А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 4
Текст из файла (страница 4)
когда Ас= 11 < 00.Тогда а." = еRтом11толы,о22ГлаваВведение: основные алгебраические структуры1.Доказательство.1) Если k = ТIJj, то o,k: = (оn.)ч = е Ц = е.2) Допустим противное, т. е. что k = nq + т, где () < r < n. Тогдао" = (0"'-)'10." = а" # е (по лемме 1.9.12). Получили противоречие. ОЛемма1.9.14.для непустого подмножества Н группы С следующие условия эквивалентны:1)Н является группой относительно исходной операции в группе С;2)подмножество Н удовлетворяет следующим двум условиям;а) если /11)12 Е Н, ТОб) если1,.Е Н, ТОПодмножество Нусловиям Г) и2),Е Н;h'I {" 2/,-1 Е Н.группы С,удовлетворяющее эквивалентнымназывается подгруппой группы С.Доказательство.1)2).==}Если /11, /12 Е Н, то, поскольку операция определенана Н (т.
е. не выводит из Н), имеемЕсли е'/11112 Е Н, т. е. 2а).нейтральный ::mемент группы Н, ТО (" . е'-в группе С обе стороны равенства нае-(e'),I,=е/. Умножаяполучаем е' =f(здесьнейгральныи элемент группы С).Если ~'I-обратный элемент ДJIЯ элемента 1, Е Н, то11,-1 ./1=е'=р = /1.'h.- 1 ,т. е. /,-1 = ~-I Е Н (условие 2б)).2)==}1).Условие 2а) показывает, что операция определена намножестве Н.
Конечно, она ассоциативна. Далее, длялу26) I!-1Е Н, и поэтому, в силу 2а), е =1,. Е Н в сиI! . 1,-1 Е Н. Ясно, чтос - нейтральный элемент в Н, а 1,.-1 - обратный элемент для 11 в Н.Итак, Н-группа относитс.тьно операции, индуцированной операцией группы С.СледствиеО1.9,15.группа группы С,~C.F -Если С; -группа,0#Fпол группа группы Н, тоС Н с С, НF --подполгруппа групо1.9.23ГруппыТеоремаПусть1.9.16.ство подгрупп группы С.I 'СG - группа, {Н;ЕI} -Тогда их пересечение Нлюбое семей=является подгруппой.n Н;такжеiEIдоказательство.1) Если h 1' /"2 Е Н =ПН;.
то /"1./'"Е Н; дЛЯ каждого С.i-EIТак как Н;/'1/'2 Е- подгруппа, то h' I /' 2 Е Н; дЛЯ каждого i, и поэтомуn н; =НiEI2)Если1,.n Н;., то /, Е Н; дЛЯЕ Н =каждогоi. Так К2К Н;'iE!подгруппа, то н:' Е Н; для К2ЖДОГО 'i., и поэтому н:' ЕИТ2К, Нn Н, -=подгруппа группы С.n Н,. = Н.<ЕlО'iElПримеры1)1.9.17Чётные числа 22'::-подгруппа в группе целых чисел2) 2':: с (1Qi, +),3)(при меры подгрупп).lQiсВ любой группе(JR, +), JRGс (!С,имеем(2'::.+).+) - подгруппы.наимеиьшую подгруппу Н ={е}(и наибольшую подгруппу Н = С).Задача1,9.18.Группа, имеющая лишь конечное число подгрупп,конечна.Пусть а.-элемент группы С. Рассмотри", вGследующее подмножество:(а) = {а "I -пЕ2'::}(т.
е. совокупность всех целых степеней элементаЛемма])0.).1,9.19.(а) является коммутативной подгруппа!, группы С;2) 1(0.)1 = 0(0.)(т. е. число элементов в подгруппе (а.) равно поРЯДКУ элемента а).Доказательство.1)Дляm, nЕZ=n-n.Е (а).24ГлаваJ.Введение: основные алгебраические структурыТаким образом, для (о) выполнены условия предыдущей леммы, т. е(о)= {о." n1Еподгруппа группы С. Так какZ} -'т.наа=ато (а)-,n+пnН/.=u.u:коммутативная группа.2) Если 0(0.) =00, то(0.) = { ... ,o.-l,e,o., ... },при ЭТОМ В ряду целых степеней элемента а все элементы различны,т.
