А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Из сравнения степеней следует, что cleg('II(;r;)++ n")'l(:")) < degj(:r), поскольку cleg(j'(:c}I'(x)) <clegj(:r)+clegy(:r),cleg(l(:I:);( clegj'(:f;), clеgа(:т;);( clegy(:r).ОЕсли найдены «плохие»ОпределениеМногочлены1.13.26.Е К[х] из кольцаf(x),u(x)многочленов J{[.x] над полем К называются взаимно простыми; еслиих наибольший делитель а(х) равен1(т. е. их общие делителилишь ненулевые многочлены нулевой степени ОТеоремастытогда'[I.(:r), 'и(";)1.13.27.иЕТОЛЬКОK[:r],fМногочленыj'(x), g(x)тогда,существуюткогда-этос Е К).Е К[х] езенмно протакиемногочленычтоj(:r;)u(,;)+ g(,}u(x)= 1.Доказательство.1) Если многочлены /(.Т) и 9(:") взаимно просты, то для их наи(1(:1:) имеем равенствобольшего делителяПринимая во внимание выражение многочленаполучаем, что для некоторыхu(x),'u(x)<l(:r)черезg(x)является делитеJ(:r)Иy(:r),Е К[х]j'(O:)l1(X) -1- g(X)l1(X) = 1.2) Если для11.(.1:).
'и(:1;)ЕK[;r]j(CГ)U(:J:)имеем+ y(:r)'u(:r)= 1,то любой общий делитель многочленов /(х) илем многочлена1.Таким образом,ноди(1),и(х))другими словами, многочлены.f(;{)и= 1,.9(:r)взаимно просты.О47Кольцо многочленов от одной переменной1.13.Замечание1.13.28.МногочленыI(x)и у(х) взаимно просты тогда и только тогда, когдаК[,/:и(:/:) +K[:I].'I(:T) = К[:1:](идеал кольц а к [:r:] , лорожлёиный многочленами пх) исовпаg(x),дает со всем КОЛЬЦОМ многочленов К[х]).Теорема(основные свойства взаимно простых много1.13.29членов). Пусть п:Е).У(:1:), '«(т),1'(:т) Е1)Если ноди,'Р) =1.K[:r;].НОД(j,ф) =1,то НОД(j,'РФ) =1.2) Если.f9 делится на 'Р и ноди, 'Р) = 1, то 9 делится на 'Р.3)IЕслиделится на 'Р и делится на ,р, НОД( '(, Ф) =1,тоIделится на ,!лjJ.Доказательство.[)ПустьIu+'PV= 1для ·и.(.т) , Н(Т) Е К[.т]. Умножая это равенство наОтсюда следует,'1',что любоii общиii делитель многочленовявляется делителем многочлена ф, но многочленыпросты.
Таким образом, ноди, 'Р'1')2)получаем/и4'/и 'Р4'взаимно= 1.Пусть дЛЯ ·(I.(:С). и(1:) Е К[:Е] имеем/иУмножив это равенство на+ у'и =9(."),иу)и1.получим+ y(ug) = g,и поэтому многочлен [j делится на .р , поскольну оба слагаемых в левой части делятся на у.3)ПустьНОД(ч',4!)/ =.pq,= 1, то,где (J(:C) Ев силуK[TJ.
Так как / = yq делится2), q = 1,/'\, где х(,с) Е К[х]. Итак:/ = у'! =(уu')х.она 'и' и48ГпэееЗамечание{Введение: основные алгебраические структурыОпределив наибольший общий делитель1.13.30.= НОД(JI(:J),<1(:1;)... ,fAx:))многочленовf[(,).···,I.,(I:) Е к [;r:] ,как такой делитель этих многочленов-';' 1,11 (.т), ... , I., (х), которы й делится на любой их общий делитель, получаем, проводя ИНДУКЦИЮПО."1, ЧТОIl(x) = нодиз(х), НОД(Мх), .' .
