Методичка (4) (1108721), страница 3
Текст из файла (страница 3)
eSLI ZATEM 0 6 6 < 2, TO cos( ) = cos( ( )) == cos( ) = cos cos +sin sin = cos cos +sin sin (ZDESX ISPOLXZOWANO SWOJSTWO ^ETNOSTI KOSINUSA). eSLI I PROIZWOLXNY, TO9 0; 0 2 [0; 2) I m; n 2 Z : = 0 + 2m; = 0 + 2n )) cos( ) = cos(0 0 + 2(m n)) = cos(0 0 ) = cos 0 cos 0 ++ sin 0 sin 0 = cos( 2m) cos( 2n) + sin( 2m) sin( 2n) == cos cos + sin sin (ZDESX MY ISPOLXZOWALI POLU^ENNYE WY[E FORMULY PERIODI^NOSTI DLQ SINUSA I KOSINUSA).wTORAQ FORMULA WYWODITSQ UVE NA OSNOWE PERWOJ SOWSEM KOROTKO:cos( + ) = cos( ( )) = cos cos sin sin (2)(ZDESX ISPOLXZUETSQ ^ETNOSTX cos I NE^ETNOSTX sin).dALEE IZ \TIH FORMUL WYWODQTSQ TAKIE FORMULY: 8 ; 2 Rcos 2 = cos 2 cos + sin 2 sin = sin ;(3) = cos = cos ;) sin(4)2 2 2(5)sin( + ) = cos 2 = sin cos + cos sin ;sin( ) = cos 2 + = sin cos cos sin ;(6)(OPQTX ISPOLXZUETSQ ^ETNOSTX cos I NE^ETNOSTX sin)sin( ) = sin cos cos sin =tg( ) = cos( )cos cos sin sin sin cos cos sin cos cos cos tg tg= cos cos(7)cos sin sin = 1 tgtg ;cos cos cos cos ZDESX cos( ) 6= 0; cos 6= 0; cos 6= 0.57 )cos cos sin sin ctg( ) = cos(sin( ) = sin cos cos sin =cos cos sin sin sin sin sin sin = ctgctg 1 ;= sin(8) cos cos sin ctg ctgsin sin sin sin ZDESX sin( ) 6= 0; sin 6= 0; sin 6= 0.kAK WYGLQDIT FORMULA DLQ tg( ), ESLI LIBO cos = 0, LIBO cos = 0,LIBOcos = 0; ?cos = 0oTWET.
s POMO]X@ FORMUL PRIWEDENIQ (SM. NIVE, P. 40) MOVNO POLU^ITXSLEDU@]IJ OB]IJ WID FORMUL TANGENSA SUMMY I RAZNOSTI DWUH ARGUMENTOWPRI L@BYH 8IH ZNA^ENIQH:tg tg ; ESLI 6= + k; 6= + n; 6= + m;>>>>1 tgtg222>>>>< ctg;ESLI = =2 + n; 6= m;tg() = > ctg; ESLI = =2 + m; 6= n;(9)>>>>W ^ASTNOSTI, 0; ESLI = =2 + n I = =2 + m;>>>:NE SU]ESTWUET, ESLI = =2 + k;WEZDE k; n; m PRINIMA@T ZNA^ENIQ 0; 1; 2; 3; ::: .kAK WYGLQDIT FORMULA DLQ ctg( ), ESLI LIBO sin = 0, LIBO sin = 0,LIBOsin = 0 ;?oTWET.
