Методичка (4) (1108721), страница 5
Текст из файла (страница 5)
P. VI) DOKAZYWA@TSQ RAWENSTWA sin( ) = sin ; cos( ) = cos UVE DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO PUTEM EGO PREDSTAWLENIQ W WIDE = 0 +2n; n 2 Z; < 0 6 I ISPOLXZOWANIQ TOGO, ^TO \TI RAWENSTWA DOKAZANY DLQ 0 SLEDU@]IM OBRAZOM:sin( ) = sin( 0 2n) = sin( 0) = sin 0 = sin(0 + 2n) = sin ,cos( ) = cos( 0 2n) = cos( 0 ) = cos 0 = cos(0 + 2n) = cos .VI. 8 2 R; n 2 Z : sin( + 2n) = sin ; cos( + 2n) = cos .|TI RAWENSTWA WYTEKA@T IZ OPREDELENIJ SINUSA I KOSINUSA S POMO]X@OKRUVNOSTI I TOGO, ^TO UGLAM aom S MERAMI I +2n OTWE^AET ODNA I TAVE TO^KA M M(x; y) NA EDINI^NOJ OKRUVNOSTI.
tAKIM OBRAZOM, FUNKCIISINUS I KOSINUS | PERIODI^ESKIE S PERIODAMI 2n; n = 1; 2; ::: .2 | OSNOWNOJ PERIOD \TIH FUNKCIJ. |TO DOKAZYWAETSQ NA OSNOWE REZULXTATOW P. VIII S ISPOLXZOWANIEM REZULXTATOW UTWERVDENIQ 4, DOKAZANNOGO W WWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ". pRI \TOM W SLU^AE FUNKCIIsin W KA^ESTWE c, FIGURIRU@]EGO W \TOM UTWERVDENII, BERETSQ =2, A WKA^ESTWE d BERETSQ 3=2, W SLU^AE FUNKCII cos W KA^ESTWE c BERETSQ 0, AW KA^ESTWE d BERETSQ 2.nA OSNOWE \TOGO FAKTA, PERIODI^NOSTI \TIH FUNKCIJ S PERIODAMI 2nI UTWERVDENIQ 3, DOKAZANNOGO W WWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ",POLU^AEM, ^TO NIKAKIH DRUGIH PERIODOW, KROME 2n, FUNKCII sin x I cos xNE IME@T.VII.
sin = 0 () = n 8n 2 Z, TAK KAK UGLAM S \TIMI MERAMI NAEDINI^NOJ OKRUVNOSTI OTWE^A@T TO^KI A ILI C S NULEWYMI ORDINATAMI.cos = 0 () = =2+n 8n 2 Z, TAK KAK UGLAM S \TIMI MERAMI NAEDINI^NOJ OKRUVNOSTI OTWE^A@T TO^KI B ILI D S NULEWYMI ABSCISSAMI.6 * eSLI MY IMEEM NAPRAWLENNYJ OTREZOK, PARALLELXNYJ KAKOJ-LIBO ^ISLOWOJ OSIILI LEVA]IJ NA NEJ, TO, PO OPREDELENI@, EGO WELI^INA RAWNA EGO DLINE (MINUS EGODLINE), ESLI NAPRAWLENIE \TOGO OTREZKA SOWPADAET S POLOVITELXNYM (OTRICATELXNYM)NAPRAWLENIEM UKAZANNOJ ^ISLOWOJ OSI.72sin > 0 () 2n < < + 2n 8n 2 Z, TAK KAK UGLY S TAKIMI MERAMI OKAN^IWA@TSQ W I ILI II KOORDINATNYH ^ETWERTQH, ILI NA POLOVITELXNOJ ^ASTI OSI ORDINAT, GDE SOOTWETSTWU@]AQ ORDINATA y, FIGURIRU@]AQW OPREDELENII SINUSA, POLOVITELXNA.sin < 0 () + 2n < < 2n 8n 2 Z, TAK KAK UGLY S TAKIMI MERAMI OKAN^IWA@TSQ W III ILI IV KOORDINATNYH ^ETWERTQH, ILI NAOTRICATELXNOJ ^ASTI OSI ORDINAT, GDE SOOTWETSTWU@]AQ ORDINATA y, FIGURIRU@]AQ W OPREDELENII SINUSA, OTRICATELXNA.cos > 0 () =2 + 2n < < =2 + 2n 8n 2 Z, TAK KAK UGLY STAKIMI MERAMI OKAN^IWA@TSQ W I ILI IV KOORDINATNYH ^ETWERTQH, ILINA POLOVITELXNOJ ^ASTI OSI ABSCISS, GDE SOOTWETSTWU@]AQ ABSCISSA x,FIGURIRU@]AQ W OPREDELENII KOSINUSA, POLOVITELXNA.cos < 0 () =2 + 2n < < 3=2 + 2n 8n 2 Z, TAK KAK UGLYS TAKIMI MERAMI OKAN^IWA@TSQ WO II ILI W III KOORDINATNYH ^ETWERTQH,ILI NA OTRICATELXNOJ ^ASTI OSI ABSCISS, GDE SOOTWETSTWU@]AQ ABSCISSA x,FIGURIRU@]AQ W OPREDELENII KOSINUSA, OTRICATELXNA.VIII.
