Методичка (4) (1108721), страница 8
Текст из файла (страница 8)
fUNKCIQ y = arcsin x WOZRASTAET NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (OTREZKE [ 1; 1]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TEOREMY 1 O STROGOJ MONOTONNOSTI OBRATNOJFUNKCII I WOZRASTANIQ FUNKCII y = sin x NA OTREZKE [ =2; =2].IX. fUNKCIQ arcsin x STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA OTREZKE [0; 1] ([ 1; 0]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, ^TO FUNKCIQ sin x STROGO WYPUKLA WWERH(WNIZ) NA OTREZKE [0; =2] ([ =2; 0]) I TEOREMY 3.87X. gRAFIK FUNKCII:RIS. 2.11 ATO^KA O(0; 0) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSQMI Ox I Oy.zAME^ANIE.
oTMETIM, ^TO RASSMATRIWAQ FUNKCI@ SINUS NA L@BOM DRUGOM IZ OTREZKOW, GDE ONA ILI WS@DU WOZRASTAET, ILI WS@DU UBYWAET, TO^NOTAKIM VE OBRAZOM MY MOVEM POSTROITX DLQ NEE OBRATNU@ FUNKCI@, KOTORAQ, BUDET OTLI^ATXSQ OT POSTROENNOJ FUNKCII y = arcsin x. tAKOGO RODAZADA^U MY PREDLAGAEM RE[ITX U^A]IMSQ.2:13. sWOJSTWA OBRATNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCIIy = arccos x I EE GRAFIKrASSMOTRIM FUNKCI@ y = cos x, TAK KAK ONA PRINIMAET L@BOE SWOE ZNA^ENIE W BESKONE^NOM MNOVESTWE ZNA^ENIJ SWOEGO ARGUMENTA, TO NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ ONA NE IMEET OBRATNOJ FUNKCII, ODNAKO RASSMATRIWAQ \TU FUNKCI@ LI[X DLQ ZNA^ENIJ ARGUMENTA x 2 [0; ], GDE ONA UBYWAETI PRINIMAET WSE ZNA^ENIQ NA OTREZKE [ 1; 1], MY W SILU TEOREMY 1 POLU^IM,^TO PRI \TIH USLOWIQH ONA IMEET OBRATNU@ FUNKCI@ x = cos 1 y = arccos y(OPREDELENIE ARKKOSINUSA ^ISLA SM.
WY[E, W P. 2:6). mENQQ OBOZNA^ENIQ xNA y, A y NA x, MY POLU^AEM SLEDU@]IE SWOJSTWA FUNKCII y = arccos x:I. D[arccos] = [ 1; 1] (D[arccos] = E[cos]).II. E[arccos] = [0; ] (E[arccos] = D[cos], POSKOLXKU FUNKCIQ KOSINUSRASSMATRIWAETSQ NA UKAZANNOM OTREZKE).III. iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TO FUNKCIQ arccos x OGRANI^ENA NASWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IV.
iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TOmin arccos x = 0 = arccos 1; maxarccos x = = arccos( 1).V. y = arccos x | FUNKCIQ OB]EGO WIDA, ONA NE QWLQETSQ ^ETNOJ I NEQWLQETSQ NE^ETNOJ.|TOT FAKT WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO RAWENSTWA 8x 2 [ 1; 1] : arccos( x) == arccos x, KOTOROE W SWO@ O^EREDX SLEDUET IZ TAKIH RASSUVDENIJ: POSKOLXKU PRI L@BOM x 2 [ 1; 1] arccos( x) I arccos x PRINIMA@T ZNA^ENIQ NA OTREZKE [0; ], NA KOTOROM FUNKCIQ KOSINUS UBYWAET, TO IZ RAWENSTW88cos(arccos( x)) = x I cos( arccos x) = cos(arccos x) = x I WYTEKAETUKAZANNOE WY[E RAWENSTWO.VI. fUNKCIQ y = arccos x | NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.|TOT FAKT WYTEKAET HOTQ BY IZ TOGO, ^TO OBLASTX OPREDELENIQ \TOJFUNKCII OGRANI^ENA I SNIZU, I SWERHU (^ISLAMI 0 I ), ^TO NE SOOTWETSTWUET WWEDENNOMU OPREDELENI@ PERIODI^ESKOJ FUNKCII.VII.
