Методичка (4) (1108721), страница 7
Текст из файла (страница 7)
fUNKCII y = ax I y = log a x (0 < a 6= 1) WZAIMNOOBRATNYE, U NIH D[ax ] = E[loga x] = ( 1; +1) I E[ax] = D[loga x] == (0; +1), OTMETIM, ^TO KAVDAQ IZ NIH NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQQWLQETSQ STROGO MONOTONNOJ.p20 . fUNKCII y = x2n 1 I y = x1=(2n 1) = 2n 1 x (n 2 N) WZAIMNOOBRATNYE, U NIH D[x2n 1] = E[x1=(2n 1)] = ( 1; +1) I E[x2n 1] =82= D[x1=(2n 1)] = (1; +1), OTMETIM, ^TO KAVDAQ IZ NIH NA WSEJ SWOEJOBLASTI OPREDELENIQ QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ.30 .
fUNKCIQ y = x2n (n 2 N) NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ |( 1; +1) NE IMEET OBRATNOJ FUNKCII, POSKOLXKU 8x0 2 R : x0 6= 0 )( x0 )2n = (x0)2n = y0 > 0, TO ESTX NET WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQMEVDU D[x2n] | PROMEVUTKA ( 1; +1) I E[x2n] | PROMEVUTKA [ 0; +1).pRI \TOM SLEDUET OTMETITX, ^TO NA ( 1; +1) \TA FUNKCIQ NE QWLQETSQMONOTONNOJ.oDNAKO, ESLI RASSMATRIWATX FUNKCI@ y = x2n NA KAVDOM IZ PROMEVUTKOW ( 1; 0 ] I [ 0; +1) W OTDELXNOSTI (PRI \TOM OBLASTX ZNA^ENIJ,PRINIMAEMOJ \TOJ FUNKCIEJ | [ 0; +1)), TO ONA UVE BUDET IMETX OBRATNU@ FUNKCI@: W PERWOM SLU^AE \TO y = x1=2n (( 1; 0 ] [ 0; +1)), PRI\TOM KAVDAQ IZ \TIH DWUH WZAIMNO OBRATNYH FUNKCIJ UBYWAET, A WO WTOROMSLU^AE \TO y = x1=2n ([ 0; +1) [ 0; +1)), PRI \TOM KAVDAQ IZ \TIH DWUHWZAIMNO OBRATNYH FUNKCIJ WOZRASTAET.zAME^ANIE.
rASSMOTRENNYJ PRIMER POKAZYWAET SU]ESTWENNOSTX OGOWORKI W OPREDELENII OBRATNOJ FUNKCII ("BYTX MOVET, ^ASTX EGO").x 2 Q;40 . fUNKCIQ y = f(x) = x;x;ESLITAKVE IMEETESLI x 2 R n Qy 2 Q;OBRATNU@ FUNKCI@ x = f 1 (y) = y;y;ESLIESLI y 2 R n Q:oTMETIM, ^TO W \TOM SLU^AE PO WIDU FUNKCIQ y = f(x) I OBRATNAQ EJ FUNKCIQ x = f 1 (y) SOWPADA@T (f(x) = f 1 (x), POSLEDNEE WYPOLNQETSQ TOGDA ITOLXKO TOGDA, KOGDA f(f(x)) = x), KAVDAQ IZ NIH NE QWLQETSQ MONOTONNOJ,OSU]ESTWLQQ WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE MEVDU MNOVESTWAMI WSEHDEJSTWITELXNYH ^ISEL R.dOKAVEM SLEDU@]IE TEOREMY.tEOREMA 1. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NA NEKOTOROM MNOVESTWE X 0 D[f]QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ (UBYWA@]EJ). tOGDA NA MNOVESTWE Y 0 SOOTWETSTWU@]IH ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII (Y 0 = fy 2 R : 9 x 2 X 0 ; y = f(x)g) OPREDELENA OBRATNAQ EJ FUNKCIQ x = f 1 (y), KOTORAQ TAKVE QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ(UBYWA@]EJ).dOKAZATELXSTWO.
sOGLASNO OPREDELENI@ WOZRASTA@]IH I UBYWA@]IHFUKNCIJ DLQ L@BYH x1 6= x2 (PRI \TOM ILI x1 < x2 , ILI x1 > x2) f(x1 ) 6=6= f(x2 ), SLEDOWATELXNO NA MNOVESTWE Y 0 MOVNO OPREDELITX FUNKCI@, STAWQW SOOTWETSTWIE KAVDOMU y 2 Y 0 TO EDINSTWENNOE x 2 X 0 , PRI KOTOROM y == f(x), TEM SAMYM SU]ESTWOWANIE OBRATNOJ FUNKCII x = f 1 (y) USTANOWLENO.
