А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 9
Текст из файла (страница 9)
длина вектораэто расстояние от точки (О, О)z).r= а...",z+ 1,;Izlr =ОПример2.5.1.1) Если z=аЕ IR, топлексного числаIzl = Ы = 10,1, т.I 1: iC IR+ являетсямодуль действительного числа2)lil =1, 111 1: IR---4продолжением функцииIR+ ={Т ЕIR,Т? О}.+ il = \1'2.= Ja2 + 1>2 =Izl4)lal = Ы :( Jo,2 + 1>2 = Izl2.5.2.l111zlIzlz =о,+Ь;3)Леммае. функция модуль ком---4=для1111llzlдля вЕ iC.= () + Ь;для 'Ш,;; ЕЕ С.iC.Док аэательстео.111121 = V('Шz)('Шz) = J(111W)(ZZ) = ..r,;;й5~ = 1111114 оДругое доказательствоэтого факта следует из свойств тригонометрической формы.Следствие1) ЕслиUI2.5.3.= z-lдля Опоэтому# ;; Е1.Iшl= :;;1 =1iC, то 1=111=I;;-IZI2.5.65Свойства модуля комплексных чисел2)Для 'Ш, Z Е Сi= О:zЛемма 2.5.4.
Iш+ zl :( 11111 + IzlПервое доказательство. Длинапревосходит суммы длии11111 + IzlВторое доказательство.для 'Ш, z Е С.1111 + zlстороны треугольника недвух других сторон.Если 'I1J=О илиz=ОО, то утверждениеочевидно.Пусть теперь 'Шi= Оиzi= О.Так как для10.1 = -Ja.2 :( J 0.2 + Ь 2=z = [1 + b'i имеем14то11 +z12 = (1 +z)(l +z) = 1+ (z+z) +г;; == 1+ 2[1 + 1.012 :( 1+ 21z1 + Izl2 = (1 + Izl)2,и поэтому, поскольку11 + zl )о,1+ Izl )о,11 +,1 :( 1+ 14Далее,Iш+ гl = Iш(l + ш-1z)1 = Iшl'11 + /11-1 zl :(:( Iшl(l + Iш-1zl) = Iшl(l + Iш= 11111 + 11111,,-11121 = Iшl + Izl. о11Izl)Следствие2.5.5. Iшl- 121 :( 1/11 ± zl :( Iшl + Izl=для ш, г Е iCДоказательство.1) Iш - zl :( Iшl + 1- zl = Iwl2) Так как Iшl = 1('/1) - г) + zl3) Iwl - Izl =Iшl- 1-гl+ IZI:( 1'1) - 21 + 121,:( Iш + 4то Iщl-lzl:( 1'" - 4о66ГлаваПоле С комплексных чисел2.Тригонометрическаяформа2.6.ненулевого комплексного числаИспользуя полярные координаты, модуль 'r' = V0.2 + Ь 2 И аргументIf = cl.l"g :::, для комплексного числа = а+Ы и принимая во внимание,что а = л: СОБ 'Р, Ь = .,.
зш '1', получаем тригонометрическую форму:г = '1' СОБПримеры1) 1= 1(С080=27r.3'г =Iz! = v1+3 == -1+ уго3'; =4) cos 1" - ; Si11 'Р = cos( -'1')Теорема1R 3'1'11.2, СОБ'Р2.6.2=f2 (27rС08 3v3= -2' ВШ'Р = 2'> О,(о единственности тригонометрической форг = а1R 31'1+ .; sin 327r) ;+; 8i11( -1").+ЫЕ С и,: = ""1 (С08 '1'1 + ';8in'P]) =где+ .; 8i11 1").поэтомуZмы). Если О= ..,.
(СОБ '1'' 2'7r) '+ 1..SШ+ V3z,-11" =+ 'r' 8i11 'Р';+ ';8inO);п2) 1.' = 1 ( СОБ 2'3) z'1'2.6.1."'2=Доказательство.> О,'1'2ИИз'Г2(СО81"2+ ;8i111"2),то'1'1 - 'Р2 = 27rk:.единственностиk:ЕZ.алгебраическойформыимеемо. = Т[ СО::; '.р! = 'Г2 СОБ'?2;Ь = Тl ып 'Рl=Т2 ып 'Р2·Возводя в квадрат и складывая, получаемTi=:р] + siп 2 ·:.рl)=Т~(СОБ2 'Р2+ sin 2 'Р2) = г~.> О, 1'2 > О, 1'0 "'1 = Т2· Поэтому СОБ 'Pl == sin '1'2, следовательно, 'Рl - 'Р2 = 27rk:, k: Е Z.Так как ТlCOS lp2, зш yl=О2.7.Умножение комплексных чисел в тригонометричеСl{ОЙ формеСледствиеЕсли2.6.3.0iz=a+blEC,Z=T(C08;p+isil1ep).тоТ' = Izl =(т.