s POMO]X@ FORMUL PRIWEDENIQ (SM. NIVE P. 40) MOVNO POLUsin = 0^ITX SLEDU@]IJ OB]IJ WID FORMUL KOTANGENSA SUMMY I RAZNOSTI DWUHARGUMENTOW PRI L@BYH IH ZNA^ENIQH:8Stgctg 1 ; ESLI 6= k; 6= n; 6= m;>>>>ctg ctg><Stg( ) = > ctg; ESLI = n; 6= m;>>ctg; ESLI = m; 6= n;(10)>>:NE SU]ESTWUET, ESLI = k;WEZDE k; n; m PRINIMA@T ZNA^ENIQ 0; 1; 2; 3; ::: .582:3. fORMULY SUMMY I RAZNOSTI TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ:sin sin ; cos cos ; tg tg; ctg ctg; pREOBRAZOWANIE W SUMMUPROIZWEDENIJ: cos cos ; sin sin ; sin cos fORMULY IME@T WID: 8 ; 2 R * 4cos cos = 12 [cos( + ) + cos( )] ;(1)sin sin = 12 [cos( ) cos( + )] ;(2)(3)sin cos = 12 [sin( ) + sin( + )] ;sin sin = 2 sin 2 cos 2 ;(4)(5)cos + cos = 2 cos +2 cos 2 ;(6)cos cos = 2 sin +2 sin 2 ; )(7)tg tg = sin(cos cos ; )ctg ctg = sin(sin sin :(8)wYWOD. iSPOLXZUEM FORMULY:cos( ) = cos cos + sin sin ;cos( + ) = cos cos sin sin :sKLADYWAQ \TI RAWENSTWA PO^LENNO I DELQ NA 2, POLU^AEM (1).wY^ITAQ \TI RAWENSTWA PO^LENNO I DELQ NA 2, POLU^AEM (2).sin( + ) = sin cos + cos sin ;sin( ) = sin cos cos sin :sKLADYWAQ \TI RAWENSTWA PO^LENNO I DELQ NA 2, POLU^AEM (3)eSLI PRIMENITX FORMULY (1) I (2) S ZAMENOJ NA ' I NA , A ZATEMPOLOVITX = ' + ; = ' ) ' = +2 ; = 2 , MY POLU^IMFORMULY (5) I (6).4 * w PRIWEDENNYH NIVE FORMULAHOGRANI^ENIQ.(7)I59(8)NA ARGUMENTYINAKLADYWA@TSQaNALOGI^NO RASSUVDAQ PRIMENITELXNO K FORMULE (3), MY POLU^IM FORMULU (4) SO ZNAKOM " + ", A (4) SO ZNAKOM " " POLU^AETSQ IZ (4) SO ZNAKOM" + " ZAMENOJ NA .
fORMULY (7) POLU^A@TSQ, ESLI PREDSTAWITXsin I tg = sin , SLEDOWATELXNO,tg = coscos sin sin = sin cos sin cos = sin( ) :tg tg = cos cos cos cos cos cos kAKOWY OGRANI^ENIQ NA I W FORMULE(7) ? (cos 6= 0; cos 6= 0 , 6= 2 + k; 6= 2 + mfORMULY (8) POLU^A@TSQ, ESLI PREDSTAWITXcos ctg = cossin I ctg = sin , SLEDOWATELXNO,8k;m 2 Z:) cos = cos sin cos sin = sin( ) :ctg ctg = cossin sin sin sin sin sin kAKOWY OGRANI^ENIQ NA I W FORMULE (8) ?(sin 6= 0; sin 6= 0 , 6= k; 6= m8k;m 2 Z:)2:4.