dOKAVEM EE WOZRASTANIE (UBYWANIE), TO ESTX ^TO DLQ L@BYH y1 ; y2 2 Y 0TAKIH, ^TO y1 < y2 WYPOLNQETSQ NERAWENSTWO x1 = f 1 (y1 ) < (>)f 1 (y2 ) =83= x2. pREDPOLOVIM PROTIWNOE, ^TO DLQ NEKOTOROJ PARY y10 ; y20 2 Y 0 TAKIH,^TO y10 < y20 TEM NE MENEE x01 = f 1 (y10 ) > (6)f 1 (y20 ) = x02 , TOGDA W SILUWOZRASTANIQ (UBYWANIQ) FUNKCII y = f(x) POLU^AEM, ^TO y10 = f(x01 ) >(>)f(x02 ) = y20 , TO ESTX W L@BOM SLU^AE y10 > y20 , PRI[LI K PROTIWORE^I@ SUSLOWIEM WYBORA y10 < y20 , KOTOROE DOKAZYWAET TEOREMU.zAME^ANIE 1.
pRIWEDENNYE WY[E PRIMERY 30 I 40 POKAZYWA@T, ^TO USLOWIE STROGOJ MONOTONNOSTI QWLQETSQ SU]ESTWENNYM DLQ SU]ESTWOWANIQ OBRATNOJ FUNKCII, ODNAKO ONO QWLQETSQ LI[X DOSTATO^NYM I NE QWLQETSQNEOBHODIMYM DLQ EE SU]ESTWOWANIQ.zAME^ANIE 2. nIVE MY DOKAVEM TAKVE I TEOREMU O STROGOJ WYPUKLOSTIOBRATNOJ FUNKCII.tEOREMA 2. gRAFIKI WZAIMNO OBRATNYH FUNKCIJ y = f(x) I y = f 1 (x)SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO PRQMOJ | GRAFIKA FUNKCII y = x (\TA PRQMAQ QWLQETSQ BISSEKTRISOJ PRQMYH UGLOW PERWOJ I TRETXEJ ^ETWERTEJ NAKOORDINATNOJ PLOSKOSTI Oxy).RIS. 2.9dOKAZATELXSTWO. sM. RIS.
2.9. dLQ UPRO]ENIQ RASSUVDENIJ BUDEM S^ITATX FUNKCI@ y = f(x) OPREDELENNOJ NA TAKOM MNOVESTWE X, ^TO ONA IMEETOBRATNU@ FUNKCI@ y = f 1 (x), OPREDELENNU@ NA MNOVESTWE Y | OBLASTI IZMENENIQ FUNKCII y = f(x). gRAFIK FUNKCII y = f(x) | MNOVESTWOWSEH TO^EK NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI Oxy S KOORDINATAMI (x; f(x)), GDEx | PROIZWOLXNOE ^ISLO IZ MNOVESTWA X. pOKAVEM, ^TO 8x 2 X TO^KAM 0 (f(x); x) SIMMETRI^NA TO^KE M(x; f(x)) OTNOSITELXNO PRQMOJ y = x.gmt P \TOJ PRQMOJ IMEET WID P (z; z), GDE z | PROIZWOLXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO. kAK IZWESTNO, RASSTOQNIE OT TO^KI DO PRQMOJ ESTX DLINAPERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ \TOJ TO^KI K UKAZANNOJ PRQMOJ, TO ESTXKRAT^AJ[EE (MINIMALXNOE) IZ WSEWOZMOVNYH RASSTOQNIJ OT \TOJ TO^KI DOTO^EK PRQMOJ.
w SLU^AE TO^KI M(x; f(x)) EE RASSTOQNIE DO TO^KI P (z; z)WY^ISLQETSQpPO FORMULEp(M; P ) = (x z)2 + (f(x) z)2 = (f(x) z)2 + (x z)2 = (M 0 ; P ),SLEDOWATELXNO, MINIMALXNYE IZ WSEH RASSTOQNIJ OT TO^EK M I M 0 DO TO^EKPRQMOJ y = x RAWNY I TAK KAK848z 2 R :(x z)2 + (f(x) z)2 = 2z 2 2(x + f(x))z + x2 + (f(x))2 == 2(z (x + f(x))=2)2 + (x f(x))2 =2 > 0, TO ONI DOSTIGA@TSQ PRI z == z0 = (x+ f(x))=2.