е.1(0.)1=0(0.)=П<(а){е, а, ... ,а"-1}Если же00.=00,то, как мы отметили ранее,иl(a)1 = nПри мер1.9.20.Если С =(а.)=Z{по.= О(а)и о. =1о. Е2,DтоZ} = 2;;::(все четные числа).Группа С называется циклической, если найдётся такой элемент(J.Е С, что(0.)= С, т. е. все элементы группы С являются (целыми)степенями этого элемента0., называемого в ЭТОМ случае циклическимобразующим группы С.
Еслическая группа изn0(0.) = П. < оо, ТО С = (а.) - цикли0(0.) = 00, то С = (0.)-элементов; если жебесконечная (счётпая') циклическая группа.ЗамечаниеСЯконечной1.9.21.некоммутативиаягруппаная группа не являетсяПримерыЛюбая циклическая группа С =или счетнойкоммутативног'не являетсяциклическойгруппой.циклической(0.)являетПоэтому любаяи любая несчётгруппой1.9.22.1) (Z, +) = (1)=(-1)(это показывает. что циклических образующих может быть много').1.9.25Группы2)Группа действительных чиселне является счетной.
по(IR, +)этому она не является циклической.3) Показать, что счётная группа (Q, +) рациональных чисел неявляется циклической.Пусть С и С'дЛЯ которого- группы. Напомним, что отображение [: сf(o.iJ) = I(o.).f(b)--+ С',для всех элементов о, Ь Е С, называется гомоморфизмом.1.9.23.
Пусть С = IR+ = {Т Е IR I т > О} с операцией(IR, +) с операцией сложения. Так как для отобраПри мерумножения, С' =жения ln: IR+ --+ IR имеем ln(a-b) =тоln -Упражнение+ln(iJ) для всех а., Ь Е IR+,Найти все гомоморфизмы1.9.24.[:где С = (а),11ln(o)гомоморфизм групп.= т,0(0.)С'=С --+ С',(Ь), О(Ь) =n(в частности, для тn. =12,= 15).Для гомоморфизмов[:С --+ С' определим:1ш, = {9' Е С' 19' = 1(9) для 9 Е С}(образ гомоморфизма Л;Kel'/ = {,у Е С 1 /(9)где е'= ,,'},- нейтральный элемент группы С' (ядро гомоморфизма Л.Упражнение1.9.25.В рассмотренных выше при мерах найти образ и ядро гомоморфизма.Задача1.9.26.
Доказать. что не существует сюръективного го(Q, +) --+ (Х. +)Указание. В (Q, +) уравнение nт = о имеет (и единственное)моморфизмарешение для любых п. ЕТеоремаС'-группы,[:С --+ С'-1.9.27еиN,11. ЕQ.(свойства гомоморфизма групп). ПУСТЬ С 11е'соответственно-гомоморфюм групп. Тогда:ихнейтральныеэяемснлы.26Глава1.Введение: основные алгебраические структуры1) /Н =,/;2) /(.,,-1)З) н' == U(;J:))-IДЛЯ всехт Е С;ImI - подгруппа группы С';4) если С = (о) - инклнческгя группа, то 1111.! = и(а.)) такжециклическая группа;6) Ко!' / - подгруппа группы С, при этом у-1 (Кег пу С:;: Ке1' / длявсех элементов у Е С.Доказательство.1) Так как ·и.= .f(e) = .f(e 2 ) = .f(e).f(e) =и.
2 , то "=е', т. е./(е) = е'.2) Так как Л:Е-1)1(х) = .f(.7:-1x) = .f(e) = е' и .f(.7:)I(.7:-1) == .f(:r::r-I ) = ле) = е', то /(х- 1 ) = и(х))-1З) Если 11'1 = п91) и 11; = f(g2)-элементы из Im.f, где91,92 Е С, тоЕсли11.' = .f(9)Итак, 1ш4)/Е 1т}', .'J Е С, то-подгруппа группы С'.Если С= (и)И1,' Е1ш}',1/ =пу),9Е С, то у= и", n Е Z,ипоэтому1,' = }'(у) = /(а")= и(а))".Итак , ГгпI = U(u.)) - цикличсская группа с образующим /(11).5) следует из 2).6) Если 11[,1'2 Е Н = Ке1' /, то {(111) = е', {(h. 2 ) = е'. Поэтому.1'(11.111'2) = /(11'1)/(11'2) = ,,' . ,,' = е', т. е. 1"11"2 Е Кег]'.Если 1,. Е Кег /, ТО J(/I.) = е', И поэтому }'(11.- 1) = (/(/1))-1 == (,,')-1 = е', Т.