'/з-I (х)))Упражнениеf(x) =х(х1.13.31.у(х)- 1),Если= х(х -2), l!(x)=(хноди,17)=:е --l)(х ~2) Е IR[x],тоНОД(/, у) = х,НОД(у,Замечание,.) =1.13.32.х- 2,ноди,g, h) =1,1.В алгоритме Евклида можно для удобстваделимое и делитель на каждом шаге умножать на любые неиулевыечисла (при этом мы не заботимся о точном вычислении коэффициентов в частных I)-;(:С)).Пример 1.13.33. Найти ноди(х),у(х)), гдеJ(x) = 2х 4+ 2х 3 + х4v(x) = зх +2х2-2-.1: -1,х+ 2.Решение.
3/(;1:) = g(Х)Чl(Х) + 1'l(Е). где Ql(o,)Х - 7. Делим 2у(х) на тl(х):=2, /'[(х).1:" -б:г 4б:lА+ О.т" +4х 2 - 2:70 +4 бх З - .т: 2 -:г:-;л:- :];2 -+ 5х 21;7;];+5х+46.1:': + 30:1;2 + 30;[, + 246У'- х2 - х - 731.7:2+ 31,,;+ 31.г -7=6:Е"1./3,49КОЛЬЦО многочленов от одной переменнойМноготочием...отмечено место, в котором мы произвели доиножение на 6 (соответственно многоточие: показывает, что мы не находимточные коэффициенты дляТаким образом,Q2(:r».где с точностью до иенулевого множителя '('2(Х) = х 26 х ;) - х 261':\ + 6:Е 2-Х+ х + 1. Далее,7-+ 6;[;- 7;];2 - 7;]; - 7- 7;];2 -7;]; -7оТо естьTl(:r-)делится нацело на Т2С1:). Итак,НОД(j(:J:),,q(х»х2=+ х + 1.Упражнение 1.13.34.
Наибольший общий делитель dCr) много'членов 1(.7:) = зх 5 - 4х 4 + х З - зх 2 + 4х - 1 и л(х) = 3.7:5 + 5х 4 ++ ./":1 _ ./"2 _ 30: + 1 представить в видегде 'и(х), 'и(х)-членов УСЕ) иf(x) соответственно.многочлены степеней, меньших чем степени многоРешение. Сначала с помощью алгоритма Евклида находим(1(;);) = 3х 3при+ 2х' + 2х -1,этомJ(:c).211(.С) = (1(:1:) =,1 ~ 2ху(;];)91(1:) =(J(x),= .1'+ 1.+ 1; -1.Ишсм многочлены '11(,1.) и '/!(Т) такие. что1=+ 1/1 СЕ )v(x).(1.1)50Глава1.Так как степени многочленовтов'11.(:1:) =(I.I)О,:1,+Ь, 'и('1:)=Введение: основные алгебраические структурыи 'и(",) должны быть меньше двух,'1.,(,7:)с;г+ 11,где а, iJ..(;..'1 ЕIR.Приравниваякоэффициенты при одинаковых степенях переменной х, получаем систему линейных уравнений для а, Ь, с,получаем, что п,11(:г) = Зх:!=an:r,n= 5, с =21.13,35.+ an_l:rn- 1=-3, 11+ 2х + 2х - 1 =ОпределениеI(:J') =Ь3,4,/(:г)(3гПусть J( -11.Решая эту систему,Итак.+ 5) + у(т)(-3.т + 4).поле,+ ...
+ aj:r + «оЕ К[.т] ,а n,..ао Е К.Если с Е К, то элементназовём значением многочленаI(:t:)при х = с. Таким образом, получаем отображения:/:К--+К,cf--+.f(c)(полиномиальная функция, определяемая многочленомК[х] --+ К,= У(:")(ясно. что если /(х)Лемма((х)в К[х]. то/(2;));f--+ .f(c).f(c)= 9((;) длявсех с Е К).Если в К[•.с]1,13,36,<р(х)= .f(x) + 9(Х),1}!(х)=лх)у(х)11 С Е К, то<р(с)= /(с) + у(с),«;(с) = НI)У(I:).Тэкнм образом, отображение""'с: К[х] --+ К,являетсягомоморфизмомН:,)f--+/(с).колеи (при этом Кег""',((с) = О}).Доказательство следует из определения сложения и умножениямногочленов в кольце К [:Е].о51[{олыro многочленов ОТ одной переменной1.13.Определениечлена.1(:1:)1.13.37.Элемент с Е К называется корнем многоЕ К[:4 если лс) = О.Теорема1.13.38(Безу).