tAKIM OBRAZOM, TO^KI M(x; f(x)) I M 0 (f(x); x) RASPOLOVENY NA ODNOM PERPENDIKULQRE K PRQMOJ y = x, PROHODQ]EM ^EREZ TO^KUP0(z0 ; z0) NA RAWNOM RASSTOQNII OT NEE, PRI^EM PRI f(x) 6= x , M 6 M 0 |PO RAZNYE STORONY OT NEE, ^TO OZNA^AET IH SIMMETRI^NOSTX OTNOSITELXNOPRQMOJ y = x. gRAFIK FUNKCII y = f 1 (x) | MNOVESTWO WSEH TO^EK NA KOORDINATNOJ PLOSKOSTI Oxy S KOORDINATAMI (x; f 1(x)), GDE x | PROIZWOLXNOE ^ISLO IZ MNOVESTWA Y . tAK KAK y = f(x) , x = f 1 (y), TO MNOVESTWOTO^EK M 0 (f(x); x) KAK RAZ I ESTX MNOVESTWO TO^EK M 0 (y; f 1 (y)), SLEDOWATELXNO, PEREOBOZNA^AQ y NA x, MY I POLU^AEM SPRAWEDLIWOSTX UTWERVDENIQTEOREMY.tEOREMY O WYPUKLOSTI OBRATNYH FUNKCIJdLQ ISSLEDOWANIQ WOPROSA O WYPUKLOSTI STEPENNYH FUNKCIJ x PRI 2 R I OBRATNYH TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ DOKAVEM TEOREMY.RIS.
2.10 ARIS. 2.10 BtEOREMA 3. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NA NEKOTOROM MNOVESTWE X 0 D[f] QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ I STROGO WYPUKLOJ WWERH (WNIZ). tOGDA NAMNOVESTWE Y 0 SOOTWETSTWU@]IH ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII (Y 0 = fy 2 R :9 x 2 X 0 ; y = f(x)g) OPREDELENA OBRATNAQ EJ FUNKCIQ x = f 1 (y), KOTORAQTAKVE QWLQETSQ WOZRASTA@]EJ I STROGO WYPUKLOJ WNIZ (WWERH).dOKAZATELXSTWO. sM. RIS. 2.10 A. sU]ESTWOWANIE I WOZRASTANIE OBRATNOJFUNKCII DOKAZANO WY[E, W TEOREME 1 NA STR. 83 | 84. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE y1 ; y2 2 Y 0 TAKIE, ^TO y1 +2 y2 2 Y 0 , SRAWNIWAQ ZNA^ENIQ OBRATNOJFUNKCII W POLUSUMME ZNA^ENIJ y1 I y2 S POLUSUMMOJ EE ZNA^ENIJ W y1 I y2 ,S U^ETOM WOZRASTANIQ FUNKCII y = f(x), POLU^IM:y1 + y2 _ f 1 (y1 ) + f 1 (y2 ) ,2211_yf(y(y1) + f2)1 + y21f,,f f22f185y1 + y2 _ f x1 + x2 , f(x1 ) + f(x2 ) _ f x1 + x2 :,2222tAK KAK FUNKCIQ y = f(x) STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ), TO POSLEDNIJZNAK SRAWNENIQ " _ " NADO ZAMENITX NA ZNAK " < "(" > ") I MY POLU^AEMyf 1 (y1 ) + f 1 (y2 ) ,1 + y21f<(>)22^TO I OZNA^AET STROGU@ WYPUKLOSTX WNIZ (WWERH) OBRATNOJ FUNKCIIx = f 1 (y) NA MNOVESTWE Y 0 .
