А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е.существует левый обратный элемент для отображения Л,2).f -сюрьеклненое ато6ра.ж:ение тогда и только тогда, когда существует отображение у:V--->U такое, что /9 =1\1(т.е.существует правый обратный элемент для отображения Г).З)I -бнекзннное отображение тогда и только тогда, когда существует отображение у:V--->Uтакое, чтоy.f=luи/.9 =lv(т.
е. существует левый и правый обратные для отображенияЛ.доказательство.1а) Пустьбражение у:'u= 1(11.),,,зом(8.f: [j -+ \! - инъективное отображение. Построим ото\1 ---> [j следующим образом. Если 'С Е 1111 / с; v иЕ И. ТО этот элемент'11,определён единственнымсилу инъеКТИ8НОСТИ отображения.N.обрав этом случае положим1.8.15Характеризация отображенийgCv) = n.где 11.0 -Для всех элементов» Е17 \ 1т/ положим g(v) = по Е и,U. Тогда для всякогонекоторый фиксированный элемент вэлемента V~ Е и имеем(gЛ(u)g/т. е.и J(щ) ==lи(v),= lи.Если существует отображение16)иl= g(/(".)) = 11 =J('U.2)=lи('Щ)g: V--> и такое, чтоg/ =lи.дЛЯ I11,и2 Е и, то= g(.t(nl)) =(g.f)(щ)= g(j(U2)) = (g.f)(1L2) = luCu2) =У,2·Итак,J-инъективное отображение.2а) Пустьэлемента 'и Еv-[:и -->Vмножество {п Е исюръективное отображение.
Для каждогоI JCu) = -и}не является пустым.Выберем в нем один элемент 'и'и (для интересующихся аксиоматикой теории множеств: это можно сделать в силу аксиомы выбора).Определим отображение(.tg)(v)--> и, полагаяg: V= /(g('u)) =/g = lv./.9 = 1 v дляgCu) =/Си и ) =иТогда'U v .= lvCu).Таким образом,26)ЕслиВСЯКОГО 1) Енекоторого отображения у:V--> и, то дЛЯимеемVu = l,ф) = иу)(и) = /(!J(u)),.
т. е. v = / (и) для 'и = g('"). следовательно, /: и-->v-сюръективноеотображение.J:За) Еслии -->17-биекция, то для всякого элементасуществует, и единственный, элементВ этом случае положимдляgCu) =и.'('Е и такой, что 'и =Получим отображение у:которого:(пЛ(n)для всякого'IJ,Е П: т. е.(.tg)(,,)для всякого 'И ЕV,=т. е.gJ == (1(1(/1.)) =11Iи;Л9(О))= f(g(.f(lI))) =J9 = lv.Л1l) =иVuЕ 17f(u).--> и,16ГлаваЗамечаниенымиf:1.8.2.Можно было воспользоваться уже доказанутверждениямиvи ~торого9/Введение: основные алгебраические структуры1.lа),2а):изинъективностиследует существование отображения=9: 11lu: из сюръективности отображениясуществование отображения9': V-'>I:отображения-'>ИИ, дЛЯ которогоИ, дЛЯ коV следует.f9' = lv: но-'>тогла[/ = l и9' =(9Л9'= 9Ur/) = 9 1v = 9;таким образом,Зб)9/ =Еслиlu исуществуетотображение9: VИ,-'>дЛЯкоторого/9 =lv, то в силу Iб), / - инъекция, а в силу 2б),/ - сюръекция, т.
е. / - биекция.ОЗамечание1.8.3.Отображение 9, для которого9.f = 1и, .f9 = 1 \1,как мы показали, определено однозначно. Оно будет обозначатьсяу=гIЛемма 1.8.4. Пусть иL v !1.., W.1)Если.f, .'1 -инъекции, то2)Еслиj', .'1 -сюрьекинн, то у/З) Если[,.'! - бнекинн, тоинъекция.9/ -9.! --сюрьекиня.бнекиня.4) Еслн] - бнекиня. то отображение 9 =/-1 -бяекиня.Доказательство.1) Если 'lI.1.1I.2 Е И, 1/, 01 иа. то (('lI.,) f /(11.2).