Пусть с Е К. Остаток от деления многочлена /С[:) В кольиена множительK[:L]:1: -С равен значениюI(c)многочлена /(х) прн х = сдоказательство. В силу алгоритма деления(х.1(1:) =где или Т(")п,,)=поэтомуСТ-=О, илие)ч(,,)/(:1:) =СледствиеСгdegr(:r:)+ т,-с)ч(,:)=О, и поэтомуследовательно, /(е)с)'1(Х)1.13.39.+ r(:с) ,-='1'(1:) =(еТ Е К. Итак,- с)ч(е)+т =+ f(c).Т, ИОЭлемент с Е К является корнем многочлена/(х) Е К[х] тогда н юлько тогда, когда многочлен /(х) делится наж-сОЗамечание 1.13,40.1)i О. то делимость многочлена .1(:/:) Е K[cr:]на многочлен 11:[: + Ь = а (х -~)) равносильна делимостиЕсли 0., Ь Е К, о.-(намногоч.ленмногочлена:г-с= --,ипоэтомунахождеНI-iе корнеио.1(:>:)Е К[х] в поле К равносильно нахождению еголинейных делителей в кольце2) Если с Е К, L>,,: К[2:]Кег..(,с,L>, =-+ К,и(х) Е К[:с][([:1:].L>,(I) =/(с), тоI I(c) = О} = (1: -г)Jф]= Jc(главный идеал в кольце К[1:], порождён ный многочленом ":-с).Замечание1.13.41 (схема (алгоритм) Горнера деления многоf(x) Е К[х] на линейный многочлен х - С, С Е К).
Пусть/(х) = 0.,,",,' + ",,_lX.,,-l + ... + "гХ + 0.0 Е K[2:J,членаj(:г) =(1: -q(x) = ь,,~гl,n~l+ г, т Е К,+ .,. + IJ1x + Ь О Е К[.с].с)q(ж)Гягег 1. Введение: основные ялгебрянческне структуры52Тогда, приравнивая коэффициенты при .г".:,,"'-1,... , :,;,1,соответственно получаемаn=b'n~l;==аn- 1аn - 2Ьn - 2 -cbn -Ь n- эСЬ п-2;аl=ао=.,. - сЬо·ЬО --1;сЬ 1 ;Пересчитывая. получаемЬ n- 1Ь n- 2Ьп - зЬоТТакимтокn.
н ,образом,= аn;= cb 1 + а n - ! ;= CЬ',~_2 + о.n-2;1t -= СЬ 1 + а];=сЬо+ 0.0.коэффициентычастного Ь"-I .... , Ь], ЬО и оста= .!(r:) послсловательно вычисляются по КОЭффициентам. , . ~ al, 0,0 И элементу 1":, если испол ьзовать однотипную процедуру'г'о.n0,1a.kO,k+l(/.<I-1(=Щ)J11Ь Лс =/Jn _ 2 =Il n_l=('/1/1_1+0.,,_]=C/)j'-';-1+IЧ:+l1Jf._l=!J(j=г=~CIJk+I1~·="I)I+ I Jl=сЬо+а.{)'--v---"Пример1.13.42.Пусть 1(ес) = 2:х 4 - .,:2+ з;z:- 2.с-2.ТогдаJ21~1~ з_1-2---=-~ Г2Т =-:JТ7Т:ЩWпоэтому /(ес)= (1:+21,/(,.,.)+20.гдеq(:l:) =(Т+-4.1'+7,r:-11).1.13.53Кольцо многочленов ОТ одной переменнойЗамечание1)1.13.43.Схема Горнера даёт быстрый алгоритм вычисления значенияr= 1(с)многочлена J(cг) Е К[сг] R точке с (минимизируя числоумножении).2)Последовательное применение схемы Горнера позволяет построить эффективный алгоритм записи многочленамулы Тейлора по степенямменении схемы Горнераf(c),в виде форкрайнии правый коэффициент равенпри втором применении кранчий справа коэффициент ра-вен Г(с), прн третьем если/(:1;)с).
