А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Произведение [(Q)Ola(!) .. . Оnо{а) изтакже вIA'I, при!AIвходитэтом новая подсгановка индексов о' отличается от о:одной транспозициейi и j в верхней строке (номера строк), такимобразом, в о' имеемпоэтому[(Q')Свойство= -е(Q).D3. Если А: = сА; (т. е.
i-я строка матрицы А умноженана число с). тоIA'I=Доказательство.clAI·В каждоепроизведение,'i.-Й строки входит ТоЛЬКо один сомножительIA'I=входящееclAIУпражнениевIA'I,изCUiu:(i), таким образом,D6.3.4.Если А Еl\'1,,(K), то !СА! =c"!AI6.4.Вывод следствий ИЗ свойствСвойствоА;=1291-4Если4.(0,.;1, . . ,о,';n)=+ (сl, ...
,СП) =(Ь 1 , . . ,ьn )В+С(т. е. i-я строка в матрице А представлена суммой двух с грок), тоIA'I+IA"I матрицравен сумме двух определителейIAIА' и А", в которыхвместо i-й СТрОКИ А./: в А СТОЯТ соответственно строки В и С.Доказательство.В каждое произведениевходит из ;-й строки А; только один сомножительТаким образом,LIAI =с(а)ОIс«I).. . Оiсф)'О'па(n).=Q'ES7~LL=e(a)o,l"(I)'"(Ь,,(;) + с"(п),,, Опа(n) =0(0:)0,1"(1) ,'.Ь,,(;)<:(0:)0'1"(1)'"с,,(;) " .
о,na(n) =CI:ESn=. Оnо(п)+o:ES ...L+O'ESnIA'I + IA"I·=6.4.оВЫВОД следствий из свойств1-4Нам удобно следующие далее свойства выводить из «базовых»свойств1-4,Свойство5.= О . А;,Так как А;СвойствоА; =A j , тоЕсли А; = (О,.,6.IAIтоПусть К= О.IAI. , О),= О .= lRто1;11= ОIAI = О(или К-любое поле), Если,;i .i и130ГлаваОпреяелнлеян квадратных матриц6.1) Сначала приведем доказательство для случая К = JR (или для'f 2: из 20.
= О следует а = О). Действительно, переставляя строки А; и Aj, получаем IAI = -·IAI, 2fAI = о, и поэтомуполя К, спаг КIAIп= О.2) Приведём общее доказательство в случае~ 2. Пусть i < j. Для каждой подстановки а,любого поля К приучаствующей в выражении определителяL~(a)al0:(1)'"tiia(-i.) ... ajc.:v.(j)' .аnО'(n) 1QESnрассмотримО:подстановку,= (1jа(l)аи)n )) = (a(-i)(a(i)G:nполученную из (, переменой местами чисела(Л)а,a{i)и аи) в нижнейстроке канонической записи. Ясно, что Е(а') =~ о(а).
Так какА,/: =A.i \ ТОa,/:k = a.ik Д.ТJЯk = 1, _ . 'п,Q,-i,cx(j) = ajo:(j) , ajO'(i)1=a'l:o{i)'Поэтомуо(а)о.l"(I)'·' 0.....,,(....) = -0(а')0.10:'(I) ... 0.....",(....).Если та',{3ЕSn'=(,Уи) а(Л) Е Sn, то т 2где СУ ~{3означает,1 и отношение а ~ {3 для=что с,=(3 или а=т{3, являетсяотношением эквивалентности. Действительно,а)а ~ а;б)а ~(3=13~ СУ(если СУ = (3. это очевидно; если о = т(3, ТО (3 = та, так как т 2 = 1);(имеем четыре случая1)й =2)СУ(3, ;з<:поэтому СУ = 'у:= т(3, 3 = ~/, поэтому СУ = Т,:3) 0'= (3, ,3 =T~i, поэтому о' = Т,;6.5.
