А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 8
Текст из файла (страница 8)
е. многочлены с действительнымикоэффициентамимогут не иметь действительныхкор";" + 1 не имеет действительного корня).ней: например, многочленНашей целью является построение расширения С поля действительных чисел IR. IR с С, 8 котором есть такой элемент 'i Е С что 'i2 = -1(уравнение :1;2+1 =О имеет решение), при этом в некогором смыслеэто минимальное расширение с этим свойством. Построенное поле Сокажется алгебраически замкнутым (алгебраическим замыканиемполя2.1.IR).Анализ ситуацииДопустим, что существует поле К, содержащее в качестве подполя поле дейсгвит ельных чисел,1)IR сК, и элемент'lЕ К такой, чтоТогда:;'2 =_1.для(/',1),с.f1ЕIRравенство атолько тогда, когда а=-ее =+ ')'{= с+ J'iвыполнено тогда нd.Доказательство. Если а+Ы =(о- (;)2 = _((1_1))2{/ =с.iJ = rJ.c+di, то а-с = (d-b)'i, поэтомуследовательно, (о, = о = (1- ь)2, т.
е.О2.2.57Построение поля комялгксных чисел2)подмножествоносительноDвсех элементов о,операции(n+ /I'i)оо=-(о,+ IJ'i)Итак,D+ О;Е= (-а)(о.4) (а+= (о +с)являетсяD+ (-Ь); -+ Ь'; fа, Ь ЕJR,замкнуто отвD+ (iJ+d)'i,нейтральнымэлементом,противоположный элемент для 0,+-коммутативная группа.bi.ОD замкнуто относительно умножения+ iJ'i)(r: + (1i)Ы)(о, - IJi) =5) если о.+ «(;+(11)относительно сложенияЗ) подмножество+ Ы,сложен ил0.2+ьО, ТО 0,2(а. + Ы) (= (nс - /)(1)ОО2+ [,2 >а02+ (ш1 + IJc}i.+ ь2О, ИЬ)-0.2+ Ь2"=п2+ ь2 -+ь+ [,2 ==0,20.20.2+ [,21.21,следовательно,(а.для аi2.2.Е Г),+Ы fD-')-1+ Ь·/,о. Итак,DО.Ь.является подполем поля К,наименьшее подполе в К, содержащееJRJRи ь.Построение поля комплексных чиселНа основе проведеиного анализа положимсовокупность упорядоченных пар действительных чисел.Рассмотри" следующие операции сложения и умножения:(п"/,) + (С', а)((1.,Ь)(,.= (о.<1) =(щ+ С, /, + (1),-/)(1, си!+ Ьс:).сD,О58Глава2,Поле <с комплексных чиселТогда:Г)абелева группа (сложен не ассоциативно и комiC = (IRL, +) -мутативно: (О, О)нейтральный элемент; (-а, -Ь)-противо-положный элемент для (о" Ь));2) умножение: ассоциативноn=n(о,с - ьа, ос} + Ьс)(е,=- (о,а + lJc)j, (ас - /J(J).f + (о,а + Ьс)е) == (асе - iJrJe - аа! - iJcj,acj - iJrl,j" + a,rJe + Ьсе) == (ш:е - ш/f - Ьс] - Ьае, ас] + шlе + Ьсе - ЬdЛ == (а(се - rlЛ - Ь(с! + ае), а(с! + ае) + Ь(се - dЛ) =((а,/J)([, а))(е,= ((ас-ьа)е= (п,Ь)(се- rlJ,cJ +ае) =(а.,Ь)(~,d)(е,Л);коммутати ВНО(а,Ь)(с,(1, О) -(1) =(o,c-IJd,о,rl+iJс) = (ca.-diJ,сIJ+dо,) =нсйтральный элемент, (о., Ь)(l, О) = (о., Ь),(c,d)(a,iJ);(1, О)l'(О, О);3) выполионо свойство дистрибутивности:(а, Ь)((с, а)+ (е, Л)= (о., Ь)((с+ e,d+ Л)== (о(с+ е) - b(d+ Л,о(d+ J) +Ь(с+е))=+ о.е - bd - Ъ]; о,а + а] + Ьс + Ье) == (ас - bd + ае - Ь]; o,d+ Ьс + о} + Ье) == (ас - bd, o,d + Ьс) + (о,е - ЬГ, о} + Ье) == (о" Ь)(с, d) + (о" Ь)(е, Л.= (осИтак.