arccos x = 0 , x = 1, arccos x > 0 NA [ 1; 0).|TI FAKTY SLEDU@T IZ OPREDELENIQ ARKKOSINUSA ^ISLA 1 I UBYWANIQFUNKCII y = arccos x NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (OTREZKE [ 1; 1]).VIII. fUNKCIQ y = arccos x UBYWAET NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ(OTREZKE [ 1; 1]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TEOREMY 1 O STROGOJ MONOTONNOSTI OBRATNOJFUNKCII I UBYWANIQ FUNKCII y = cos x NA OTREZKE [0; ].IX. fUNKCIQ arccos x STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA OTREZKE [ 1; 0] ([0; 1]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, ^TO FUNKCIQ cos x TAKVE STROGO WYPUKLAWNIZ (WWERH) NA OTREZKE [=2; ] ([0; =2]) I TEOREMY 4.X. gRAFIK FUNKCII:RIS.
2.11 BTO^KA A(1; 0) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSX@ Ox, TO^KAB(0; =2) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSX@ Oy.zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO RASSMATRIWAQ FUNKCI@ KOSINUS NA L@BOMDRUGOM IZ OTREZKOW, GDE ONA ILI WS@DU WOZRASTAET, ILI WS@DU UBYWAET,TO^NO TAKIM VE OBRAZOM MY MOVEM POSTROITX DLQ NEE OBRATNU@ FUNKCI@,KOTORAQ, BUDET OTLI^ATXSQ OT POSTROENNOJ FUNKCII y = arccos x.
tAKOGORODA ZADA^U MY PREDLAGAEM RE[ITX U^A]IMSQ.2:14. sWOJSTWA OBRATNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCIIy = arctg x I EE GRAFIKrASSMOTRIM FUNKCI@ y = tg x, TAK KAK ONA PRINIMAET L@BOE SWOE ZNA^ENIE W BES^ISLENNOM MNOVESTWE ZNA^ENIJ SWOEGO ARGUMENTA, TO NA WSEJSWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ ONA NE IMEET OBRATNOJ FUNKCII, ODNAKO RASSMATRIWAQ \TU FUNKCI@ LI[X DLQ ZNA^ENIJ ARGUMENTA x 2 ( =2; =2),89GDE ONA WOZRASTAET I PRINIMAET WSE ZNA^ENIQ NA PROMEVUTKE ( 1; +1),MY W SILU TEOREMY 1 POLU^IM, ^TO PRI \TIH USLOWIQH ONA IMEET OBRATNU@FUNKCI@ x = tg 1 y = arctg y (OPREDELENIE ARKTANGENSA ^ISLA SM. WY[E,W P. 2:7).
mENQQ OBOZNA^ENIQ x NA y, A y NA x, MY POLU^AEM SLEDU@]IESWOJSTWA FUNKCII y = arctg x:I. D[arctg ] = ( 1; +1) (D[arctg ] = E[tg ]).II. E[arctg] = 2 ; 2 (E[arctg ] = D[tg ], POSKOLXKU FUNKCIQ TANGENSRASSMATRIWAETSQ NA UKAZANNOM INTERWALE).III. iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TO FUNKCIQ arctg x OGRANI^ENA NASWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IV. iZ REZULXTATOW P.