fUNKCIQ SINUS WOZRASTAET NA KAVDOM IZ OTREZKOW[ =2 + 2n; =2 + 2n] I UBYWAET NA KAVDOM IZ OTREZKOW[=2 + 2n; 3=2 + 2n] 8n 2 Z.fUNKCIQ KOSINUS WOZRASTAET NA KAVDOM IZ OTREZKOW [ + 2n; 2n]I UBYWAET NA KAVDOM IZ OTREZKOW [2n; + 2n] 8n 2 Z.w SILU PERIODI^NOSTI \TIH FUNKCIJ I UTWERVDENIQ 2, DOKAZANNOGO WWWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ", DOSTATO^NO DOKAZATX \TI UTWERVDENIQ DLQ SLU^AQ n = 0.rASSMOTRIM RAZNOSTXx xx +xsin(x2 ) sin(x1) = 2 sin 2 2 1 cos 2 2 1 ;GDE =2 6 x1 < x2 6 =2 ILI =2 6 x1 < x2 6 3=2.w SILU SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW W PERWOM SLU^AE :0 < x2 2 x1 6 2 ; 2 < x1 +2 x2 < 2 ;A WO WTOROM SLU^AE :0 < x2 2 x1 6 2 ; 2 < x2 +2 x1 < 32 ;OTKUDA W SILU REZULXTATOW P. VII UKAZANNAQ RAZNOSTX W PERWOM SLU^AE POLOVITELXNA, A WO WTOROM SLU^AE OTRICATELXNA, ^TO I DOKAZYWAET SWOJSTWOMONOTONNOSTI FUNKCII SINUS.rASSMOTRIM RAZNOSTXcos(x2) cos(x1) = 2 sin x2 2 x1 sin x2 +2 x1 ;GDE 0 6 x1 < x2 6 ILI 6 x1 < x2 6 0.73w SILU SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW W PERWOM SLU^AE :0 < x2 2 x1 6 2 ; 0 < x1 +2 x2 < ;A WO WTOROM SLU^AE :0 < x2 2 x1 6 2 ; < x2 +2 x1 < 0;OTKUDA W SILU REZULXTATOW P.
VII UKAZANNAQ RAZNOSTX W PERWOM SLU^AE OTRICATELXNA, A WO WTOROM SLU^AE POLOVITELXNA, ^TO I DOKAZYWAET SWOJSTWOMONOTONNOSTI FUNKCII KOSINUS.zAME^ANIE. pRI DOKAZATELXSTWE SWOJSTW MONOTONNOSTI \TIH FUNKCIJ SPOMO]X@ TEOREMY O ZNAKE IH PROIZWODNYH NA SAMOM DELE ONI OBOSNOWYWA@TSQ LI[X DLQ SOOTWETSTWU@]IH INTERWALOW, PO\TOMU DLQ OBOSNOWANIQMONOTONNOSTI NA OTREZKAH WSE RAWNO NEOBHODIMY DOPOLNITELXNYE ISSLEDOWANIQ.IX. fUNKCIQ sin x STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ) NA OTREZKAH[2n; + 2n] ([ + 2n; 2n]) PRI L@BOM CELOM ZNA^ENII n , TO ESTXNA TEH OTREZKAH, GDE ONA PRINIMAET NEOTRICATELXNYE (NEPOLOVITELXNYE)ZNA^ENIQ.dOKAZATELXSTWO. w SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII sin x S PERIODAMI 2m8m 2 Z; m 6= 0 DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI[X SLU^AJ n = 0.
