А.А. Михалёв, А.В. Михалёв - Начала алгебры часть 1 (1108725), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Например, если--->R' -изоморфизм колец,Нполе, то Г{ также поле.Упражнение1.12.4.ЕслиR. Rле тогда и только тогда, когда вУпражнениеk+ 3&':1.13.f-->4k+ 6&':,коммутативное кольцо, тоОтображение1.12.5.R-понет идеалов, отличных от {О} и&':3является инъективным&':6,пригомоморфизмомR.которомколец.Кольцо многочленов от одной переменнойПусть К-проиэвольное поле.Под многочленом (ненулевым) от одной переменной х С коэффициентами из поля К будем понимать формальное выражение видаf(x) =0.0+ о.lХ -т- .
.. + o.",_lX",-1 + о.""с'"(иногда удобнее записывать эту сумму одночленов o.j;г,j в другом порядке: .1(",) = 0.",,,'"+ 0.",_I"л-1 + ... + щх + 0.0),а, Е К, 0.",f' 0-старший коэффициент (о.",,"'" - старший член многочлена л",j),Щ)свободный член,-n = deg/(1:) - степень HeHYJleBOrO- это .l'(х) = 0.0 = О).Мн Ог Оч.лена .1'(:1') (нулевой многочленМожно было вместо формальных выражений рассматривать счетн ые последовательности(0.0, щ,вкоторых почти все а;нулю0."" О, О,.(Т.
е. все,(нулевой многочлен-... ).а; Е К,кроме конечного числа) равныЭТО последовательность,в которойвсекомпоненты равны нулю).Дв« многочленаJ(x)н уСе) называются равными, если равны соответствующие коэффициенты при каждой степени;1.:"переменной .ь.Через [([:1:) обозначим множество всех многочленовфициентаминз поля К,j'(:1')С коэф1.13. 'Кольuо39многочленов от ОДНОЙ переменнойНа множестве К[:с] введём операции сложения и умножения, дляg(x) = Lbix;J('l;) = La,.x','=0полагаялх) +g(:r) =-i=ОLd;2:"I(o:)g(x) =гдеcli,=(l.-iLI,X',-i;?.О'I:;?'O+ b·i ,t'i=La~~bl·k+l=-iO~k,l~/Теоремажения1.13.1.Множество К[х] с операциями сложения и умнокоммутативное ассоциативное кольцо с единицей.-Доказательство.1)Так как при сложении складываются коэффициенты при однойстепениx i , т.
е. d,. = ai+b;, то ясно, что К[х] с операцией сложениякоммутативная группа.2)Учитывая определение коэффициентаt; =Lakbl,k+l=-iO~k,l~-iзаключаем, что операция умножения коммутативна.Пусть теперь11.(x) =L с.х',-i,;?.ОТогда. подсчитывая КОЭффициенты при степени о" в(I(O')g(.T))h(.r) иВ л",) (g ( :l' ) Ii.( ,,; ) ) , В'ЩИМ, чтоL (Lu+rn=i.0.1/)/)('"/;;+1=11.Lk+l+m=tЩЬ1(m= L/;;+'v=-i01(Lb1cm).'+m=uИтак. мы проверили ассопиативность умножения многочленов.Ясно, ЧТО I(:т:) =для операции1 (т. е. ао = 1) является нейтральным элементомумножения.40иГлаваВведение: основные алгебраические структуры1.3) Подсчитывая коэффициенты/(:/:)11,(":) + 9(:[,)1'1,(:"), видим, чтоL+ !)k)Ч(OkL=k+l=-i.при степени :Е' В и(х)Ьuа,k+l=iт, е.
установлен закон дистрибутивности вЗамечаниеL'Ч,Сl +/;;+1=;.+ 9(Т) )1),(х)1.13.2. Отображение Ка. с-+ /(:с) = 0.0 =оK[:l:J.К[:е] , для которого-tn,является инъективным гомоморфизмом колец (т. е. получили вложение поля J( в кольцо многочленов К[х]).Лемма1.13.3. Пусть к -поле, j'(.7:),9(X) Е К[х], о#j(з:),0#1)(":)' Тогдаа) deg(f(:r)+ 9(0:)) (;max(deg J(x), degg(o:)).б) deg(J(:c),g(:E)) = degJ(x)+ deg,g(T).Доказательство.а) Еслиi> max(degj(o:),degg(x)), то С; = а, + Ь; = О= 'П, deg9(:E) = я и i > п.