fORMULY DWOJNOGO I POLOWINNOGO ARGUMENTOW TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ. wYRAVENIE TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ ^EREZ TANGENS POLOWINNOGO ARGUMENTA. fORMULY PRIWEDENIQ82Rsin 2 = sin( + ) = sin cos + cos sin = 2 sin cos ;(FORMULA (1) WYTEKAET IZ FORMULY DLQ sin( + ) PRI = )cos 2 = cos( + ) = cos cos sin sin = cos2 sin2 ;(FORMULA (2) WYTEKAET IZ FORMULY DLQ cos( + ) PRI = )pRIMENQQ OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO, POLU^IM:cos 2 = 1 sin2 sin2 = 1 2 sin2 ;cos 2 = cos2 (1 cos2 ) = 2 cos2 1 ;+ tg = 2tg ;tg2 = tg( + ) = 1tgtgtg1 tg2 (\TA FORMULA POLU^AETSQ IZ FORMULY DLQ tg( + ) PRI = ).60(1)(2)(3)(4)(5)kAKOWYOGRANI^ENIQ NA ?( 6= 2 + k; 2 6= 2 + m; 8 k; m 2 Z:) ctg 1ctg2 1 ;Stg2 = Stg( + ) = Stg=ctg + ctg2ctg(6)(\TA FORMULA POLU^AETSQ IZ FORMULY DLQ ctg( + ) PRI = ).kAKOWY OGRANI^ENIQ NA ?( 6= k; 2 6= m; 8 k; m 2 Z , 6= n2 ; 8 n 2 Z:)zAMENQQ W FORMULAH (3) I (4) 2 NA , A NA 2 , POLU^IM: 8 r1cos2 sin 2 = 2 , sin 2 = 1 2cos ;r1+cos2 cos 2 = 2 , cos 2 = 1 + 2cos :iZ FORMUL (7) I (8) :r ( 6= + 2k;=) tg 2 = 11 + coscos =) Stg 2 =8r>1><=) sin 2 = > r1>:8>><=) cos 2 = >>:8>><=) tg 2 = >>:r1 + cos ( 6= 2k;1 cos cos ; ESLI sin > 022cos ; ESLI sin 6 0228k 2 Z)8k 2 Z)2R(7)(8);(9);(10)(8 2 R);(11)(8 2 R);(12)r1 + cos ; ESLI cos > 022r1 + cos ; ESLI cos 6 022r1 cos ; ESLI tg > 02r 1 + cos 1 cos ; ESLI tg 6 01 + cos 261( 6= + 2k;8k 2 Z);(13)8>><=) ctg 2 = >>:r1 + cos ; ESLI ctg > 0cos 2r11 + cos ; ESLI ctg 6 01 cos 2( 6= 2k;8k 2 Z); (14)oBRATITX WNIMANIE NA NEKORREKTNOSTX ZAPISEJ TIPArsin 2 = 1 2cos BEZ UKAZANIQ, KOGDA ZNAK " + ", A KOGDA ZNAK " " (IBO BEZ \TOGO UKAZANIQPOLU^AETSQ, ^TO PO DANNOMU sin 2 OPREDELEN NEODNOZNA^NO, ^TO NEWERNO).sin(=2) = 2 sin(=2) cos(=2) = sin ; 6= +2n; 8n 2 Z ;tg 2 = cos(=2)2 cos2(=2)1 + cos (15)2 sin2(=2)1 cos ; 6= n; 8n 2 Z ;tg 2 = 2 sin(=2)=(16) cos(=2)sin (W FORMULE (16) sin 6= 0).2 sin(=2) cos(=2) = sin ; 6= 2n; 8n 2 Z ;=ctg 2 = cos(=2)sin(=2)1 cos 2 sin2 (=2)(17)2 cos2 (=2)ctg 2 = 2 sin(=2)= 1 +sincos cos(=2) ; 6= n; 8n 2 Z ; (18)(W FORMULE (18) sin 6= 0).
cos(=2)sin = 2 sin(=2)= 2tg(=2) ; 6= + 2n;cos2(=2) + sin2(=2) 1 + tg2 (=2)8n 2 Z22tg2 (=2) ; 6= + 2n;cos = cos2 (=2) sin2 (=2) = 11 + tg2(=2)cos (=2) + sin (=2)8n 2 Z;(19);(20)fORMULY (19) I (20) WYTEKA@T IZ FORMUL (1), (2) I OSNOWNOGO TRIGONOMETRI^ESKOGO TOVDESTWA.62tg = 2tg(=2); 6= + 2k; 6= 2 + m; 8 k; m 2 Z:(21)21 tg (=2)|TA FORMULA POLU^AETSQ IZ FORMULY (5) S ZAMENOJ 2 NA ; NA =2tg2 (=2) :ctg = 1 2tg(=2)(22)|TA FORMULA WYTEKAET IZ FORMULY (21) ( 6= n ; 8n 2 Z) .fORMULY PRIWEDENIQ | \TO FORMULY, WYRAVA@]IE TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII ARGUMENTOW ; 2 ; I T.P. ^EREZ TRIGONOMETRI^ESKIEFUNKCII ARGUMENTA .dLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ZNA^ENIQ :sin( ) = sin SLEDUET IZ NE^ETNOSTI sin; cos( ) = cos SLEDUET IZ^ETNOSTI cos.dLQ L@BYH DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ , PRI KOTORYH OPREDELENY TANGENS I KOTANGENS, SOOTWETSTWENNO :tg( ) = tg SLEDUET IZ NE^ETNOSTI tg; ctg( ) = ctg SLEDUET IZNE^ETNOSTI ctg.dLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ZNA^ENIQ :(23)sin 2 = cos ; cos 2 = sin ;(\TI FORMULYPOLU^ENYWY[E (SM.