fIKSIRUEMPROIZWOLXNYE DEJSTWITELXNYE x1 I x2 2 [0; ]; x1 6= x2.sRAWNIM RAZNOSTXWYRAVENIJf(x1 ) + f(x2 ) S ^ISLOM 0 :f x1 +2 x22pRIMENQQ FORMULU SUMMY SINUSOW, MY POLU^IM:f(x1 ) + f(x2 ) = sin x1 + x2 sin x1 + sin x2 =f x1 +2 x2222xxxxxxx1 + x21 + x2121 + x212= sin 2sin 2 cos 2 = sin 2 1 cos 2>0:pOSLEDNEE NERAWENSTWO WYTEKAET IZ SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW, PROMEVUTKOW ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCII SINUS I OBLASTI IZMENENIQ FUNKCII KOSINUS SLEDU@]IM OBRAZOM: 0 6 x1 6 ;(3)0 6 x2 6 ;(4)m 6 x2 6 0;(5)TAK KAK x1 I x2 IZ OTREZKA [0; ] RAZLI^NY, TO ONI NE MOGUT ODNOWREMENNORAWNQTXSQ NUL@ I ODNOWREMENNO RAWNQTXSQ ; A POTOMU, SKLADYWAQ PO^LENNO NERAWENSTWA (3) I (4); (3) I (5) I PO^LENNO DELQ POLU^A@]IESQ PRI \TOMNERAWENSTWA NA 2, MY POLU^IM740 < x1 +2 x2 < ; 6 x1 x2 < 0;22(6)(7)ILI0 < x1 2 x2 6 2 ;(8)OTKUDA I IMEEM:sin x1 +2 x2 > 0 I 1 cos x1 2 x2 > 0 :iTAK, STROGAQ WYPUKLOSTX WWERH FUNKCII sin x NA OTREZKE [0; ] DOKAZANA.w SILU NE^ETNOSTI FUNKCII sin x WYTEKAET EE STROGAQ WYPUKLOSTX WNIZ NAOTREZKE [ ; 0], POSLEDNIJ FAKT PREDOSTAWLQETSQ DOKAZATX SAMOSTOQTELXNO.fUNKCIQ cos x STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ) NA OTREZKAH[ =2 + 2n; =2 + 2n] ([=2 + 2n; 3=2 + 2n]) PRI L@BOM CELOM ZNA^ENII n; TO ESTX NA TEH OTREZKAH, GDE ONA PRINIMAET NEOTRICATELXNYE(NEPOLOVITELXNYE) ZNA^ENIQ.|TO UTWERVDENIE UVE WYTEKAET IZ USTANOWLENNYH PROMEVUTKOW STROGOJWYPUKLOSTI FUNKCII sin x I FORMULY cos x = sin(=2 + x).mOVNO, ODNAKO, ISSLEDOWATX NA WYPUKLOSTX FUNKCI@ cos x; NE OPIRAQSXNA WYPUKLOSTX FUNKCII sin x, PO ANALOGI^NOJ, ^TO I sin x, SHEME.
pREDOSTAWLQETSQ \TO SDELATX SAMOSTOQTELXNO.X. gRAFIKI:RIS. 2.6 ARIS. 2.6 B2:11. sWOJSTWA TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ y = tg x I y = ctg x IIH GRAFIKItAK VE, KAKPRI OBOSNOWANII SWOJSTW SINUSA I KOSINUSAZAMENIM x NA ,88deftg =<:sin cos ; cos 6= 0;@ ; cos = 0;75defctg =<:cos ; sin 6= 0;sin @ ; sin = 0:I. iSHODQ IZ REZULXTATOW PP. I I VI ISSLEDOWANIQ FUNKCIJ SINUS I KOSINUS, MY POLU^AEM:D[tg] | L@BOE 2 R : 6= =2 +k, D[ctg] | L@BOE 2 R : 6= k;k = 0; 1; 2; ::: .II.