+ -', тоб) Если с!еg.f(з:)L,1; =o.kIJl =о.~~+l=';O~k,l~iПри этом с!",+., = оnЬ"#о (поскольку а. nнет делителей нуля). Итак,ент многочлена/(.7:)9(:[') -d n +s == deg /(:1)Следствие##о#О, Ь"-g(J;).о и в поле Кстарший коэффициявляется произведениемфициентов многочленов лх) И= n +"а.",Ь"Таким образом,старших коэфdeg(f(,c)y(:c)) =+ degy(:I:).1.13.4.Пусть КО-поле. В кольие многочленов К[х:]нет делителей нуля.Доказательство.0."#о-rlegJ(T) =тоа"Ь"1(7:)g(:1:)старший8,Ь.,#Как мы видели, если /(:т:)коэффициентО-старший# 0- старший#Омногочленакоэффициент#О, cleg I(:r;) =f(:r:), 9(.7:) #многочленап.,О.у(о:) ,коэффициент многочлена 1'(:I:)У(:Г), т.е.О41Копьио многочленов ОТ ОДНОЙ гтеременной1.13.Следствие1.13.5.
Пусть К - поле. В кольце К[:Е] (как в любомкольце без делителей нуля) можно сокращать на ненулевой многочлен, т. е. из.f(:r)g(x)= .f(X)/1(X), .f(,:) f=Следствие 1.13.6. Пусть К - поле. U(К[х])U(R) -группа обратимых элементов кольигДоказательство. Если Оf= 11(Т).О, следует, что л(х)К\{О} (здесьR).а Е К, то а- 1 Е К С::; К[х], т. е.() Е U(К[т]).Если Л:1:)Л(Х)= 1, то лх) f О, л(х) f О, deg.f(x) + degg(x) = О,= О = degg(x), т. е. /(1') = ао f О, ао Е К.Ои поэтому cleg /(х)Упражнение(а.х1.13.7.Произведение двух линейных многочленов+ Ь)(сх + d)= а.сх2+ (a.d + Ьс)х + bd,требующее четырех умножении (ас,(асl+ Ьс),a.d,Ьс, М) и одного сложенияможет быть вычислено с помощью трёх умножений и четырёх сложений ивычитаний:а.с,М,,,=(а+ь)(с+а),a.d+bc=1t-ac-bd.А.
А. Карацуба использовал это соображение ДJIЯ построения быстрых алгоритмов умножения чисел имногочленов.Теорема 1.13.8 (алгоритм деления с остатком в кольце многочленов). Для любых многочленов/(:1:), у(х)Е К[з:J, у(:!.)fО, существуют (и притом единственные) многочлены у(х), т(х) Е К[:т] такие,что:либо '/'(:т:)2)= О,либо т(:с)fДоказательство-алгоритмО,degI(:C)<dеgл(:с).(деление МногочленовПустьЛ:с) = апх"л(:с) = Ь.,.Т"Если"< -', то+ ... ++ аО·+.
,. + bj:c + 60,утверждениелх)Qj;[1) очевидно'= у(:);) . 0+ 1(1)ь"fО.столбиком)42ГлаваПустьn ;;, вf '(Х ) --ь·т;1.Введение: основные алгебраические струптурыТогда:о.n. n-з ,9·2:(' ')_-j' 1 (Х.) -_al,nl,T'Пl-ь.Sfl(X) - о[ь,n, х'Щ-SУ(,г)= f2(,r) = 02.,ч;J,П2-ь.sХf 'k-2 ()а"-2.n.,._2--ь-з--Х-n.,._2-S9 (х.) -_ j' /;;-1 ( Х ) -_.. "-1,.-1ak-l,nk_1 Хs :::;;/k-l(Х) - аk-~~Щ_l ХПk-1-Sg(Х)=j,,(X) = аk,щхn' k<''-''/;;-1-+.'(/,k-2,+"{~:(~8~~kИ;~nk_l,Складывая все эти равенства и сокращая, получаемj '(x ) _ (ab"sn' x n- s +.т...