и (9Л(1J.,) =oI.'1U(1I2)) = (9Л(u.2), т. е. 9/ - инъекция2) Еслит» Е И'. то ш = 9(и) для некоторого '/J Е v: далее. '() = лn)= .'IU(III))для некоторогожение9.!'l/.Е И: поэтому w= 9и(1[,)) =(9Л(V.), т. е. отобраявляется сюръекцией.3) следует из 1) и 2).4) Т21< как 9.! = lu, .f.gявляется биекцией.=1\/.то .!=9-1,И поэтому 9.г'О1.9.17Группы1.9.ГруппыОДНИМ ИЗ ОСНОВНЫХ общемагемагнческих ПОНЯТИЙ является ПОНЯтие группы.Определение 1.9.1. Непустое множество С с бинарной операцией*: С х С ~ С, (о., Ь) ~ ".
* {, Е С ДJlЯ 0.,Ь Е С, называется группой,если:1) операция ассоциативна (т. е. (о.* Ь) * с=0,*(Ь* с)для всех0., Ь, С Е С);2)существует нейтральный элемент е Е С (т. е.для всех3)9* е = 9 = е *9.9 Е С);для каждого элемента .9 Е С существует обратный элемент.9-1 Е С (т. е . .9 * .9-1 = е = п-1 * .9).ЗамечаниеНапомним, что нейтральный элемент (при1.9.2.мультипликативной записиназываемый единицей группы) единственный.
Обратный элемент .'}- t для элемента .'1 Е С определёноднозначно. Коммутативнаягруппа часто называется абелевой группой.Лемма1.9.3.1) уравнениеЕслн С0.:1'-группа.0., ЬЕ С, то= 11 имеет, 11 только одно. решение:1:= а.- 1 Ь ;2) уравнение уа = Ь имеет, и ТОЛЬКО одно, решение у = Ьо.- 1 ;3)если аЬ= ас,то Ь= с; если Ьа = са, ТО Ь=с;24) если х = Х, то х = е;5)=-1ан.доказательство.1) Ясно.
ЧТО (1.((1.-1Ь) = Ь Если же и.:с = Ь для .с Е С. то :с= a-1a:r; = а- 1 ь .2) Ясно. что (Ьо.- 1 ) 0. = I1 Если же уа = Ь для у Е С, то у= (уо.)о,- 1 = Ьо,- 13)5)и4)следуют из1)112).проверяется непосредственно.О18ГлаваПри меры1)1.Введение: основные гясебренчгскне структуры1.9.4 (примеры групп).Целые числарациональные числаZ,действительные<QJ,числаIR соперацией сложения. Заметим, что: а) натуральные числаf\! с операцией сложения группой не являются (отсутствуетf\!n такженеитральный элемент); б) натуральные числа с нулёмне я вля юrся груп пой (обрати ЫЙ элемент (8 адцитивной за п исиобычно называемый противоположным элементом) существуеттолько для О; таким образом, например,уже не имеет обрат1ного элемента).2)(Zn, +)Группа вычетовс,(сдвиг подгруппы1 < 11.= k + 11.2 =n:;;:ТО С/,= С,..Е М. ДЛЯ{А:k+ nq I q ЕЕZгруппапустьZ}на элементтогда и только тогда, когдаk = nq(Z, +) -ПО модулю н.
Пустьцелых чисел по сложению,+ Т,k). Ясно, ЧТО САо = С" 1 Е Z,k - 1 = nq, q Е Z. Так какгдеqЕZ,О(; r < 11.,Таким образом, множество различных сдвиговнаходится в биеКТИБНОМ соответствии с множеством остатковпри делении на число 'п.(0,1,2,.",11.- 1)Определим операцию сложения на множествеCk+C,=Ck+I=C"гдеk+l=nij+8,O~8~11.-1,Проверим корректность этой операции, Если С !> =ТО ""= k + пи,k'+ l' =l'= I + '11'1), 'И"u(А:полагаяZn,Ck "ijEZ,С/ = С",Е Z, следовательно,+ nи) + (1 + nи) =(А:+ 1) + n(н + 'и),и поэтому САо , + " = С 1 +/..Так как для н, I,т Е(С 1Z+ С,) + Ст = С(I+')+m.
= Сни+т) = С" + (С, + Ст).САо + С, = САо+, = С,+/, = С/ + С"/.9.19ГРУППblто эта операция ассоциативна и коммутативна. Ясно, что Соявляется нейтральным элементом ва элемент(:2"., +),C- kявляется противоположным элементом дЛЯ СА;.Итак,(l", +) -вычетовпокоммутативнаямодулюnгруппа,называемая(операция сложениягруппойэто в точности-операция сложения остатков при делении на л.