P. 20)),sin 2 + = sin 2 cos +cos 2 sin = cos ;(24)cos 2 + = cos 2 cos sin 2 sin = sin ;(25)tg 2 = ctg ; ctg 2 = tg ;(26)\TI FORMULY POLU^A@TSQ IZ FORMUL (23) PO^LENNYM DELENIEM PERWOJ IZNIH NA WTORU@ I NAOBOROT, PO^LENNYM DELENIEM WTOROJ IZ NIH NA PERWU@,tg 2 + = ctg; ctg 2 + = tg ;(27)\TI FORMULY POLU^A@TSQ ANALOGI^NO IZ FORMUL (24) I (25) PO^LENNYMDELENIEM PERWOJ IZ NIH NA WTORU@ I NAOBOROT, PO^LENNYM DELENIEM WTOROJIZ NIH NA PERWU@.kAKOWY OGRANI^ENIQ NA W (26) I (27) ? pO \TOMU POWODU SM. OGRANI^ENIQ NA ARGUMENTY FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS.dLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO ZNA^ENIQ :63sin( ) = sin cos cos sin = sin ;(28)cos( ) = cos cos + sin sin = cos sin( + ) = sin ; cos( + ) = cos ;(29)FORMULY (29) POLU^A@TSQ ANALOGI^NO FORMULAM (28).tAKIM VE OBRAZOM, KAK FORMULY (26) I (27), POLU^A@TSQ FORMULY WIDA:tg( ) = tg ; ctg( ) = ctg ;(30)tg( + ) = tg ; ctg( + ) = ctg:(31)kAKOWY OGRANI^ENIQ NA W (30) I (31) ? pO \TOMU POWODU TAKVE SM.
OGRANI^ENIQ NA ARGUMENTY FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS.dOKAZATX FORMULY :sin( + n) = ( 1)n sin ; cos( + n) = ( 1)n cos :(32)pRI n = 2k ) ( 1)n = 1 I \TI FORMULY NEPOSREDSTWENNO POLU^A@TSQ IZFORMUL PERIODI^NOSTI. pRI n = 2k + 1 ) ( 1)n = 1 I \TI FORMULYESTX SLEDSTWIE PRIMENENNYH SNA^ALA FORMUL PERIODI^NOSTI, A ZATEM |FORMUL PRIWEDENIQ (29).dOKAZATX FORMULY: sin 3 = 3 sin 4 sin3 ;(33)cos 3 = 4 cos3 3 cos :(34)dLQ DOKAZATELXSTWA PREDSTAWITX sin 3 = sin(2 + ) I cos 3 = cos(2 + ),A ZATEM PRIMENITX SOOTWETSTWENNO FORMULY SINUSA I KOSINUSA SUMMY DWUHARGUMENTOW, SINUSA I KOSINUSA SUMMY DWOJNOGO ARGUMENTA I OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO, FORMULU (1).dOKAZATX FORMULY: tg3 = 3tg tg3 ;(35)1 3tg2 3 3ctg :ctg3 = ctg3ctg2 1(36)kAKOWY OGRANI^ENIQ NA ARGUMENTY W \TIH FORMULAH ?2:5.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
