Методичка (3) (1108720)
Текст из файла
1. aLGEBRA1:1. fORMULA KORNEJ KWADRATNOGO URAWNENIQ. tEOREMA wIETAoPREDELENIE1.kWADRATNYM TREH^LENOMNAZYWAETSQ WYRAVENIEoPREDELENIE2.kWADRATNYM URAWNENIEMNAZYWAETSQ URAWNENIE WIDAf(x) = ax2 + bx + c;GDE a; b; c 2 R, a 6= 0 | POSTOQNNYE ^ISLA, x 2 R | PEREMENNAQ,a, b I c NAZYWA@TSQ KO\FFICIENTAMI.(1)f(x) = 0 ILI ax2 + bx + c = 0; (a 6= 0; a; b; c 2 R):(2)oPREDELENIE 3.
kORNEM (RE[ENIEM) KWADRATNOGO URAWNENIQ, A TAKVEKORNEM KWADRATNOGO TREH^LENA (1) NAZYWAETSQ TAKOE ^ISLO x0(x0 2 R), DLQKOTOROGO f(x0 ) = 0 ILI ax02 + bx0 + c = 0 | WERNOE ^ISLOWOE RAWENSTWO.~ISLO D = b2 4ac NAZYWAETSQ DISKRIMINANTOM KWADRATNOGO TREH^LENAf(x) (KWADRATNOGO URAWNENIQ ax2 + bx + c = 0).eSLI a = 1, TO KWADRATNOE URAWNENIEx2 + px + q = 0(3)NAZYWAETSQ PRIWEDENNYM. eGO DISKRIMINANT D = p2 4q.tEOREMA 1. a) eSLI D > 0, TO KWADRATNOE URAWNENIE (2) IMEET KORNIx1 ; x2 2 R, OPREDELQEMYE FORMULOJp :p2bDbb 4acx1;2 = 2a =(4)2aILI FORMULAMI:p2p2x1 = b 2ab 4ac ; x2 = b + 2ab 4ac ;(5)pD | ARIFMETI^ESKIJ KWADRATNYJ KORENX IZ ^ISLA D, PRI^EM ESLI D > 0,TO x1 6= x2 , TO ESTX URAWNENIE (2) IMEET DWA RAZLI^NYH DEJSTWITELXNYHKORNQ ; ESLI D = 0, TO x1 = x2 = x0 = b=2a | URAWNENIE IMEET DWASOWPADA@]IH KORNQ (ODIN DEJSTWITELXNYJ KORENX).b) eSLI D < 0, TO KWADRATNOE URAWNENIE (2) NE IMEET DEJSTWITELXNYHKORNEJ.w SLU^AE PRIWEDENNOGO KWADRATNOGO URAWNENIQ I D = p2 4q > 0 FOR-MULY KORNEJ IME@T WIDpp22x1 = p 2p 4q ; x2 = p + 2p 4q :dOKAZATELXSTWO.
pREOBRAZUEM WYRAVENIE DLQ f(x), PRIMENQQ METOD WYDELENIQ POLNOGO KWADRATA SUMMY WYRAVENIJ:22bcbbcb222ax + bx + c = a x + 2 2a x + a = a x + 2 2a x + 4a2 + a 4a2 =10!2bb2 4ac = f(x) := a x + 2a(6)4a2a) eSLI PRIMENITX PRI D > 0 FORMULU RAZNOSTI KWADRATOW, TO WYRAVENIE DLQ KWADRATNOGO TREH^LENA PREOBRAZUETSQ K WIDU:p !p !bDD = a(x x )(x x );b+f(x) = a xx122a2aGDE x1 I x2 OPREDELQ@TSQ IZ FORMULY (5).