е. 1,-1 Е KOI'}'. Таким образом, Кег'}' - подгруппагруппы С.1.9.27ГруппыЕслиЕ Нh.имеем=Кег 1, то/(11.) =е'. Для любого элемента .9 Е Сf(.9-111.g) = f(.9- 1)f(l1.)f(g) = f(g)-le'1(.9) = е'.Таким образом, .9-1 Кы' /9ЛеммаЕсли1.9.28.у: С' --> с"-<;;Кс1'fС.С;',для всех элементов 9 Е С.гомоморфизмы, то .чJ:С" -группы,G-->с"-[': С-->ОС'гомоморфизм.доказательство. Пусть а, Ь Е С. Тогда= g[J(oiJ)] = g[J(o)f(iJ)](яЛ(аЬ)= [уи(о))]Лемма1.9.29.Пусть С, С'-=[g(J(iJ))] =группы,[(уЛ(а)] [(уЛ(Ь)].J: G -->С'Огомоморфизм-групп. Тогда:1)f-инъекция в том и ТОЛЬКО в том случае, когда Кег1 = {е};2) / -бнек иня в том и только в том случае, когда Ке1'/ ={е},1т/ = С'Доказательство.
достаточно доказать1).Еслито, учитывая равенство 1(е) = е', видим, что Ке1'/ -инъекция,f= {е}. Пустьтеперь Kel'f = {е}. Если /(0.) = /(Ь) дЛЯ а, Ь Е С, то 1(а- 1 ь ) =I)/(iJ)= 1(a= [1(o.)]-I/(b) = е', т. е. a-1f; Е Ке1'/ = {е}. Поэтому0.-1" = е, т. е. о. = Ь. Итак, / - инъекция.ООпределениеf: G1.9.30.ПустьС,С'-группы.Отображение--> С' назовем изоморфизмом групп, если:1)i -2)f-Группыгомоморфизм;биекцияG и С' называются изоморфными, если существует [<акай-либо изоморфизмПримеры1.9.31.J:с --> С' (обозначение С", С').Следующиеотображения -групп:1) (IR+·)2) Z= ({,--> 2дС, п >-+Е IR I г > о}.·) ~ (IR, +);217..изоморфизмы28ГлаваВведение: основные алгебраические структуры1.Лемма 1.9.32.Если С, С', С" - группы, /: СС'.9: С' - С" - изоморфизмы, то.9/ и /-1 - изоморфизмы (см. лемму 122)Доказательство.а) По лемме1.9.29,.9/ - гомоморфизм.
Так "а[(.9}' и биекпия. тоизоморфизм..9}' -б) Мы знаем, что /-1 -биекция. Пусть 1u, г Е С'. Тогда 111 = /(х),z = /('У), где х. у Е С. Следовательно, 'Ш.о = Лх)Лу)Лху).Поэтому Г ( 11) z ) = /-1и(х:u)) = х:u = г 1('Ш)г ( z ) , т. е. г'гомоморфизм. Итак,Следствие/-1 -'изоморфизм.'ООтношение С ~ С' является отношением ЭК1.9.33.вивалентности на классе групп.Замечание1,9.34.Изоморфные группы обладают одинаковыми«алгебраическими- свойствами.Пример1.9.35. Если группы С и С' изоморфны и С - коммутативная группа, то С'-также коммутативная группа. Действительно, пусть-некоторый изоморфизм.
Если~-/: С/(а,), 'ШZ11)1.10.-> С'= /(Ь)=z,'ш Е С', тодля некоторых а" Ь Е С. Тогда/(а.)ЛЬ)=/(а,Ь)= /(1)0) =ЛЬ)Ла)= 11)ZОКольцаМножество Н с двумя бинарными операциями (сложениемумножением+и-) называется ассоциативным кольцом с единицей, если:l} относительно сложения (Н, -ь) - абелева (т. е.
коммутативная)группа;2)умножение-ный элементассоциативная операция. и существует нейтраль1(т. е. 1·у=r=у·1 для всехrЕR), называемыйединицей;З) сложение и умножение связаны законами дистрибитивности(адля всех а.{'. с+ Ь)с =Е Н.ас+ Ьс,с(а+ Ь)= са+ сЬ291.10. КольцаЕсли операция умножения коммутативна, то кольцо (Н,+,.)называется коммутативным КОЛЬЦОМ. Коммутативные кольца ЯВЛЯЮТся одним из главных объектов изучения в коммутативной алгебре иалгебраической геометрии.Замечанияi)1.10.1.Исследуются и неассоциативные кольца.