А именно, при первом при(:1; -degf(x) =f(x) = f(c)("(с)2!'и так далее. Таким образом,'п, ТОJ"( )f(n)(c)+ /'(с)(>: - с) + 2Г(г - с)2 +. + -.,,-.!-(х - с)(формула Тейлора).Например, дляи с= 5 имеем1-61-2 " -4151-151 4 113 3"515191-7--j------"----;11)-154 = 1(5)~ f'(,5)г'., 'J)I 58 = ---:),-/(3)(5)14 =-'3-'../(4)(5)1=~-г----Таким образом,/(;с)= (;1: -5)4 + 14(1' - 5)"+ ~,·i(.T -5)2 + 35(:1;5) - 154nГлаваОпределение1.13.44.1.Введение: основные алгебраические структурыПусть./'(1;)Е К[х]. с Е К. и с-кореньмногочлена j'(:C). т. е . ./'(с) = О. По теореме Безу многочлен /(Т)делится на :,,·-с.
Возможно. многочлен л:с) делится на более высокиестепени многочлена:1; .-С. Пустьk Е N - такое натуральное число,, но не делится на (:г, - c)k+!, поэтомучто j'(:C) делится на (.1;/(:1:)многочлен-F./(1;).многочленанаО). в этом случае числокорня с многочленагочлена",(:т:),Е к [:l:] уже не делится"'(:1:)тому, что 4'(с)= (:1'-Если./'(1.),k = 1,а сам корень с-:1; kс (это равносильноназовём кратностьюk-краТНblМ корнем мното корень с называется простым корнемf(x).Замечание1.13.45.Понятие абстрактного линейного пространства мы детальпо рассмотрим в главе9,после того как изучимряд конкретных линейных пространств.Понятие алгебры над полем (как кольца, являющегося к тому жеи линейным пространсгвом) будет рассмотрено в главе8.Глава2Поле С комплексных чиселПонятие числа является ОДНИМ из ОСНОВНЫХ понятий В математи-ческих теориях.
К основным числовым системам принадлежат:•натуральные числа•натуральные числа с нулём М о =N•целые числа•рациональные числа•действительные числаZ(полукольцо);Nu {О}(полукольцо с нулём):(кольцо);(поле);QIR(поле).При этомNсN()сОтметим, что рациональныеZсчислаQсQIR.и действительные числа1Rс операциями сложения и умножения являются полями. Напомним,что множествоназывается1)К с операциямисложенияи умножения,(К, -1-, .),полем, если'.операция сложения-1-ассоциативна-1- Ь)«о{у= iJ + (J '<10.. (у Е К),коммутативна (о.+с=и-1-(Ь+ с) '<10. (), С Е: К);+ 0=" '<10 Е:существует нейтральный элемент О (ОVu Е К(0.+(-0) =(кратко, (К,-1-) -сушес гауетпротивоположны иО)коммитативная группа):К);элемент-(}.56Глава2)2.операция умножениякоммутативна (оЬ=ЬоVa, Ьассоциативна ((аЬ)с = о,(Ьс)Е К);Ifa,Ь, с Е К);существует нейтральный элемент(кратко, (К,3),) -1 (10, =о,VaЕ К),1#окоммутативный моноиду.имеет место дистрибутивность, связывающая операции сложения и умножения ((а+Ь)с=о,с+ЬсУсловия4)Поле С комплексных чиселVo"lJ,CEК).1), 2), 3) определяют коммитативное кольцо.Имеет место обратимость иенулевых элементов3Ь Е К(Vo,Е К, а.#О,аЬ = 1).Поле действительных чиселприIR,всехего достоинствах,неявляется алгебраически замкнутым полем (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