tAK KAK a 6= 0, TO f(x) = 0 ,, x = x1 ILI x = x2 , W SLU^AE a) TEOREMA DOKAZANA.b) pRI D < 0 O^EWIDNO, ^TO PRI L@BOM DEJSTWITELXNOM x WYRAVENIE,NA KOTOROE UMNOVAETSQ a, W (6) STROGO POLOVITELXNO, A POTOMU8 a > 0 (a < 0) ) f(x) > 0 (f(x) < 0),SLEDOWATELXNO, NI PRI KAKOM DEJSTWITELXNOM ZNA^ENII x KWADRATNYJ TREH^LEN NE OBRA]AETSQ W 0, STALO BYTX, PRI D < 0 KWADRATNOE URAWNENIE NEIMEET DEJSTWITELXNYH KORNEJ. tEOREMA 1 POLNOSTX@ DOKAZANA.tEOREMA 2 (wIETA). eSLI D = b2 4ac > 0, SOOTWETSTWENNO D = p2 4q > 0,x1 ; x2 | KORNI KWADRATNOGO URAWNENIQ (2) ILI (3), TO W SLU^AE OB]EGO(PRIWEDENNOGO) KWADRATNOGO URAWNENIQx1 + x2 = ab (x1 + x2 = p) ;(7)x1 x2 = ac (x1 x2 = q) :(8)dOKAZATELXSTWO. rAWENSTWO (7) POLU^AETSQ W REZULXTATE NEPOSREDSTWENNOGO SLOVENIQ RAWENSTW (5) DLQ x1 I x2; DLQ DOKAZATELXSTWA (8) PO^LENNOUMNOVIM RAWENSTWA (5) DLQ x1 I x2, POLU^IM, PRIMENQQ FORMULU RAZNOSTIKWADRATOW I WYRAVENIE DLQD,p DISKRIMINANTApb + D) = D b2 = 4ac = c :x1 x2 = ( b D)(24a4a24a2 atEOREMA wIETA DOKAZANA.zAME^ANIE.
sLU^AJ D = 0 PREDPOLAGAET NALI^IE DWUH SOWPADA@]IHKORNEJ KWADRATNOGO URAWNENIQ.rASSMOTRIM SLU^AJ URAWNENIQ WIDA (S "^ETNYM KO\FFICIENTOM" PRI x)ax2 + 2bx + c = 0(9)222eSLI D = (2b) 4ac = 4(b ac) > 0 , b ac > 0, TO FORMULA KORNEJ\TOGO URAWNENIQ IMEET WIDpp2p222b(2b)4ac2b2bacbb ac : (10)x1;2 ===2a2aa11tEOREMA3 (OBRATNAQTEOREMA wIETA).pUSTX ^ISLA x1; x2 ; p; q SWQZANY SOOTNO[ENIQMI: x1 + x2 = p;x1 x2 = q (SM.
WTORYE RAWENSTWA (7) I (8) (W SKOBKAH)), TOGDA x1; x2 |KORNI PRIWEDENNOGO KWADRATNOGO URAWNENIQ (3).dOKAZATELXSTWO. ~ISLA x1; x2 I TOLXKO ONI QWLQ@TSQ KORNQMI URAWNENIQ (x x1)(x x2 ) = 0, KOTOROE RAWNOSILXNO POLU^A@]EMUSQ W REZULXTATERASKRYTIQ SKOBOK, PEREGRUPPIROWKI NEKOTORYH SLAGAEMYH W LEWOJ ^ASTIPOSLEDNEGO URAWNENIQ S U^ETOM SOOTNO[ENIJ (7) I (8) W SKOBKAH SLEDU@]EMU URAWNENI@ x2 (x1 + x2)x + x1 x2 = 0 , x2 + px + q = 0. tEOREMADOKAZANA.zAME^ANIE. tEOREMA 3 DOKAZANA DLQ PRIWEDENNOGO KWADRATNOGO URAWNENIQ. oDNAKO DOKAZATX EE DLQ OB]EGO KWADRATNOGO URAWNENIQ MOVNO TO^NOTAKVE (ESLI WMESTO p BUDET FIGURIROWATX b=a, A WMESTO q | c=a, a =6 0),POLU^A@]EESQ URAWNENIE x2 + (b=a)x + c=a = 0 , ax2 + bx + c = 0.
wAVNO,PRAWDA, OTMETITX, ^TO PO IZWESTNYM KORNQM x1 I x2 KWADRATNOGO URAWNENIQ ODNOZNA^NO OPREDELITX KO\FFICIENTY a; b; c NELXZQ, PO\TOMU OBRATNU@ TEOREMU wIETA UDOBNO FORMULIROWATX I DOKAZYWATX DLQ PRIWEDENNOGOKWADRATNOGO URAWNENIQ (U KOTOROGO a = 1, A KO\FFICIENTY p I q UVE BUDUTODNOZNA^NO OPREDELQTXSQ PO ZADANNYM KORNQM x1 I x2).1:2. tEOREMA O RAZLOVENII KWADRATNOGO TREH^LENA NA LINEJNYEMNOVITELItEOREMA 4. (O RAZLOVENII KWADRATNOGO TREH^LENA NA LINEJNYE MNOVITELI).eSLI DISKRIMINANT D = b2 4ac KWADRATNOGO TREH^LENAf(x) = ax2 + bx + c NEOTRICATELEN, TOf(x) = a(x x1)(x x2);(11)GDE x1 I x2 KORNI KWADRATNOGO URAWNENIQ ax2 + bx + c = 0.dOKAZATELXSTWO.