tEOREMA 3 DOKAZANA.tEOREMA 4. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) NA NEKOTOROM MNOVESTWE X 0 D[f]QWLQETSQ UBYWA@]EJ I STROGO WYPUKLOJ WWERH (WNIZ). tOGDA NA MNOVESTWEY 0 SOOTWETSTWU@]IH ZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII (Y 0 = fy 2 R : 9 x 2 X 0 ;y = f(x)g) OPREDELENA OBRATNAQ EJ FUNKCIQ x = f 1 (y), KOTORAQ TAKVEQWLQETSQ UBYWA@]EJ I TAKVE STROGO WYPUKLOJ WWERH (WNIZ).dOKAZATELXSTWO. sM. RIS. 2.10 B. sU]ESTWOWANIE I UBYWANIE OBRATNOJFUNKCII DOKAZANO WY[E, W TEOREME 1 NA STR. 83 | 84. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE y1 ; y2 2 Y 0 TAKIE, ^TO y1 +2 y2 2 Y 0 , SRAWNIWAQ ZNA^ENIQ OBRATNOJFUNKCII W POLUSUMME ZNA^ENIJ y1 I y2 S POLUSUMMOJ EE ZNA^ENIJ W y1 I y2 ,S U^ETOM UBYWANIQ FUNKCII y = f(x), POLU^IM:_ f 1 (y ) + f 1 (y )12f 1 y1 +2 y2,2f 1 (y1 ) + f 1 (y2 ) _ f f 1 y1 + y2 ,,f22__x1 + x2y1 + y2 , f x1 + x2f(x1 ) + f(x2 ) .,f2222tAK KAK FUNKCIQ y = f(x) STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ), TO POSLEDNIJZNAK SRAWNENIQ " _ " NADO ZAMENITX NA ZNAK " > "(" < ") I MY POLU^AEM11f 1 y1 +2 y2 > (<) f (y1 ) +2 f (y2 ) ,^TO I OZNA^AET STROGU@ WYPUKLOSTX WWERH (WNIZ) OBRATNOJ FUNKCIIx = f 1 (y) NA MNOVESTWE Y 0 .
tEOREMA 4 DOKAZANA.wWEDEM TEPERX OBRATNYE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII, ISSLEDUEM IHSWOJSTWA.2:12. sWOJSTWA OBRATNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCIIy = arcsin x I EE GRAFIKrASSMOTRIM FUNKCI@ y = sin x, TAK KAK ONA PRINIMAET L@BOE SWOE ZNA86^ENIE W BES^ISLENNOM MNOVESTWE ZNA^ENIJ SWOEGO ARGUMENTA, TO NA WSEJSWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ ONA NE IMEET OBRATNOJ FUNKCII, ODNAKO RASSMATRIWAQ \TU FUNKCI@ LI[X DLQ ZNA^ENIJ ARGUMENTA x 2 [ =2; =2],GDE ONA WOZRASTAET I PRINIMAET WSE ZNA^ENIQ NA OTREZKE [ 1; 1], MY W SILUTEOREMY 1 POLU^IM, ^TO PRI \TIH USLOWIQH ONA IMEET OBRATNU@ FUNKCI@x = sin 1 y = arcsin y (OPREDELENIE ARKSINUSA ^ISLA SM. WY[E, W P.
2:5).mENQQ OBOZNA^ENIQ x NA y, A y NA x, MY POLU^AEM SLEDU@]IE SWOJSTWAFUNKCII y = arcsin x:I. D[arcsin] = [h 1; 1] (D[arcsin]= E[sin]).i(E[arcsin] = D[sin], POSKOLXKU FUNKCIQ SINUSII. E[arcsin] = 2 ; 2RASSMATRIWAETSQ NA UKAZANNOM OTREZKE).III. iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TO FUNKCIQ arcsin x OGRANI^ENA NASWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IV. iZ REZULXTATOW P.
II POLU^AEM, ^TOmin arcsin x = 2 = arcsin( 1); maxarcsin x = 2 = arcsin 1.V. y = arcsin x | NE^ETNAQ FUNKCIQ.dLQ DOKAZATELXSTWA OTMETIM, ^TO POSKOLXKU D[arcsin] SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO TO^KI x0 = 0, I POSKOLXKU PRI L@BOM x 2 [ 1; 1] arcsin( x) Iarcsin x PRINIMA@T ZNA^ENIQ NA OTREZKE [ =2; =2], NA KOTOROM FUNKCIQ SINUS WOZRASTAET, TO IZ RAWENSTW (W SILU NE^ETNOSTI FUNKCII SINUS)sin(arcsin( x)) = x I sin( arcsin x) = sin(arcsin x) = x I WYTEKAET,^TO 8x 2 [ 1; 1] arcsin( x) = arcsin x.VI. fUNKCIQ y = arcsin x | NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.|TOT FAKT WYTEKAET HOTQ BY IZ TOGO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ \TOJFUNKCII OGRANI^ENA I SNIZU, I SWERHU (^ISLAMI =2 I =2), ^TO NE SOOTWETSTWUET WWEDENNOMU OPREDELENI@ PERIODI^ESKOJ FUNKCII.VII. arcsin x = 0 , x = 0, arcsin x < 0 NA [ 1; 0) I arcsin x > 0 NA (0; 1].|TI FAKTY SLEDU@T IZ OPREDELENIQ ARKSINUSA ^ISLA 0 I WOZRASTANIQFUNKCII y = arcsin x NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (OTREZKE [ 1; 1]).VIII.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