Например, если вместо ассоциативности2)умножение удовлетворяет тождествуЯкобиа(Ьс)для всех а; Ь , с ЕR+ Ь(са) + с(аЬ)аЬдля всех а, Ь Е2)= Ои= -Ьато такое кольцо называется кольцом Ли.R,Рассматриваются также и ассоциативные кольца без единицы.Например, чётные числаR= 22 являются ассоциативным коммутативным КОЛЬЦОМ без единицы.Примеры1.10.2(примеры ассоциативных колец).i) Кольцо (2, +,.) целых чисел: поля iQJ, 1ft.2)Кольцо непрерывных вещественных функций С[О,l] на отрезке [О,иу)(:с) =1] (для j, Ij Е С[О, г], .с Е [0,1]: (I}(;l;)y(;,)),3)КОЛЬЦО многочленов4)Кольцо вычетовIR:[:r;](2",+ 1j)(Х) = j(:l;) + y(:t),с действительными коэффициентами.+,.) помодулю П.М ы уже убедились.
что группа вычетовПО модулюС"+ С,nс операцией сложения= Сн ,=С,.,гдеk+ 1 = П'1 + т,является коммутативной группой (см. при мерО( .,. ( n - 1.1.9.4. 2)).30ГлаваВведение: основные алгебраические структурыJ.Определим операцию умножения, полагаяCk' С1 = Сы = С"'где kl=nч+ 8,О ~ я ~ п - 1.то k'= C k""= k+n'l1, l' = l+n'U, k'·[' = kl+n(k·u+u.l+n'l1u),Проверим корректность этой операции. Если СС1=Се,и поэтомуCk'l' = СЫ ·Так как(Ck Cl)Cm. = C(kl)m.СыCkC1 == Ck(lm.) = Ck(C1Cm.),C 1Ck,= CkC!,(С!> + С1)Сm.
= C(k'+I)m.С!С!>== Си, =(Zn' +, .)ТОС!>= Ckm.+I.m= CkC,n= С1Ст,является ассоциативным коммутативным КОЛЬЦОМс единицей С! (называемым кольцом вычетов по модулю(R, +,.)Свойства колец[.ный,(1.Так как (Н,+) -нейтральныйn).абелева группа, то: существует, и единственэлемент относительно сложения О; дЛЯ любогоЕ Л существует, и единственный, противоположный элемент(т. е. а+решен ие л' = а2.=(-а)-О); уравнение з:Ь = а+Ь+ (-Ь).Справедлив обобщённый закон ассоциативности для умножения, т. е. результат произведения длясомножителей не зависит от'(J.расстановки скобок; единичный элементный элемент (см.
теорему3.4.5.= с(о1-единственный нейтраль1.3.2).Проводя индукцию по n, убеждаемся в том, чтоТак как аО(0.1+ .. + аn)'}= а1};+ .. + (J.n.{J;Ь(u.[+ ... + а п )= Ьо.,+ ..=(а-Ь)с+ (-Ь))разности.+ lю".а(О+О) = аО+аО, то аО = О. Аналогично. ОаТак как аЬ+( -а)Ьлогично, а( -Ь)6-(}.= а имеет, и единственное,= (а+( -а))Ь = ОЬ = О, то(-а)Ь= -пЬ.=О.Ана= -аЬ. Поэтому (-0.)( -Ь) = -(а( -Ь)) = ._(-пЬ) = оЬ.= (о.
+ (-Ь))с = ас + (-Ь)с = ас - Ьс. с(о. - Ь) ==со.+ с(-Ь)= сп - сЬ, т. е. дистрибутивность для31Кольца1.10.Лемма1)(6U1IOМ Ньютона). Пусть1.10.3а1 Ь; П] (1.2, ...Е,0.8если о.ЬR-КОЛЬЦО с1,'II Е М.Тогда:R.= Ьа, 'Го(о -1- Ь)'" =LC,~o.kb"-knlгде=1;;'=0если о;о,; = 0,io; для всех2)'i. j.(0 . +1 0 2 + · ' + Os )1"1.то~n!-i1=~(i1!) ... (i.,1)01'где суммироваиие происходит ПО всем s-строчкам (ч , 'i2,""таким, чтоi1 + i 2+ ... + i sis )= n.Доказательство.1) Индукция по n С учётом равенства с; -1- c~-1k < n И применением пересгановочносги элементов о.=c~'ti дляи Ь и законадистрибутивности.2)Индукция по з:для в, то поs = 2-пункт1):если утверждение верно1):(Щ -1- ' ,.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