pREOBRAZUEM WYRAVENIE DLQ f(x), WYDELQQ POLNYJ KWADRAT SUMMY WYRAVENIJ,b x+ c =f(x) = ax2 + bx + c = a x2 + 2 2aa!2222bbcbbb4ac= a x2 + 2 2a x + 4a2 + a 4a2 = a x + 2a:4a2eSLI PRIMENITX PRI D > 0 FORMULU RAZNOSTI KWADRATOW, TO WYRAVENIEDLQ KWADRATNOGO TREH^LENA PREOBRAZUETSQ K WIDUp !p !b + D = a(x x )(x x );122a2aGDE x1 I x2 OPREDELQ@TSQ IZ FORMULY (5), ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.f(x) = a xbDx12oTMETIM, ^TO PRI D < 0 RAZLOVENIE NA DEJSTWITELXNYE LINEJNYE MNOVITELI NEWOZMOVNO.|TO LEGKO DOKAZATX OT PROTIWNOGO, PREDPOLAGAQ, ^TO RAZLOVENIE TIPA(11) DLQ f(x) WOZMOVNO, MY POLU^IM SU]ESTWOWANIE DEJSTWITELXNOGO KORNQU KWADRATNOGO TREH^LENA S OTRICATELXNYM DISKRIMINANTOM I TEM SAMYMPRIDEM K PROTIWORE^I@ S DOKAZANNYM WY[E OTSUTSTWIEM TAKIH KORNEJ.1:3. sWOJSTWA KWADRATI^NOJ FUNKCII y = ax2 +bx+c I EE GRAFIKoPREDELENIE.
fUNKCIQ WIDA y = f(x) = ax2 + bx + c NAZYWAETSQ KWADRATI^NOJ FUNKCIEJ, a; b; c 2 R; a 6= 0 | POSTOQNNYE ^ISLA, x 2 R |PEREMENNAQ.I. D[f] = ( 1; +1), TAK KAK IZ SWOJSTW DEJSTWITELXNYH ^ISEL (STROGODOKAZYWAEMYH W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA) WYTEKAET, ^TO 8x 2 RODNOZNA^NO OPREDELENY PROIZWEDENIQ x x = x2; ax2; bx I SUMMYax2 + bx; (ax2 + bx) + c = ax2 + bx + c = f(x).II.
E[f] = [ D=4a; +1), ESLI a > 0 I E[f] = ( 1; D=4a], ESLI a < 0,GDE D = b2 4ac.dOKAZATELXSTWO. pREOBRAZUEM f(x) SLEDU@]IM OBRAZOM:f(x) = a"bx + 2a2#b2 4ac = a x + b4a22a2D4a :8x 2 R ) (x + b=2a)2 > 0, PO\TOMU PRI a > 0 (a < 0) POLU^AEM, ^TO8x 2 R ) f(x) > D=4a (f(x) 6 D=4a).fIKSIRUEM PROIZWOLXNOE y0 > D=4a (y0 6 D=4a). rASSMATRIWAQURAWNENIE f(x) = y0 , ax2 + bx + c y0 = 0, OTKUDA D~ = b2 4a(c y0) == b2 4ac + 4ay0 = 4a(y0 + D=4a), MY I POLU^IM, ^TO ESLI a > 0 (a < 0)I y0 > D=4a (y0 6 D=4a), TO D~ > 0 , PO\TOMU URAWNENIE f(x) = y0IMEET RE[ENIQ, TO ESTX 9x1; x2 : f(x1 ) = f(x2 ) = y0 , II DOKAZANO.sLEDSTWIE.
nA OSNOWE REZULXTATOW RASSUVDENIJ \TOGO P. II, POLU^AEM WAVNYJ WYWOD: NA WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ KWADRATI^NAQ FUNKCIQf(x) = ax2 + bx + c PRINIMAET PRI a > 0 (a < 0) TOLXKO NEOTRICATELXNYE(NEPOLOVITELXNYE) ZNA^ENIQ TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA DISKRIMINANTD = b2 4ac 6 0.|TO UTWERVDENIE MOVNO PRIMENQTX DLQ DOKAZATELXSTWA RAZLI^NYH NERAWENSTW, NAPRIMER, S TRIGONOMETRI^ESKIMI WYRAVENIQMI I DOKAZATELXSTWUTWERVDENIJ, NAPRIMER, W KURSE LINEJNOJ ALGEBRY I ANALITI^ESKOJ GEOMETRII.III. w SILU TOGO, ^TO PRI a > 0 (a < 0) IMEEM: 8x 2 R ) f(x) > D=4a(f(x) 6 D=4a), WYTEKAET OGRANI^ENNOSTX KWADRATI^NOJ FUNKCII SNIZU13(SWERHU) NA SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.