-+ Щ-l.п,._I,Ьх Пk_ГS) 9 (.),[; _- j' k (Х ) ,,';е./(.1:) ='1(1:)и(.т.)+ т(х),гдеч(х) = ~хn-з-+ ... -+Ь,r(:r) = Ik(x),Еслиf(:1:)т(х)=ОUk-l,nk_l x'I1.A,-t-.'i)Ьзилиdeg(T(X)) <,= degU(;J,),= Y(:I:)'](:I:)+'r(1;) = Y(:l:)'l'(:C) +г' (.1:) , приэтом т(х),т'(,,:)или равны нулю, или имеют степень, меньшую чем deg.q(:T:) = 8, ТО- q'(x) 'f о, то получаем противоречие, ПОСКОЛЬКУ степень> deg'g(x), а многочлен в правой части или нулевой, илистепень < degg(:<:). Итак, '1(:1;) = '/(J;), И поэтому г'(:J;) = г (.'J:) ,Если '1(Х)левой частиегоО/.13.43Кольцо многочленов от одной переменнойЗамечание= IQJсIR =1.13.9.Если Кподполе поля К' (например, К =-J{I).
](х),У(:1:) Е К[1:]пт) = g(:J:)'1(r) + г(т)J{1[,r], то '1(х), 1'(Х) Е К['>е].<:; K'[TJ,деление с остатком в кольце многочленов1.13.10. Пусть п:е), 'Р(:Е) Е K[:cJ, 'Р(:") '1 о Будем/(2') делится на 'P(J,), если ](:1:) = 'P(:C)'1(;J,)(т. е. остаток "('1:) при делении на 'P(:l') равен нулю).Определениеговорить, что многочленЗамечаниеЕ1.13.11.
Совокупность 'Р(т)К[.Т)={'Р(.Т)/(1')I {(.Т)ЕК[1;]} всех многочленов, делящихся на 'Р(,С), является идеаломв кольцеK[j,j(называемым главным идеалом, порождённым 'Р(:е)).Упражнениемногочленов1.13.12.J([x]ПустьК-поле.Покажите.чтокольцоявляется коммутативным кольцом главных идеалов.Отметим ряд свойств делимости многочленов.Леммато](1;)1.13.13.делится наЕсли /(х) делится на у(х), у(:с) делится на ',(х),1,(:);).Доказательство.=11(:I;)ij(;r,),тоДействительно,если.f(1;)=Y(T)q(:r), .'1(:ё)=ОI(;r,) = I'(;J:)(J(:J:)(](;J:).ЛеммаЛ;г,)1.13.14.
Если /(:1:) и .'/(:1;) делятся на II.(T), то Лог) +.'1(:1'),- У(:Т) делятся на 11.(1').доказательство.= 11.(:1:)"](1;),ЛеммаТО /(х)Действительно,± У(:Е) =Iф)('l(Х:)если /(Т)= 1'.(T)'1(;T),.'1(х)± '](;1:))=О1.13.15.Если многочлен /(1:)/(:r)g(x) делится на 11 (т).делитсяна1'(2:).у(;2:) Е К[х], тоДоказательство.[(1)9(1:)=ЛеммаДействительно,1.13.16.Доказательство.113]4п:е)1/(1:)"(1').ЕслиТОD/1 (:т;). ..'Ik,(Т) Е К[т], то /1(":).'11(;1:)несли11,(:I)(q(:I;)Y(:E))А(т) делятся на+ ... + ]"(.")9"(":)Действительно,11(:,,), .'11(1,) ..11.(:,,).лепнгся 118это вытекаетиз лемм1.13.]5О44ГлаваЛемма1.13.17.Если О1.#Введение: основные г.т ебренчгскне стру]{турыс Е К, то любой многочлен лх) Е К[х]делится на с.Доказательство.
Действительно, /(1;) = c(c-1.f(x)).ЛеммадеmlТСЯ на1,13,18,Если ((т) делится на у(х) и Ос Е К, то Л·Т)c<p(J;).Доказательство.лх) =#оДействительно,еслиЛ;с)ТО<p(.7;)q(x) ,(c:p(x))(c-1q(;,))Лемма1.13.19.ОМногочлены вида сЛх), О#с Е И, и ТОЛЬКО ониявляются делителями многочлена Л:Г), имеющими степеньЛемма1.13.20.Многочлен Л.Т) делится на -ч(х) и -ч(х) делитсяна лх) тогда и только тогда, когда -чсс)Лемма1.13.21.deg.f(x).Многочлены.f(x)и= c.f(x),(J(;c),ОО##с Е К.с Е И, обладаютодинаковым запасом делителей в кольце К[х].Определение1.13.22.Пусть.f(;c), У(:1:) Е К[4 Многочлен <I(x) ЕЕ К[х] называется наибольшим общим делителем (НаД) многочленов j'(x) и g(:z,), если:1) <I(х) - общий делитель многочленов .f(:r)= <l(:I:)q(J'),многочленОбозначение:(ICr:)Замечаниеc/(x) -cl(x)11 -ч(х)(т.
