А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Если,CkCkдалее, t Е (0,1) с;: lR, то cky5 = -со, и поэтому.f(zoЕсли+ tyo)+ c,Jky~' + Ck+ltk+ly~+l + .. + сп/Ну;;'= со(1- t") + (Ck+ly~+l + ... +!r;k+lIIYol,,+l + ... + IcnlВыберем== соI/Yol/Е(0,1)== М, тодостаточно малым, так что М:Лft< !c;ol, /IYol< е. Тогда 0< 1 - тс;;т < 1, и поэтомуI.f(zo + tyo)! <Таким образом, у= lyOIcol = lj(zo)l,I/yol < Е.удовлетворяет утверждению леммы.О84ГлаваТеорема2.Поле С комплексных чисел(о разложении многочлена с комплексными2.11.4коэффициентами в произведение линейных множителей). Пустьf(x)Е С[х].degпг) ==/(,г,)а(:г,-:? 1.11,от)ТОГДЕО'n),.. (7: -0., Щ, .
. , О'" Е С,при этом это разложение единственное (с точностью до порядка сомножителей).доказательство. В силу теоремы Гаусса на йдётс» такое с Е С.что лс)=О. По теореме Безулх)=(:г,q(:г,) Е С[:г,],- c)q(.x),Применим далее теорему Гаусса кq(x),=dеgq(:г,)если11, -1.1 :? 1. Продолжая11, -этот процесс, убеждаемся в существовании разложения на линейныемножители.Пусть теперьf(x) =а(хаl),-.
(х-аn ) == Ь(х - (3[) ... (х Ясно, что о. = Ь. Если <';!(3j0., Ь, а;,(3,,),для всех(3.; Е С, а! О, Ь! о.j = 1, ... , п.тоПоэтому в оба разложения входит одинаковое множество различныхкорней. Убедимся в совпадении кратностей вхождения каждого корнян оба разложения. Действительно, еслито, сокращая в С[,с] на (:г,поэтомуql(a) =Следствиеиаn/(х:)Е2.11.5.C[xJ,="'[ + ... + k n-о)". получаем 'п(.т) =(:1: -п:)'-"'12(7:), иО, что противоречит 'п(а)! о.Если О1".. ",. -k[,,,.,k,.-ихоразличные корни многочле-кргпюсгн.n(таким образом, миогочлен степенировно п. корней с учётом их кратности).=nclcgf(J;),= deg Jтоимеет2.11.85Основная теорема алгебры J(амплеКСНblХ чиселЗамечание2.11.6(о неприводимых многочленах над полемкомплексных чисел). По аналогии с определением простых чиселв кольце целых чисел2 многочлен f(x) Е К[х], degf(x) ;, 1, назыJ(x) == '1'(:Е)1/' ( ,; ) , deg'P(X);' 1, deg"jJ(x);' 1 (иными словами, если '1'(:1:)делитель многочлена f(r), cleg'P(T) ;, 1, то deg'P(T) = n = deg.f(T)).вается неприводимым, если /(х) нельзя представить в видеТаким образом, мы установили, что неприводимые многочленынад полем С комплексных чисел-это в точности многочленыпервой степени.
Из единственности разложения на линейные множители над С получаем существование и единственность разложенияна неприводимые многочлены над СЛемма 2.11.7. Если К - поле, f(:Е) , у(х)deg,q(r) ,:; п, f(r) и ,q(:x:) совпадает в (n +"1" " "п+! Е К, то л,х) = .'](т).Доказательство. Пустьтоdeg h.(x) ,:; nи Г,(а.,)/'(2;) = f(x) = f("..;) - .'](а;) =Е К[т],degf(2;) ,:;п,l)-й различных точкахУ(1:).
Тогда еслиО для il' О,11.(:r:)= 1, . . , n + 1.Ноэто противоречит тому, что число различных корней не превосходитстепени многочлена.Следствие2.11.8.ОIKI =Если00 (в частности, для КС), то формальное и ФУНlщиональноечленов= IQ,JRилиопределение равенства многосовпадают.Замечание2.11.9.Дляконечного поляZ2разныемногочлены:Е И :L2 в точках О и 1 принимают одинаковые значения, т.