Линейная комбинация строк в линейном ПрОСТрМIСТIН' стрOl\ IС'4) а=тfз, (J = т/, поэтому аи поэтому а ~=т2,t3t= А,:'1).Таким образом, разбиение наклассы эквивалентных элементовпри водит к разбиению на непересекающиеся классы {а, о' = то}.При п. ~2сумма.,,! чётногочисла слагаемых разбивается на суммыпар слагаемых по подстановкеи по подсгановке о', равные нулю;(1:поскольку эти два слагаемые отличаются знаком.СвойствоDЕсли от квадратной матрицы А переходим к мат7.рице А' с помощью элементарного преобразования /-го типа А: ==A;+cA j , i /j, сЕ К. тоIA'I=IAI·Действительно, разлагая определительлителей (по -i-й строке), мы получаемв котором после вынесенияIAIIA'Iв сумму двух опредеи нулевой определитель,из i-й строки числа с имеем две одинаковые строки (А ; на месте I-й строки и А ; на своём j-M месте).6.5.Линейная комбинация строкв линейном пространстве строк К"Если=0,1(0,11,.'; 0.10))'"j0,1'= (0.1'1)"';0,,..11.) Е К"иk: 1 .... , k:,.Е К,ТО можно образовать линейную комбинацию строк~ k:;a; = k,a, + ..
+ k,.a,. = (~k:ja;l"здесь наj-M",~ k:ia n) Е !СП.1месте стоит элементLkiai'J'1=1Свойство8.Еслинайдётся строкаA i , являющаяся линейнойкомбинацией остальных строк квадратной матрицы А, тоIAj =О.IЗ2Глава6. Определители квадратных матрицДействительно, еслиА.,=Lk,A"1=114;то, разлагая определительIAIв сумму(n-l)определителей и выносяв каждом из слагаемых-определителейиз l-й строки ЧИСЛОчаем определители с двумя одинаковыми строчкамистроки стоит строкаОпределениеk"полу(на месте i-йAj, на месте j-й строки стоит строка A j),О6.5.1.
Если А = (a.;.j) - квадратная (n х n)-матри= (b·ij ) , b'ij = a)'i, называется матрицей,ца, 1'0 (n х n)-матрица А*полученной транспонированием из матрицы А (т, е, симметрией относительно диагонали).Теорема 6.5.2.IA*I=IAI(определитель квадратиой матрицы неменяется при транспонировании).Доказательство.Каждый член 0,1,>(1) .. . о,nо«n) определителяIAI=Lс(сх)о,l"(I) '" о,м(n)o:ESnвходит в определительIA*I транспонированнойсо знаком, определяемымматрицы А', при этомподстановкойсх(n)) .nТак как ё(n) = E(ni ) , то в итоге мы имеемСледствиеопределителя6.5.3.IAIСвойства1-8IA'I = IAI.овыполняются и для столбцовквадратной (п х п)-матрицы А.Действительно,при переходе от матрицы А к транспонированнойматрице А' строки превращаютсяв столбцы, а столбцы-в строки.Преобразования строк транспонированной матрицы А* соответствуют преобразованиям столбцов матрицы А.6.6.[33Вычисление определителей6.6.Вычисление определителейОпределение определителя]AI =I::C((\:)Olo:(,,)'"О"С«")ctES"как суммыn!слагаемых-произведений плохо пригодно для реальныхвычислений при больших n.
В теоретическом плане важно отметить,что определительIAIявляется многочленом ОТ '11,2 переменныхв котором мономы входят С коэффициентами±1.G.i.j,Отметим лишь одно из следствий этого факта: если Q.·ij = Q.ij(X) являются дифференцируемыми функциями от переменной Х, то определительже является дифференцируемойпроизведения дифференцируемыхIAIтакфункцией от х, поскольку суммы ифункций являются дифференцируемыми функциями.Теорема6.6.1. Пусть от квадратной (11, х n)-матрицы А =элементарными преобразованиями]-го и 2-го типа(aij)(t преобразований2-го типа) мы пришли к треугольной матрице_ (a~lА=.а22О(все элементы ниже диагонали равны нулю; любая ступенчатая матрица. очевидно. является треугольной).
ТогдаIAI = (-1)'0'11'" 0."".доказательство.Так как1.4] = (-l)']AI,тоIA] = (-1)'1;\1 = (-l)'o.ll ... a,mО134Глава6.7.6.Определители квадратных матрицХарактеризация функции определителяматрицы базовыми свойствамиТеорема6.7.1 (о единственности функции с базовыми свой1-4 определителя). Пусть ФУНКЦИЯ F, сопоставляющ~/(ilЖ/UJii /ilJilДРilТ/ЮЙ (11 Х n)-матрице А Е IYI"rJR;j LЧИСЛОI F(A) Е ~УДОНJ1CТ/JOряст ба"ОfJЫМ свойствам 1-4 ФУНКЦИИ оfrpедел!rтеля.