е. Л:г)<l(.r)q(x));для любого общего делителя2)что-ч(т) =делигся наcl'(:r)cl'(x).многочленов.f(,;)и -ч(,;)= НОД(f(:J:),g(J:)) = (f(J:),g(:r;)).1.13.23.Из2) следует, что dcg<l(x) ~ c1cg(J'(2:), т. е.общий делитель наибольшей степени.Правда, нам ещёнадо установить существование НаД в нашем смысле.Теорема1.13.24(алгоритм Евклида).
для любых ЛХ),9(2') ЕЕ к[",]:1)существует наибольший общий делитель (I(:г,) многочленови 9(:1');j'(.,,)45Кольuо многочленов от одной переменной1.13.НОд(J(Х).,(,i(.r)) находится по проuедуре последователь2) d(,r) =ного деления, восходящей к Ееклнлу;З) нэнболыинй делитель d(x) определён однозначно с точностьюдо ненулевой конслгнлы ОДоказательство,iс Е К,Рассмотрим П[JОllедуру Евклида:1), 2)+ TJ(x),g(x) =Гl(Х)Ч2(Х) + "'2 (х),degT2(x)< degg(x);< deg'rl(x);тl(х) = Г2(З')QЗ(Х) +Тз(Х),dеgгз(г)< degT2(X);л:с) =g(x)qJ(x)degTl(x)Г'k_З(З;) = Гk_2(З;)fJk_l(Х)+Г'k_l(З;),'rk_2(:1;)='fk-l (X)fJk (х;) +rkJr),'rk_l(:1;)=Tk(.r)Qk+l(x),dеgГ'k_l(З;)< deg"'k_2(X);< deg'tk_l(X);deg'rk(;J:)а) Поднимаясь последовательно вверх, мы видим, чтощий делитель многочленов.'1(1;)иTk(X) -обj(:J:),б) Если d'(x) - общий делитель многочленов 1(з;) и у(х), то,опускаясь последовательномногочленавниз,З) Если (1(х:) ивидим, ЧТОd'(x) -делительдва наибольших общих делителя, то ониd'(,c) -делятся друг на друга, и поэтомучто еслимыd(x),d'(:1:)=cd(T),наибольший общий делитель и Оd(T) -iОiс Е Р.
Ясно,с Е Р, ТОcd(T)-также наибольший общий делитель,Теорема1.13.25О(о выражении наибольшего общего делителя через исходные многочлены). Если/(T),9(:r) Е К[т] и d(T) == ноди(Т),9(Х)), то существуют многочлены и(х),и(т) Е К[х] такие.ЧТО(1(:1')(если при этом= 1(:С)1I.(1')deg.f(T) >О,О, ТО можно считать, чтоdegH(J:)< dcgY(J).degu(x)< clcg лх):это позволяет искать многочленыэффициентами),+ 9(.1)/1(:1:)clcgY(:J:) >.". (:J:) , I!(Г) с неопрелепённымн ко[r/<:JBa J. Введение: основные алгебраические структурыДоканотельство.
Существование таких многочленов u(х), 'О(:Е)следует из алгоритма Евклида нахождения,1(:1;) = Tk(:r). Мы выраrk-l(x), потом,жаем последовательно ТА'СТ) сначала через 'ГА-2(Х) иподставляя выражение Tk-l(:r:) через ТА,_З(Х) и ТА-2(Х), через ·I'k_з(.7:)и "'k-2(:/') Н, завершая подъём, через9(:[,) и 1(:1:).11.(,,) И ,.'("), пусть, например, clegu(:r) )) degU(T), то '/1.(:1') = U(:';)(l(:r) + Т(Х), И поэтому ,1(x) = Л:С)Т(Х) ++ iJ(:I') [11(:")-1- J'(:г.)q(;г)].
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