С=rn;.'2 с этими операциями сложения и умножения являетсякоммутативным кольцом с единицей(1, О).02+ь >ОоЬ) =(0,/') ( -?-~')'--2--20- + Ьа + Ь(02 ++ ьЕсли (о, Ь)l'(О, О), о. Ь Е IR, тотаким образом, к аж дыи элемент (О, О)ный.2И2-?-~2'0а-i'Ь)=(1,0),(а, Ь) Е iC = jR2 имеет обрат2.2.59Построение поля комплексных чиселИтак, С=JН:2 С этими операциями сложения и умножения - поле.Осуществим вложение поля действительных чисел JН: в построенное поле С = JН:2, сопоставляя любому элементу а Е JН: пару (а, О) ЕЕ С = JН:2 Так как для 0.,1> Е JН: имеем(а+ Ь,О)= (о..О)+ (Ь,О),(аli, О) = (о,О)(Ь,О),тоэто{(о., О)отображениеявляетсяизоморфизмомполяJН:наподполеI о.Е JН:} поля с = JН:2 В дальнейшем мы будем отождествлятьо.
и (а., О), полагая о. = (о., О), в частности 1 = (1, О).Если'i = (0,1), тоi2=(0,1)(0,1)=(-1,0)= -1,(элементi = (0,1) в построенном расширении С = JН:2 поля JН: является корнем уравнения х 2 + 1 = О).дЛЯ любых 0., Ь Е JН: имеем(о., Ь)=(а, О)+ (0,1» =(а, О)+ (Ь, 0)(0,1) = о. + bi,при этом это представление единственно (как из «анализа задачи»,так и непосредственно: если о.+Ь;= (с, d), следовательно, о.=с, Ь= c+di,то (а, Ь)= a+Ьi = c+di == d).Элементы построенного поля С = JН:2 называются комплекснымичислами.
Форма записи комплексного числа в виде о.+ Ьь,а, Ь Е JН:,называется алгебраической формой записи, в которой:(о.(а+ Ы) + (с + di) =(а + I>i)((: + di) =.+ ы))_}= а2(о.+ с) + (Ь + d)i,- Ь(1) + (o.d + bc)i,(асЬ(j...+ ь2 - а2 +Ь2" для а+ 1,'; '10.в геометрической интерпретации комплексное числоz = а+Ыизображается вектором в прямоугольной системе координат. выходящим ИЗ точки (О, О) В точку(0.,11).60ГлаваЬ2.(0.'1--Поле С комплексных чиселЬ)z=o.+lJ'i(О, О)аСложение комплексных чисел соответствует сложению векторов:(o.+c,IJ+d)(а, Ь)z=a+blz+w=(a+c)+(H(})-id f----tL-----I----т":::..--------,А( С, d)'ш=с+d-iаГеометрическая интерпретация умножения и перехода к обратномуэлементу будет дана позже,Длякомплексного числа=zо.называется его вещественной частью,+ ь,;(] =Е С, 0., Ь Е[гп Z -IR, о.= R,ezего мнимой частью.+1 = Оi, :т: = --i.
Действительно. если(а + IJi)" = -1, то а - ь 2 = -1, 2аЬ = О, Так как Ь l' о (иначео2 ='-1), ТО а = о и ь 2 = 1, поэтому Ь = ±1,Замечание 2.2.1. В построенном поле С уравнение 1'2имеетлишьдварешения::т;=22.3.Сопряжение комплексных чиселКаждому комплексному числуплексное ЧИСЛОz =:1: -z =т+ -iy ЕС сопоставим ком'iy Е С, называемое комплексно сопряженным. Геометрическая интерпретация перехода отz=а+ ь,;к сопря-2.3.6lСопряжение комплексных чиселжённому комплексному числуz=а-Ь; прозрачна: ЭТО отражениеотносительно вещественной оси:а,,=а-Ь;-bl-----~Теорема1)(а, -Ь)2.3.1.Операция комплексного сопряженияz ~z являетсяавтоморфизмом поля С комплексных чисел (т.