ТогдаствамиР(;\) С_1111,с/mйстнамит. с. ФУI1/(/ЩЯ определителяIAIоднозначно определяется\-4.Докаэательство. Приведём(nх n)-матрицу А к треугольномувидуэлементарными преобразованиями строк 1-го и 2-го типа(t преобразовании 2-го типа). ТогдаF(A) = (-l)'F(A),следовательно,F(A)далее, ВЫНОСЯ элемент (],nn=(-l)'F(A).ИЗ n-й строки и создаваяО над ним,получаемF(A) = ii""F(О11~*аП-Ь"-1= аnnР1](ОН.:~Продолжая это рассуждение, получаемИтак,F(A) = (-1)' F(A) = (-l)"йн, ап" =1.4.1·о6.8.Сведение ВЬ!Чl1сления определителя 1< определителям l'>Jеньшего ПQРЯДJ(Э6.8.135Сведение вычисления определителяк определителям меньшего порядкаОпределение6.8.1(дополняющие миноры и алгебраическиедополнения). Зафиксируем элемент Q.ij квадратной (Н х n)-матрицыАВычеркивая в определителе= (lLij).IAIj-Ю строку и j-й столбец(проходящие через (J.ij) , получаем определитель Лifij матрицы порядката(n - 1) х (71, - 1), называемый (дополняющим) минором элеменa';j.
Алгебраическим дополнением элемента ai,j называется числоA ij = (-l)i+ jМ'ij.Имеем n 2 (дополняющих) миноров Мц .Замечание 6.8.2.Лемма6,8.3.0.11ааа2!0,22а2nан!(/,n2=011.о,nnОn2о.nnДоказательство......0.2"1 = а!!Аl!! = allA!!.10.22Каждый член определителя вида(все остальные заведомо равны нулю) входит в правую часть доказываемогоравенства,приэтом спо(n))темже знаком:=n) (cv(п)Следствие= ё1(у(2) - 16.8.4.0,12al nа(1.22а2nаа n2о.nn= ,," А 1! '136ГлаваЛемма6.Определители квадратных матриu6.8.5.]АI =ОalA:-lй,н:o,lk+la.l nОQ,'ikООQ,nk-lo.nkank+lанн=a'i},,~A'iI.~.Доказательство.
Перестявляя последовагельно 'i-ю строкураз с(i - 1)следовательно k-й столбецлевее его,(' -1)строками, СТОЯЩИМИ над ней, а затем переетавляя по(k -1)раз с(k -1)столбцами, стоящимиполучаемООООallO,llc-lO,lk+l(J.lna'nk-lG.n k + lо.n11«и.]АI = (_l)(i-l)+(k-l)аа.
. .. .. .. .. .о.nА:Теоремаj-My(разложение определителя по i-й строке и по6.8.6столбцу,anl1 :( i, j :( n).1)IAj= ailAil2)IAI=ЩjА1j + ... +++ a,inAinunjAn jt(=(= ta,ijA;j);UijAi])''~=lДоказательство.1)Поскольку(o.iJ"., ain) = (o.·il, о,то, применяя лемму6.8.5,... , О) + ...
+ (о, .... О, ai,,),получаемnОaijО*2) Так какIAI=О = LщjА ij .Ij=1[А"], то разложение по j-й строке дляявляется разложением по j-My столбцу дляIAI.IA*ID6.8. Сведение вычисления определителяТеоремаj-MyJ(определитеЛЯll1 меньшего порядка137(о фальшивом разложении по i-й строке и по6.8.7столбцу).Прн1)01 k:L(J,i.iAk.i = (J,·i.1 AH+ ... + (J,'i:nAkn=О.i=1(сумма произведений элементов Q,'j 'i-й строки на алгебраические дополнения A k j элементов «чужой» k-й строки при'i01kравна нулю);2)01при jko,ijAi k = o, l jA 1kL+ ... + o,njAn k=О'i.=1(сумма произведений элементов Q.ijческие дополненияj01 kj -го сталбца на алгебраиэлементав «чужого.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