II POLU^AEM, ^TOmin arctgx I maxarctg x NE SU]ESTWU@T. iDEQ DOKAZATELXSTWA TAKAQ VE,KAK PRI DOKAZYWALXSWE WY[E OTSUTSTWIQ MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ U OGRANI^ENNOGO SNIZU NULEM MNOVESTWA ZNA^ENIJ POKAZATELXNOJ FUNKCII.V. y = arctg x | NE^ETNAQ FUNKCIQ.dLQ DOKAZATELXSTWA OTMETIM, ^TO POSKOLXKU D[arctg ] SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO TO^KI x0 = 0, I POSKOLXKU PRI L@BOM x 2 ( 1; +1) arctg ( x)I arctg x PRINIMA@T ZNA^ENIQ NA INTERWALE ( =2; =2), NA KOTOROM FUNKCIQ TANGENS WOZRASTAET, TO IZ RAWENSTW (W SILU NE^ETNOSTI FUNKCII TANGENS) tg(arctg ( x)) = x I tg ( arctg x) = tg (arctg x) = x I WYTEKAET,^TO 8x 2 ( 1; +1) ) arctg ( x) = arctg x.VI.
fUNKCIQ y = arctg x | NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, \TA FUNKCIQ WOZRASTA@]AQ, PO\TOMU WSESWOI ZNA^ENIQ ONA PRINIMAET ROWNO ODIN RAZ.VII. arctg x = 0 , x = 0, arctg x < 0 NA ( 1; 0) I arctg x > 0 NA (0; +1).|TI FAKTY SLEDU@T IZ OPREDELENIQ ARKTANGENSA ^ISLA 0 I WOZRASTANIQ FUNKCII y = arctg x NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (PROMEVUTKE( 1; +1)).VIII. fUNKCIQ y = arctg x WOZRASTAET NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ(PROMEVUTKE ( 1; +1)).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TEOREMY 1 O STROGOJ MONOTONNOSTI OBRATNOJFUNKCII I WOZRASTANIQ FUNKCII y = tg x NA INTERWALE ( =2; =2).IX. fUNKCIQ arctgx STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ) NA PROMEVUTKE [0; +1)(( 1; 0]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, ^TO FUNKCIQ tgx STROGO WYPUKLA WNIZ(WWERH) NA POLUOTREZKE [0 ; =2) (( =2; 0]) I TEOREMY 1.90X.
gRAFIK FUNKCII:RIS. 2.11 WTO^KA O(0; 0) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSQMI Ox I Oy.mOVNO E]E OTMETITX I POWEDENIE \TOJ FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ, KOTORYE WYTEKA@T IZ SOOTWETSTWU@]IH POWEDENIJ FUNKCII TANGENS: PRI x ! +1( 1) tg x ! =2 0( =2+0). |TI FAKTY DOKAZYWA@TSQW KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO RASSMATRIWAQ FUNKCI@ TANGENS NA L@BOMDRUGOM IZ INTERWALOW, GDE ONA WS@DU WOZRASTAET, TO^NO TAKIM VE OBRAZOMMY MOVEM POSTROITX DLQ NEE OBRATNU@ FUNKCI@, KOTORAQ BUDET OTLI^ATXSQ OT POSTROENNOJ FUNKCII y = arctg x.
tAKOGO RODA ZADA^U MY PREDLAGAEMRE[ITX U^A]IMSQ.2:15. sWOJSTWA OBRATNOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCIIy = arcctg x I EE GRAFIKrASSMOTRIM FUNKCI@ y = ctgx, TAK KAK ONA PRINIMAET L@BOE SWOEZNA^ENIE W BESKONE^NOM MNOVESTWE ZNA^ENIJ SWOEGO ARGUMENTA, TO NA WSEJSWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ ONA NE IMEET OBRATNOJ FUNKCII, ODNAKO RASSMATRIWAQ \TU FUNKCI@ LI[X DLQ ZNA^ENIJ ARGUMENTA x 2 (0; ), GDE ONAUBYWAET I PRINIMAET WSE ZNA^ENIQ NA PROMEVUTKE ( 1; +1), MY W SILUTEOREMY 1 POLU^IM, ^TO PRI \TIH USLOWIQH ONA IMEET OBRATNU@ FUNKCI@x = ctg 1 y = arcctg y (OPREDELENIE ARKKOTANGENSA ^ISLA SM.