е. биекцией, для которой_z +'ш=дляz!2+'11), Z'Ш=z'iij для z, и: Е С и, как следствие,-(W)=-=-йizzО), оставляющим все действительные числа и толькоих на месте(8, =Q,дляQ,ЕJRС::; С; еслиz=z,тоzЕIR).2) Квадрат комплексного сопряжения равен тождественному отображению (z = z).3)Если г=N(z) =iC.а+Ь,; Еzz =а.Ь Е+ь022JR,тоz+z =2и. ЕJR,Е JR, при этом N(шz)=z~z=2Ь; ЕJRi,N(ш)N(z) для'Ш , z Е С.4)I:С ~ Ссел, чтоf(u.) =ЕслиЛ.о)= zдлярасширения-такой автоморфизм поля С комплексных чиu.
Е JR С::; С, то либо f = lc, либоz Е С (тем самым показано, что группа ГалиаJRса для всехrcсостоит из двух элементов).Доказательство.Г) Ясно, что соответствиеz=о.является биекцией.+ 1,.; =(о., Ь) ~z = (].~ ь.;= (о.. -Ь)622.Г.лаваz =Еслиzа+ш= (а +Ь) += (аz(c+d)i= (а ++ (Ь - di) = z +ш;Ь;. = -а + Ы = -(а --а= z + т=:;;;) = Z -ш;=f(ас(ао, точиселЬ)- (c+cl)i =- ci)-z ==iC комплексныхтоz - шZШЕсли+ bi, ш = с + di,Поле--- bd) + (",1 +ы)(с- cli) ==Ье)"Ы) =(ас-ьа)-(2);-(1(1+ Ьс)';=Е'й).1 = z· z-1 = Е, z-l, т, е, z-1 = (Е)-1, ПоэтомуzzЕсли Z = а Е ~, то= а, Если z = а + Ы, то = z означает, чтоz = а + Ы = а - Ы = Е, т, е. Ь = -ь, поэтому Ь = о и z = и, Е ~, Итак,z = z тогда и только тогда, когда z Е К2) Z = 0,- Ы = а + Ы = г,3) Если z=a+bi, тоz=z=z ' z=z+z-(а + /"i) +(n + Ы) -(а(а(а+ Ы)(о.
-- bi) =- IJi) =Ы)=а22а Е ~,2Ь'; Е ~i,+ь2Е ~,Далее,N(wz) =1lIZШZ =wzwz =wйizz =N(w)N(z),4) Так как i = -1, то /(i)2 = /(-1) = -1, поэтому2либо/(i)либо /и)= i, и тогда /(0, + iJi) = /(0) + /(Ь)/(п = о + lJi,= -i, и тогда t(о. + iJi) = /Са) + t(iJ)/(i) = а - ЫЗамечание1)о2.3.2.Если комплексное число С> получено как выражение из комплексных чисел С'I,"',"'n Считания,деления,умноженияипомощью операций сложения, вытоплексных чисел б 1 : , ..
, (~n даёт О'.тожевыражениеизком2.4. Полярные координаты точек плоскости (отличных от начала координат)2) Правило деления комплексного числа ш = скомплексное число Оt+ d'iна ненулевоеа+Ы Е С (в алгебраической форме):z=~ = c+di = (c+d')(o.-I),) = (СU+<1Ь)zо.+Ь;(a+iJi)(o-iJ'i)а 2 + Ь22.4.63+ (-СЬ+<10) '.,, 2+Ь2Полярные координаты точек плоскости(отличных от начала координат)Точка плоскости (о., Ь), отличная от начала координат (О, О), однозначно задается своими полярными координатами т, 'р, где трасстояние от данной точки до начала координат, 'Р-угол междуположительной полуосью абсцисс и радиусом-вектором точки (а, Ь),отсчитываемый против часовой стрелки (определенный с точностьюдо2Kk, kЕZ,и называемый аргументом точки (о, Ь)).тsin'Р = Ь 1-----------,'"(а, Ь)'Ргсоз о0=(0,0)Аргумент точки О==а(О, О) не определен.Формулы перехода от декартовых координат о и Ь точкик полярным координатам.,.
=.8111 ер2.5.Vo. 2 + ь2;Ь= ---(1,(0.,1))и обратно:а";02+Ь2'СО8 ер = ";02= ",cOSif.Ь = т вш 'Р.+ Ь2 :Свойства модуля комплексных чиселд.nя комплексного числаIzl =z = u+biVГZiЕ С определим его модиль как= }0.2 + 1)264ГлаваПоле <с компяексных чисел2.(в геометрической интерпретации на плоскости iC = 1R 2 модуль комплексного числа тдо точки (а,1», т.= Izl = J 0,2 + 1>2 -е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