е. равныкак функции их 22 В 22.Теорема2.11.10(формулыВиета).ЕслиК-поле,Ul,··-)CI: n Е I(,/(Т)= эз" + (J,п_I.1'п-1 + ... + (),IT + ао =(:г - (11)", (Т - п,,),.1'0ап-l = -(0:1+ "2 + .. + "п),а1 = (_1)П-l(0:Iа2 ... ап_10.0 =(-1)n О 1 0:: 2",Q'II'+ .. + Cl2":J".а,,),86ГлаваДоказательство.2.Поле С комплексных чиселВ силу закона дистрибутивности умножениена (:т: ~ о ) сводится к умножениям на :т: И на ~a. Формулы Виетаполучаются подсчётом коэффициента при :сkных раскрьгтиях скобок;,(т.
е. надо при указанраз выбрать:с и, следовательно, (n~k) разкорни).ОУпражнение2.11.11.ными коэффициентамиПусть сумма корней многочлена с комплекс(считаячто сумма корней производнойУпражнение2.11.12.+ .т,2 + ... + э:" Е С[х].1) многочлен (112)1;1 -1 +Х21-кратность)равнанулю.докажите,этого многочлена также равна нулю.Пусть Хl",Х;" -корни многочленаl+x+Тогда:+ х)"+1- х"+1 имеет корни -Xl - г1n1 + ... + х" - 1 = ~2'-... , ХN 1'-Глава3Системы линейныхуравненийв средней школе рассматривались линейные уравнения аСЕ= Ь исистемы линейных уравненийЬу =: е,{ ОСЕ ++ rly- f,ССЕгде о, Ь, с,d, с,fЕJR -действительные числа.В излагаемой теории систем линейных уравнений мы будем совершать с коэффициентами операции сложения и умножения, а такжеделить (т. е. умножать на обратный элемент) на ненулевой элемент.Таким образом, естественно рассматривать системы линейных уравнений с коэффициентами из проиэвольного поля Кдля пони манияосновных моментов теории систем линейных уравнений можно считать, что К-полеJRдействительных чисел.Наша ближайшая цель-исследовать системы т.
линейных уравпени и общего вида ОТ ТI. переменных ];1, .Г2~ T;~1ja 1 1.'l.: 1(J.21:Ч(J,ml·[lгде '1//', П ЕN,-++..+ .+ (J,12:J.::....)U,п:J>2 +++ Um2J2 -+(Ji)) ь, Е К,(J11I:Г n(l.'2//J :u==/)1,/п·(3.1)883.ГлаваТаким образом, ';-е уравнение,сывается(аи-1~Сиете/мы линейных уравнений~ т, нашей системы запиiв видекоэффициент при переменной Xj в ;-м уравнении,ный членi-robi -свободуравнения), или, кратко,LQ,'i.iXj =ь..j=lПрямоугольная (m,хn)-таблица коэффициентов o,i,j Е К (т строк,nстолбцов)А (:~: :~~ :~:=а'т.}0,1"/1,2.о,mЗ:.~:.)атnназывается матрицей коэффициентов системы линейных уравнений (3,1), а прямоугольная (m.х (n+1))-матрица (тn строк,71.+1столбец)0.
11-0.21А = (O"jlb,) =.....((I'т,}называетсянийрасширеннойматрицейсистемылинейныхуравне(3.1) (уже полностыо её определяющей).Если '111,='11(число уравнений равно числу переменных). то сис-тема линейных уравнений (и матрица А=(:~:' ::: ::::) её коэффициентов при переменных) называется кеадротной.В квадратной матрицеС,:: ::: .:::)можно определить диагональ и побочную диагональ:г3.1.89Совокупность решений системы линейных уравнений== Ьm(3.1) Ь 1Если в системе линейных уравненийО, тосистема называется однородной.3.1.Совокупность решенийсистемы линейных уравненийОпределение3.1.1.
Решением снетемы линейных уравнений (3.1)n элементов поля К (11, ... , In ) , 1.; Е К, такая,при подстановке в 'i-e уравнение, 1 ~ i ~ 'т, II вместо Хl, l2 вме:1;2, ... , l'i вместо X'i, . . . , 'n вместо :1:n получаем Ь, (С80бод!'1ЫЙ членназывается строчкачтосто;-го уравнения), т. е.nLЩjl.i =b'i·j=lТаким образом, строчкачения [1, ... : {n(11, ... , ln) являетсяXl···· Х n(3.1).соответственно длят уравнениям системы1решением, если знаудовлетворяют всемЧерез Х обозначим совокупность всех решений системы линейных уравнений(3.1).Замечание3.1.2.1)Х С;; К" (т.