ПО модулю числап:сначаланадо сложить остаткикакВЗЯТЬ остаток ОТ деления этой суммы на1:2 пl =целыечисла,азатемМы отметили, чтоn).[1В частности, имеем таблицы сложения для групп3) rQI' = rQI \{О},ся группами+ООО111О1+О12ОО12112О22О1:22 И:2з:1Ft' = 1Ft \ {О} относительно умножения являют(называемыми мильтипликативными.
группамисоответствующих полей).4) rQI+ = {q ЕrQllq > О}, 1Ft+ = {7' Е 1FtIт >О} с операциямиумножения являются группами.5)С ={1, -l}ЗамечаниеJ: 1\.1-;с операцией умножения является группой.1,9,5,Множествогруппой, но не является группой приженияТ(А!)всехотображений1\1[ с операцией умножения (композицией) является полуJ: М-::; Л/1,IMI >1(существуют отобране являющиеся биекциями и, следовательно, неимеющие обратного отображения].Упражнение1,9,6,1) Пусть с Е 1Ft, с> О, С = {'Г Е 1FtПокажите. что (С,*) -I -с<г<с} (= (-C;I')) ,группа, гдео+Ьа * ь =~ оЬ';[+-;;2(сложение скоростей в специальной теории относительности).20Глава1.Введение: основные эясебренческне структуры2) Если С - группа, в [(ОТОрОЙ х 2 = 1 для всех :е Е С, то Сабелева группа.ОпределениеПусть С1.9.7.группа,-Е С, '17.
Е(1.Z-целое число. Положима.Н =9 . о. .~.... о. ,есл ие,если 'n = О)1~)Замечание'17.> О,еСJJИП<О; где tn=-'n>О.1П=-n1.9.8.Если т.>О, ТО (0,-1 )m. = (o.m.)-I. Действитель-но,Теорема1.9.9.ПустьG-группа, а Е С, т, '17. ЕZ -целые числа. Тогдаа т. а n = а т + n.доказательство. Формально, мы должны рассмотретьх33= 9случаев.Случай1.т>О, '17.>О (следовательно, тСлучай2.111>О,<О (поэтому'"",'=-'17.+'n >>О). ТогдаО). Тогдаa ' rlo .ь: = (~). (~) =п/=-n0..(1 .
. . . .если т.>п',если 'т=п' =если тn.<'П/'m-"'';"m+п'=е,-11-!=0.,~,-7)(т. е. т+ 7) >-'11(Т. е+n= -11т(Т. е. 10О),= О):+- 11. <О)П/-II/=--П-'In=а.'m.+II.Аналогично разбираются остальные случаи:4) т3)т< О,> О,'17.<'17.= О: 9) тnО: 5) т = О,<'17.>О; 6) тnО, '17. = О= О,'"3)= О:т.<7) пьО, '17.= О.'17.><О;О;О21Группы1.9.Следствие1.9.10.(ату"=атn для всех "П,nЕРассмотрим целые степени элемента а группы... , a.~;;, a.~2, 0.-1 поZ.G= с, о., 02, пЭ,.Возможн ы два случая.Случай 1. Все элементы в этом ряду различны (т. е.
а" f а.' дляk f 1). В этом случае будем говорить, что порядокэлемента а бесконечный (обозначение: О(«) = 00).Случай 2. В этом ряду о." = а' для некоторых k f 1. Пустьk > 1. Тогда (l,k-' = е, где k: - 1 > О, т. е. встретилась и навсех целых чиселтуральнаят ={tстепень элемента и,Е ZIt >равнаяе.РассмотриммножествоО, а' = е}. Это непустое подмножество натуральных чисел. Следовательно, в Т существует наименьший элементn,который мы назовём порядком элемента (l, и обозначим через О(о ).Таким образом:1)о" = е,n>О;2) если а" = е, kПример0(0.)> О,то k ;;, п.1.9.11.
G = {1, -1}.(J=-1. Тогда0.1= -1,(]2= 1, т.е= 2.Лемма1.9.12.Если0(1) =н< 00,1) все элементы е = 0,0: а, 0.2; . . , а n2) для любого k:ЕZто;1различны;элемент а"совпадаетсоднимизnP,(J.,n 2, ... :a - 1.Доказательство.1) Следует ИЗ определения порядка элемента 0(0).2) Пусть k Е Z. Тогда k = 'II'! + Т, где О ,;; т < n. Следовательно,с/' = (аnУ/аГ = еа" = а':LJЛемма 1.9.13. Пусть 0(0.)= n'f.В том случае.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