е. Ю'gz = 'Р+ 27Гk,УпражнениеЕkva2+ ,,2,IRэт>О,;р = aIgzZ).Если z = Т(СОБ'Р + ~sil1'Р), '1> О, то2.6.4.-z =1'(С08(\" + 7Г) + isin('P + 7Г)),Z = Г(СО8( -\,,)2.7.67+ i sin( -'1')).Умножение комплексных чиселв тригонометрической формеАлгебраическаяоперацийформасложениязаписии разности,комплексных чисел удобна дляКак мы сейчас убедимся.
тригонометрическая форма записи ненулевых комплексных чисел удобнадля операции умножения (и как следствие-для деления, возведенияв степень, извлечения корней).ТеоремаZIТ]>О, Т22.7.1.=>ЕслиTl(COS'PlО, Тl,"2 ЕZ1Z2+'isin'P]),IR.Z2 = Т2(СОБ'Р2 +'isin'(2),то= (-"]12)(C08('I'1 +т. е. IZ1221 = Iz]llz21, шg21Z2 = ('Рl'(2)+ i8in('Pl + \"2)),+'(2)+27Гk (аргумент произведения равен сумме аргументов).доказательство..:]Z2= (Г]('2)((СООР1 СОБ'Р2 - Sil1'Pl sil1'P2) ++ i(coS'PJ хш 'Р2 + siП'Р1 С08\"2)) == (ТjI'2)(С08(\"1 + 'Р2)+ isil1('P1+ '(2)),"1('2> О, Итак, это тригонометрическаяформа дЛЯ 2J22, поэтому68ГлаваZ11 = -1"IZ111для z1,z2 Е С.
Z2 l' О. aгg (Z1)-=-:;частности, Iz- 1 j = 1z1- 1, aIg z-1 = - агg z.Следствие 2.7.2.aIgZ1 -aIgZ2. ВI~~Доказательство, Еслиш'gZJ = 'Pl+2wk, Z2Поле С комплексных чисел2.=~=ZIT1(COS'Pl + isin'P1), [z11 ='f'2(COStp2+'isintp2),IZ21Tj.= Т2, al'gZ2 = 'Р2+2пk,ТО"'2(СОБ '1'2 + i sin '1'2) , 'J. (СОБ(<Р1 - <Р2) + i sin( <Рl ~ '1'2)) =Т2= '1'1(COStp1 +isin<pl),следовательно.поэтомуЕСJIИz = T(cos<p + isin<p),'r>О,то,:-11= -(coe(~<p) +isin(-<p)).типоэтомуСледствие 2.7.3.
Умножение комлэсксного числа z на комплексное число 1'(COS)JВ'1'+ isill y ),Т>раз и поворот полученногомодуляIzlО, означает «рестэкенне» вектора гвектора на угол '1' (т, е, умножениена т, а затем прибавление <р кal'g z).В частности, умножение комплексного числа нанасильно повороту на 'р (умножение на i11"= cos'2поворот плоскости BOKpyr начала координат на1i'2)'cos',C+isin<pтг+ i вш '2рав-означает2.8.69Интерпретация обратного элементаУпражнение(экспоненциальная форма Эйлера записи2.7.4комплексного числа).
Рассмотрим последовательностьСП = ал.где ан. Ь"Е+ ib nЕ С,Если существуютIR'..li111 Ь N =Ь Е11_00то1R,существуетnl~~ (а"+ 'ibn )= а,(в метрике на iC = 1R 2, определяемойIzl+ ib ЕСдля г Е С).Покажите. что.11111(a+bi)"1+-nп-е-со..= ea.(cosb + 'I,SШЬ).Это даёт основание (Эйлер) ввести обозначениегдее/;'; = cos ЬЕсли Z, ш Е С, то2.8.eZ+ 'i sin Ь.е" = е Z + Ш ••Геометрическая интерпретацияобратного элемента z-l для z = аЕсли О! г= ,,2 + ь 2 ,=а+ Ь;Е iC, то, как мы видели,z_\=zIzl2=(z)Izl2zz =+ bi ЕСN(z) = 1;;12 =.Таким образом, геометрическое построение комплексного числаz-lможно провести двумя последовательными процедурами:а), = 1,:.12~инверсиярадиусаZ(lz'l----J-Zотносительно1=Izl);б) сопряжение г' --;?= z·-1окружностиединичного70Глава2.Поле С комплексных чисел=Izl 2Z1Z-1-iЗадачаНайти геометрическое множество точек2.8.1.пробегает прямуюУпражнение{1z-1.