е. совокупность всех решений является подмножествомв множестве К"всех строк длиныnэлементов изполя К).2)=Возможно, что Хg(т. е. система линейных уравнений неимеет решений), в этом случае система называется несоеместной.3)Еслиматема(О,е(т.системауравненийО) Е Х С;; К"=е.называется совместной.линейных.(IXIiХ(3.1)1),имеетрешение),тосистеНапример, однородная сисвсегдаимеетнулевоерешение,Если система имеет только одно решението система называется определенной. ЕслиIXI >1,то совместная система называется неспределенной.
Итак, длячисла решений имеются следующие возможности:90Глава3.Сясгеыы линейных уреененннЧисло решенийО1>1СистемаСистемаСистеманесовмесгная.определённая,неопределённая,Х=0IXI =1IXI>1При меры{:Г1 + :1:2 = О,":] + ;[;2 = 1{'El+X2=1,Х] - Х2 = О{Хl + Х2 = 1X={(~,~)}.7:2Х]= С Е К,= 1- сХ={(l-с,с)!с Е К}X=IZJ[Х]несовместная=IXI = IKI > 11определённаяс. л.
у.с.л.неопределённаяу.с.л.у.Основная задача исследования систем линейных уравнений(3.1)<;; К"система (3.1):заключается в описании (нахождении) множества решений Х(в частности, определения, к какому типу принадлежитнесовместная, определённая, неопределённая).3.2.Эквивалентные системылинейных уравненийдве системы линейных уравнений ОТ одного набора х 1) . _ . ) Х Пнеизвестных и соответственно ИЗ т. и р уравнений(1)+ о,тnХn.
=(п). + а~n;I:л.{~~.1.~:~ "..+ ... +a~]Xl=Ь m..b~)= ь;,3.3.91Метод Гауссаназываются эквивалентными, если их множества решенийXIи ХНсовпадают (т. е. подмножества Х I и ХН в К" совпадают, Х[ = Хн).Это означает, что: либо они одновременно являются пустыми подмножествами Х ! = 0= ХН (т. е. обе системы (1) и (11) несовместны),либо они одновременно непустые Х["f 0,каждое решение системырешением системырешение системыПри мер1)1 является11 являетсяи Х[ = ХН (т. е.11и каждое1).3.2.1.~ ХnЛюбые две несовместные системы от неизвестных Xl),0 =Х2).Системы(11)(1)эквивалентны (при К =3.3."f 0решением системыэквивалентны (в этом случае Х! =2)хнJR), посколькуМетод ГауссаПлан алгоритма, предложенного Гауссом, был весьма прост:1)применять к системе линейных уравнений последовательно преобразования, не меняющие множество решений (таким образоммы сохраняем множество решенийисходной системы),рейти к эквивалентной системе, имеющей «простой вид»и пе(такназываемую ступенчатую форму);2)для «простого вида» системы (со ступенчатой матрицей) описать множество решений, которое совпадает с множеством решений исходной системы.Отметим, что близкий метод «фан-чен» был известен уже в древнекитайской математике.92Глава З.Системы линейных уравненийЭлементарные преобразования систем3.4.линейных уравнений (строк матриц)Определение 3.4.1 (элементарное преобразование 1-го типа).При itk к i-My уравнению системы прибавляется k-e уравнение,('i)' = (i) + c(k); т, е, лишьi-e уравнение (i) заменяется на новое уравнение (i)' = (i)+c(k)),Новое i-e уравнение имеет видумноженное на число с Е К (обозначение:одноили,кратко,Laijxj=)=1т, е, в новомL(aij+ Cakj)Xj = Ь; + cbk = bj,j=1i-M уравненииОпределение3.4.2 (элементарное преобразование 2-го типа).k-e уравнение меняются местами, остальные уравнения не изменяются (обозначение: (i)' = (k), (k)' = (п; для коэффициснтов это означает следующее: для j = 1, ..
, , nПриitk i-eиЗамечание3,4.3.Для удобства в конкретных вычислениях можi-eпо примсгиггь элементарное преобразовиние 3-го типа:111"" умножнется па неиулевое число О! с Е к, и)' =ПредложениеМ/' (П)1-,."/1/lIJII3.4.4.Если от системыПОМОЩИ /юнечного2-/'() типа,(1)мы перешличисла элементарныхуравнеc(i),{( систепреобреэовенннто от системы (П) можно верну п-сяJ(системе(1)'j'(J/о/\(":lJн'ментарныlии преобргзоегннямн ]-го и 2-ги типа.Докаеательстео.1) Если itk,1 и)'= (i) + c(k),и= (k). (k)' = (i),то(k)'= (k).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
