейных отображенийОГлава8Алгебра матриц8.1.Линейное пространство Мт,n(К)mпрямоугольных матриц размераnхЧерез Ы1,п;" (К) обозначим совокупность всех прямоугольных матриц над полем К фиксированного размера пь Хобозначения,!vI,,(K) =Мп,п(К)-nсовокупность(ДЛЯ краткостивсех квадратных(n Х 1) )-матриц).
Как для пространства строк К" = M1,n(K) И дляпространства столбцов Й" = 1\;l n,I(K), так и для М.",,,,.(К) определеныоперации сложения матрицс = А+ 1J(С;; =0,,; + 1>;;для каждого места и,л)и имн.ожения матрицы на число с Е КJ) = сА((1,; =са;; для каждого местаК"" н дМ, совокупности строк К"!1l'IIОС!Н'ЛСТlН'I-IНОпроверяется= M1,,,(K),выполнениевсех(i,j)).так и дляаксиом1\1",.,,(K)линейногоllpOrTpaJICTE3(;1 (13 частности, нейтральным элементом в .f\'1 I1 I"n(J{ ) будетпулсвая магсипа О с нулями на всех местах, -А =8.2.(-1).4).Произведение матрицЕсли.4 = ((),и) Е М,.'" (К),В= (1);1)Е 1\1",,0 (К)157Произведение матриц8.2.то мы определили их произведениеАВ=U=(ии) Е М"n(К),полагая'Щ.l=2::= Q.jk:bk/,k~1(т, е, элемент матрицыj-roАВ, стоящий на пересечении;-й строки истолбца получается «умножением» ;-й строки (длины т) матрицы А на j-й столбец (длины т) матрицы В).
Таким образом, условиевозможности перемножить две прямоугольные матрицы А и В заилючается в ТОМ, что длина строк левого множителя А совпадаетс длиной столбцов правого множителя В.Примеры вычисления произведения АВПример8.2.1.(~ ,~,) (~ .~)Пример=(~ т7n),т, п Е Z.8.2.2.(/;:1kn )(11) = (/;:111 + ...
/;:n1n) Е М 1 (К) = КlnПример8.2.3.-1) (1_~ ~~52(ПримерО31( .;-5 -2)О48.2.4.ПустьЕ,.-2)4 =(-1~( 2-1)1-3О4=(-10-5153-6(:()():)-222-9)О1-8)Е М,(К)13 .158Глава8.Алгебра матриц(единичная матрица размера 'Т х т), А Е ]\1",т(К) , тогда Е,.А = А,АЕ т8.3.=А. В частности, если Е=Ео., А Е Мо.(К), то ЕАМатричные единицы=А=АЕ.EijОбозначим через Е;,,} матрицу, в которой на пересечении ;-й строки истолбца стоитвимеем.1-rol\IIo.(K)E;jEkl ={1,а на всех остальных местах стоит о.
ТогдаЕа ,еслиО (нулевая матрица),еслиесли.1если.1.1 = k,.1 l' k= к,l' kсимвол Кронекерау.Важные следствия умножения матричных единицСледствие8.3.1.Так как в М'n,(К) при'11,? 2ТО:а) умножение матриц чекоммутативчо:б) имеются делители нуля (ненулеВbJе элементы, произведение которых равно нулю).Задача8.3.2.Найти вJ\!Io.(K)все делители нуля. Точнее, доказать, что для А Е Мо.(К) следующие условия равносильны:1) АХ = О для не которой матрицы 0'1 Х Е Мп(К);2)у А = О для неко-горой матрицы3)IAI=0,0'1у Е Мо.(К);8.3.Матричные единиuы159Ei jМатрицы элементарных преобразованийСледствие'; iПусть с Е К,8.3.3.eij =Е+ сЕ;;У, 11ЕJ\'I",(K)(в этой матрице в отличие от единичной матрицы на месте и,диагонали стоит с).
Ясно, чтоiа) Если ileijl=j)вне1.у, е;) Е М",(К) и А Е !VIm.,n(К), то матрица А' =получается из матрицы А элементарным преобразованием строк1-го тнпа: А\ = А,б) Если iА' =i .i,+ cA j .е;)Е!VIn(I<)и АЕ!VIщn(К),то матрицаАе;) получается из матрицы А элементарным преобразованием столбцов 1-го типа: А] = А }Следствие8.3.4.Пустьiijи tij -+ сА;.матрица,полученная изединичной матрицы Еm. Е Мm.(К) перестанов[{ой 'i-й и j-й строк(или, ЧТО то же самое, пересзэноекой i-го и у-го столбцов).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