E[tg] = E[ctg] = (1; +1).AM 0 = tg0 = a0 ; AM10 = tg10 = arctga0RIS. 2.7 ABM 0 = ctg0 = b0 ; BM10 = ctg10 = arcctgb0RIS. 2.7 B * 7oSI TANGENSOW I KOTANGENSOW QWLQ@TSQ KASATELXNYMI K EDINI^NOJ OKRUVNOSTI W TO^KAH A I B SOOTWETSTWENNO I OBLADA@T TEMI VE SWOJSTWAMI^ISLOWYH PRQMYH, ^TO I OSI Oy I Ox SOOTWETSTWENNO W TOM SMYSLE, ^TOPOLOVITELXNOE I OTRICATELXNOE NAPRAWLENIQ NA OSI TANGENSOW (KOTANGENSOW) SOWPADA@T S POLOVITELXNYM I OTRICATELXNYM NAPRAWLENIQMI OSIOy(Ox).
eDINICY IZMERENIJ NA NIH TE VE, ^TO I NA WSEJ KOORDINATNOJPLOSKOSTI, W TOM ^ISLE I NA OSQH Oy I Ox; NA^ALA OTS^ETA NA OSI TANGENSOW | TO^KA A(1; 0), A NA OSI KOTANGENSOW | TO^KA B(0; 1).fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE ^ISLA a0; b0 2 R; a0 $ M 0 ; b0 $ M 0 NAOSQH TANGENSOW I KOTANGENSOW SOOTWETSTWENNO. M 0 $ M NA PRAWOJ I SOOTWETSTWENNO WERHNEJ POLUOKRUVNOSTQH, M | M(x; y).M $ 0 2 ( =2; =2), SOOTWETSTWENNO M $ 0 2 (0; ); tg 0 = a0 ,SOOTWETSTWENNO ctg 0 = b0 (SM.
RIS. 2.7 A I B).dOKAVEM POSLEDNIE DWA RAWENSTWA.pRI 0 6= 0 PRQMOUGOLXNYE TREUGOLXNIKI 4OMMx I 4OM 0A PODOBNY KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ UGOL, SLEDOWATELXNO,7 * nA \TIH RISUNKAH ZAOTREZKOW.AM 0 ;BM 0I T.P. OBOZNA^ENY WELI^INY SOOTWETSTWU@]IH76jAM 0jjAM 0 jx M j jyj jyj== jjM1jOAjOMx j = jxj = x :pOSLEDNEE RAWENSTWO WYPOLNQETSQ W SILU TOGO, ^TO x > 0.
tAK KAK ZNAKIWELI^IN OTREZKOW AM 0 I Mx M SOWPADA@T, TO I IME@T MESTO RAWENSTWAsin defa0 = AM 0 = xy = cos = tg :eSLI = 0, TO TO^KI M 0 ; M I A SOWPADA@T, A POTOMU I W \TOM SLU^AETAKVE a0 = AM 0 = 0 = tg 0 = tg . pO OPREDELENI@ 0 = arctg a0 .sOOTWETSTWENNO PRI 0 6= =2 PRQMOUGOLXNYE TREUGOLXNIKI 4OMMyI 4OM 0B PODOBNY KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ UGOL, SLEDOWATELXNO,jBM 0jjBM 0 jy M j jxj jxj== jjM1jOB jOMy j = jyj = y :pOSLEDNEE RAWENSTWO WYPOLNQETSQ W SILU TOGO, ^TO y > 0.
tAK KAK ZNAKIWELI^IN OTREZKOW BM 0 I My M SOWPADA@T, TO I IME@T MESTO RAWENSTWA defb0 = BM 0 = xy = cossin = ctg :eSLI = =2, TO TO^KI M 0 ; M I B SOWPADA@T, A POTOMU I W \TOM SLU^AETAKVE b0 = BM 0 = 0 = ctg 2 = ctg . pO OPREDELENI@ 0 = arcctg b0 .dOKAVEM TEPERX ANALITI^ESKIM SPOSOBOM UTWERVDENIE OB OBLASTI ZNA^ENIJ FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS, PRAWDA, SU]ESTWENNO ISPOLXZUQ REZULXTAT OB OBLASTI ZNA^ENIJ FUNKCIJ SINUS I KOSINUS, KOTORYJ WY[E BYLPOLU^EN GEOMETRI^ESKIM SPOSOBOM (SM. TAKVE PP. 25 | 26 W [4]).fIKSIRUEM PROIZWOLXNOE ^ISLO a 2 R I POLOVIM,) jc0j < 1; 0 < jd0j 6 1:c0 = p 2a ; d0 = p 21a +1a +1pOLAGAQ = arcsin c0 ) sin = c0 I 2 < < 2 I NA OSNOWE FORMULY(10) NA STR. 55 POLU^AEM:r2psin = c0 = a:2cos = 1 c0 = 1 a2a+ 1 = p 21 = d0 ) tg = cos d0a +1tEPERX POLOVIM = arccos c0 ) cos = c0 I 0 < < , NA OSNOWEFORMULY (11) NA STR.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