dALEE, PROWODQ TAKIE VE RASSUVDENIQ, ^TO I W KONCE P. II, POLU^AEM, ^TO DLQ L@BOGO m2 > D=4a(m1 6 D=4a) NAJDUTSQ TAKIE ZNA^ENIQ ARGUMENTA x2 (x1 ), PRI KOTORYH,NAPRIMER, f(x2 ) = m2 + 1 > m2 (f(x1 ) = m1 1 < m1 ). a \TO I OZNA^AET,^TO KWADRATI^NAQ FUNKCIQ NE OGRANI^ENA SWERHU (SNIZU) NA SWOEJ OBLASTIOPREDELENIQ.IV. w SILU OPREDELENIJ NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ FUNKCIII REZULXTATOW P. II POLU^AEM:ESLI a > 0, TO SU]ESTWUET minf(x) = D=4a = f( b=2a),x2RA ESLI a < 0, TO SU]ESTWUET maxf(x) = D=4a = f( b=2a),x2Rmaxf(x) (minf(x)) PRI a > 0 (a < 0) NE SU]ESTWUET. pOSLEDNIE UTWERVx2RRDENIQLEGKOx2DOKAZYWA@TSQOT PROTIWNOGO TAK VE, KAK NEOGRANI^ENNOSTXFUNKCII SWERHU (SNIZU) PRI a > 0 (a < 0) W P.
III.V. ~ETNOSTX I NE^ETNOSTX.D[f] | SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO TO^KI x0 = 0. iSSLEDUEM RAWENSTWOf( x) f(x) , a( x)2 + b( x) + c ax2 + bx + c , 2bx 0 , b = 0 )) PRI b = 0 | FUNKCIQ ^ETNAQ, A PRI b 6= 0 | NE QWLQETSQ ^ETNOJ.iSSLEDUEM RAWENSTWO f( x) f(x) , a( x)2 + b( x) + c ( ax2 bx c) , 2(ax2 + c) 0 , x2 ac , ^TO NEWERNO, TAK KAKx | PEREMENNAQ, SLEDOWATELXNO, f(x) NE QWLQETSQ NE^ETNOJ.VI. f(x) NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.dLQ DOKAZATELXSTWA PREDPOLOVIM, ^TO 9 T0 6= 0 TAKOE, ^TO 8x 2 R )) f(x + T0 ) = f(x) (ZDESX MY ISPOLXZUEM FAKT D[f] = ( 1; +1)). tOGDA,W ^ASTNOSTI, PRI x = x0 = b=2a ) x0 + T0 6= x0, STALO BYTX ILIx0 + T0 > x0, ILI x0 + T0 < x0 , NO W SILU REZULXTATOW P.
VII PRI \TOM ILIf(x0 + T0) < f(x0 ), ILI f(x0 + T0 ) > f(x0 ), TO ESTX f(x0 ) 6= f(x0 + T0 ),PRI[LI K PROTIWORE^I@.pVII. eSLI D > 0, TO f(x) = 0 PRI x1;2 = ( b D)=2a (SM. P. 1:1).tAK KAK f(x) = a(x x1)(x x2) (SM. 20), TO PRI D = 0 ) x1 == x2 = b=2a = x0 ) f(x) = a(x x0)2 , SLEDOWATELXNO, PRI a > 0(a < 0) ) f(x) > 0 (f(x) < 0) NA ( 1; b=2a) [ ( b=2a; +1) ;ESLI VE D > 0, TO PRI a > 0 (a < 0) ) f(x) > 0 (f(x) < 0) NA( 1; x1) [ (x2 ; +1), I f(x) < 0 (f(x) > 0) NA (x1 ; x2), GDE x1 | MENX[IJ,A x2 | BOLX[IJ KORNI URAWNENIQ f(x) = 0 ; PRI D < 0; a > 0 ) f(x) >> D=4a > 0, PRI D < 0; a < 0 ) f(x) 6 D=4a < 0 ) f(x) > 0(f(x) < 0) PRI a > 0 (a < 0) WS@DU NA ( 1; +1).VIII. eSLI a > 0 (a < 0), TO f(x) = ax2 + bx + c WOZRASTAET NA[ b=2a; +1) (( 1; b=2a]) I UBYWAET NA ( 1; b=2a] ([ b=2a; +1)).dOKAZYWAETSQ \TO PUTEM RASSMOTRENIQ PROIZWOLXNYH x2 > x1 > b=2a I14x1 < x2 6 b=2a I RAZNOSTI f(x2 ) f(x1 ) = a(x22 x21) + b(x2 x1) == (x2 x1)(a(x1 + x2) + b) = a(x2 x1 )(x1 + x2 ( b)=a).
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