WY[E, W P.2:8). mENQQ OBOZNA^ENIQ x NA y, A y NA x, MY POLU^AEM SLEDU@]IE SWOJSTWAFUNKCII y = arcctg x:I. D[arcctg ] = ( 1; +1) (D[arcctg ] = E[ctg ]).II. E[arcctg] = (0; ) (E[arcctg ] = D[ctg ], POSKOLXKU FUNKCIQ KOTANGENSRASSMATRIWAETSQ NA UKAZANNOM INTERWALE).III. iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TO FUNKCIQ arcctg x OGRANI^ENA NASWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IV. iZ REZULXTATOW P. II POLU^AEM, ^TOmin arcctg x I maxarcctg x NE SU]ESTWU@T. iDEQ DOKAZATELXSTWA TAKAQVE, KAK PRI DOKAZYWALXSTWE WY[K OTSUTSTWIQ MINIMALXNOGO ZNA^ENIQ UOGRANI^ENNOGO SNIZU NULEM MNOVESTWA ZNA^ENIJ POKAZATELXNOJ FUNKCII.91V.
y = arcctg x | FUNKCIQ OB]EGO WIDA, TO ESTX ONA NE QWLQETSQ ^ETNOJI NE QWLQETSQ NE^ETNOJ.|TOT FAKT WYTEKAET IZ SLEDU@]EGO RAWENSTWA 8x 2 ( 1; +1) )) arcctg ( x) = arcctg x, KOTOROE W SWO@ O^EREDX SLEDUET IZ TAKIHRASSUVDENIJ: POSKOLXKU PRI L@BOM x 2 ( 1; +1) arcctg ( x) I arcctg xPRINIMA@T ZNA^ENIQ NA INTERWALE (0 ; ), NA KOTOROM FUNKCIQ KOTANGENSUBYWAET, TO IZ RAWENSTW ctg (arcctg ( x)) = x I ctg ( arcctg x) == ctg (arcctg x) = x I WYTEKAET UKAZANNOE WY[E RAWENSTWO.VI. fUNKCIQ y = arcctg x | NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, \TA FUNKCIQ UBYWA@]AQ, PO\TOMU WSE SWOIZNA^ENIQ ONA PRINIMAET ROWNO ODIN RAZ.VII. arcctg x > 0 NA ( 1; +1), NULEJ NE IMEET.|TI FAKTY SLEDU@T IZ P.
II.VIII. fUNKCIQ y = arcctg x UBYWAET NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ(PROMEVUTKE ( 1; +1)).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TEOREMY 1 O STROGOJ MONOTONNOSTI OBRATNOJFUNKCII I UBYWANIQ FUNKCII y = ctg x NA INTERWALE (0; ).IX. fUNKCIQ arcctgx STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA PROMEVUTKAH [0; +1)((1; 0]).|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, ^TO FUNKCIQ ctgx TAKVE STROGO WYPUKLAWNIZ (WWERH) NA POLUOTREZKE (0; =2] ([=2; )) I TEOREMY 4.X. gRAFIK FUNKCII:RIS. 2.11 GTO^KA B(0; =2) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII S OSX@ Oy.
mOVNOE]E OTMETITX I POWEDENIE \TOJ FUNKCII NA GRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ,KOTORYE WYTEKA@T IZ SOOTWETSTWU@]IH POWEDENIJ FUNKCII KOTANGENS: PRIx ! +1( 1) ctg x ! 0 + 0( 0). |TI FAKTY DOKAZYWA@TSQ W KURSEMATEMATI^ESKOGO ANALIZA.zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO RASSMATRIWAQ FUNKCI@ KOTANGENS NA L@BOMDRUGOM IZ INTERWALOW, GDE ONA WS@DU UBYWAET, TO^NO TAKIM VE OBRAZOM MYMOVEM POSTROITX DLQ NEE OBRATNU@ FUNKCI@, KOTORAQ BUDET OTLI^ATXSQOT POSTROENNOJ FUNKCII y = arcctg x. tAKOGO RODA ZADA^U MY PREDLAGAEMRE[ITX U^A]IMSQ.92.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