где z+ b'i 1 Ь Е JR}.2.8.2.а) Для и) Е С. 1IJ#О, имеемтаким образом,':;'Шб) ЕслиZЕ Т, т, е.некоторого0#ЕТIzl =={z Е С 1121 = 1},1, z=cos<p + isil1<p, то1IJ Е С Таким образом,1 + it I tEJR }{ z=--.1 - 'ltДействительно, если '111 =совfIШ(йДЛЯ=Т+ ';' зш fI,ТО 111+isil1(~O) И"; = cos 2()Z+ i sin 2() = соз е + i ып '1'.СОБ( ~fI)+2.8.71Ингерпре-гипя обратного элементаТаким образом, если28 =ер, т. е.8=~, ТО111=сое ~ + i зш ~является одним из решений этой задачи.Упражнение1)2.8.3.Единичная окружность Т ={zЕ С1 Izl = 1}с операциейумножения является группой (подгруппой мультипликативнойгруппы (С' = С \ {о},·) поля С комплексных чисел).2) {тЕJRI/<О}={zЕСlагgz=п+2пk}.3)Найти все z Е С, дЛЯ которых4) Найти всеzI z - i 1 = 1.Z+1.Е С, дЛЯ которых Iz + il + Iz - il = 2.5) Три различных комплексных числаZl, Z2, zз Е С Е JR2 лежат наодной прямой в JR2 тогда и только тогда, когдаZl -Z3 ЕZ2 -zзJR.6) Четыре различных комплексных числа Zl, Z2, zз, Z4 Е С = JR2,не лежащие на одной прямой в JR2, лежат на одной окружноститогдаи талыш тогда,вещественным7)когда ИХ двойное отношениеявляетсячислом:Zl -zзZ2 -Z3:Zl -Z4 ЕZ2 -Z4JR.Рассмотрим отображение инфлексии С -->г=л:+ yi1-----7У+ ;r;i =!i,iC,.1:, у ЕIR..Показатъ.
ЧТО:(а) отображение(Ь)(Zi+ 22) =.:"l +~, 1,,-1Z1V=(с) IZшl =1i"- 'шдля1,,-' шl"- является биекцией,2 +у2;= Izl =приэтомJxгл» Е С;= 1,,-llшl, в частности Iz,,-I = Izl2 для z Е С.72Глава2.Поле С комплексных чиселТеорема 2.8.4 (формула Муавра о возведении в степень комплексного числа в тригонометрическойформе). Пусть О;; = "(СОо'Р+ 'i.iiin'P), ,.>О,nЕ Zi zЕ С,Тогда('I'(соо:р + i.sin <р ))n = т (СОБ n<р + i sin n<р).nДоказательство. Утверждение теоремы ремычастныйслучай теоО2.7.1.Упражнение2.8.5.
Так как для n Е N(СОБn<р+isinn'P) = (СОБ:р+ ·isin <р)п,то, выражая правую часть с помощью формулы бинома Ньютона,получаем, приравнивая действительные и мнимые части:COS'IM.p=COS7J.l..P-С~СОsn-2I..рsiп2i.p+С~,СОsn-4i..psiп4tp- .sin n<р = л cosn- 1 I..psin <p-c~ cosn- 3i.p sin3i.p+C~ cosn- 5 '{J sin'S 'р-.Например:сОБ 2:р = СОБ 2 'Р - 8in 2 .р,cos 3:р = С08 3 <р - 3 cos 'Р вш 2 (р,СОБ4:р = С08 4 <р - 6 С08 2 :рsiп 2 :р + 8in 4:p,Бiп 2:р= 2 cos 'Р sin 'Р,sin 3'Р = 3 С08 2 :р sin:p - siп;] 'Р,sin4'P = 4С08;] :psin:p - 4cos'Psin3 'Р.Упражнение 2.8.6. Если'1./.= cosер+ -isin У;'1)= 'И, = СО:'; \f -'i ып 'Р.ТОU+-V=2COSY11/,т'U,--u=2isil1''-P1= cos 'l"nу'U"l;=11+ '{ ып '1/1':":;1,от = (п}m = (н т,) = COS'fn\.(J - isil1'П'UР;2.8.73Интерпретация обратного элемента2n С05'"{J= (и+ 'и)n =L C~",",-k'uk=k=Q= (нЕсли1'1.+ 'и ) + nl//1J('U n - 2 + 'иnn= (и n1'1.- 2)+ »")+ 1,= 2А:_=nШJ(un-2+ "n-2) + C~.u2,,2(u"-4 + 11",-4) ~ ,то(_1)(n-I)/2 i2 n зш" <р = ('11, -'и)" == С'и" - 'и") - u:шu(и n - 2 _ оn-2)Отсюда: если2n+ С~.'tL2'V2('Un-4 + 'иn.-4) +.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
