Методичка (3) (1108720), страница 4
Текст из файла (страница 4)
tAK KAK PRI a > 1 (0 < a < 1) I 8r 2 Q ar = a q = q ap > 0,TO, SLEDOWATELXNO, W ^ASTNOSTI, b = a > ar > 0, GDE r 6 (>) ; r 2 Q,PO\TOMU NULEJ U POKAZATELXNOJ FUNKCII NET I ax > 0 NA ( 1; +1).VIII. wOZRASTANIE FUNKCII y = ax PRI a > 1 I EE UBYWANIE PRI0 < a < 1 SNA^ALA DOKAVEM NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL, TO ESTX8r1 ; r2 2 Q : r2 > r1; 8a > 1 (0 < a < 1) ) ar2 > ar1 (ar2 < ar1 ).fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE RACIONALXNYE ^ISLA r2 > r1.
w SILU DOKA-ZANNYH SWOJSTW STEPENEJ S RACIONALXNYMI POKAZATELQMIar2 ar1 = ar1 (ar2 r1 1). tAK KAK ar1 > 0 I r2 r1 > 0, TO DOSTATO^NODOKAZATX, ^TO 8r > 0; r 2 Q; 8 a > 1 (0 < a < 1) ) ar > 1 (0 < ar < 1).pRI DOKAZATELXSTWE \TIH FAKTOW BUDEM ISPOLXZOWATX NEPOSREDSTWENNOWYTEKA@]IE IZ SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW (SM. [1], RAZDEL II, P.
2.1, WOPROS 3) SLEDU@]IE DWA WSPOMOGATELXNYH UTWERVDENIQ.uTWERVDENIE 1. 8 n 2 N; a 2 R; a > 1 ) an > 1n = 1.uTWERVDENIE 2. 8 n 2 N; a 2 R; 0 < a < 1 ) 0 = 0n < an < 1n = 1.ppUSTX r > 0; r 2 Q, TOGDA r = mn ; m; n 2 N; ar = n am .w SILU UTWERVDENIJ 1 I 2 I OPREDELENIQ KORNQ n-OJ STEPENI IZ TOGO, ^TOpa > 1 (0 < a < 1) ) am > 1 (0 < am < 1) ) ( n am )n = am > 1ppp(0 < ( n am )n = am < 1) ) ar = n am > 1 (0 < ar = n am < 1).tEM SAMYM WOZRASTANIE (UBYWANIE) FUNKCII y = ax PRI a > 1(0 < a < 1) NA MNOVESTWE RACIONALXNYH ^ISEL DOKAZANO.dLQ DOKAZATELXSTWA SOOTWETSTWU@]IH UTWERVDENIJ NA MNOVESTWE DEJSTWITELXNYH ^ISEL NAM POTREBUETSQ DOKAZATX E]E ODNO WSPOMOGATELXNOEUTWERVDENIE.uTWERVDENIE 3.
8a; b; 2 R : a < b 9x 2 Q TAKOE, ^TO a < x < b.dOKAZATELXSTWO. sLU^AJ a < 0 I b > 0 TRIWIALEN: W KA^ESTWE ^ISLAx MOVNO WZQTX x = 0.pUSTX 0 6 a < b. pREDSTAWIM ^ISLA a I b W WIDE BESKONE^NYHDESQTI^NYH DROBEJ a = a0 ; a1a2 a3:::an::: ; b = b0 ; b1b2b3:::bn::: .zAME^ANIE. pRI \TOM, NE OGRANI^IWAQ OB]NOSTI, MOVNO S^ITATX, ^TOSREDI RASSMATRIWAEMYH BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ OTSUTSTWU@T DROBI S PERIODOM 9.sOGLASNO PRAWILU SRAWNENIQ BESKONE^NYH DESQTI^NYH DROBEJ(SM. STR. 5) TAK KAK 0 6 a < b, TO LIBO a0 < b0 , LIBO9 k 2 N : a0 = b0; a1 = b1; ::: ; ak 1 = bk 1; ak < bk .w TO VE WREMQ W SILU ZAME^ANIQ SU]ESTWUET p 2 N : p > k, ^TOap < 9, A POTOMU ^ISLO x = a0 ; a1a2:::akak+1 :::(ap + 1)000:::0::: 2 Q IBUDET UDOWLETWORQTX NERAWENSTWAM a < x < b.27sLU^AJ a < b 6 0 LEGKO SWODITSQ K TOLXKO ^TO RASSMOTRENNOMU SLEDU@]IM OBRAZOM: a < b 6 0 , 0 6 b < a; , 9 xe 2 Q :b < xe < a ) 9 x = xe 2 Q : a < x < b.uTWERVDENIE 3 POLNOSTX@ DOKAZANO.fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE x1 < x2; x1; x2 2 R, TOGDA W SILU UTWERVDENIQ 3 SU]ESTWUET RACIONALXNOE ^ISLO x TAKOE, ^TO x1 < x < x2, A TAKKAK PRI \TOM x 2 R, TO SU]ESTWUET TAKVE RACIONALXNOE ^ISLO x0 TAKOE,^TO x < x0 < x2.
tAKIM OBRAZOM, 8 x1 ; x2 2 R : x1 < x2 9 x I x0 2 QTAKIE, ^TO x1 < x < x0 < x2 .pO OPREDELENI@ ax I DOKAZANNOMU WOZRASTANI@ (UBYWANI@) POKAZATELXNOJ FUNKCII NA MNOVESTWE RACIONALXNYH^ISEL PRI a > 1 (0 < a < 1)0xxxx12IMEEM:a 6 a < a 6 a ) ax1 < ax2(ax1 > ax > ax0 > ax2 ) ax2 < ax1 );^TO I OZNA^AET WOZRASTANIE (UBYWANIE) FUNKCII y = ax NA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IX. fUNKCIQ f(x) = ax STROGO WYPUKLA WNIZ NA WSEJ SWOEJ OBLASTIOPREDELENIQ (NA PROMEVUTKE ( 1; +1)) PRI L@BOM 0 < a =6 1.dOKAZATELXSTWO.fIKSIRUEMPROIZWOLXNYExIx2R;x1 =6 x2.12xf(x1 + x21 ) + f(x2 )sRAWNIM fI.22xw SILU STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII ax1x1x2x 2a2 =6 a 2 , 0 < a 2 a 22 :rASKRYWAQ SKOBKI, PRIMENQQ SWOJSTWA ^ISLOWYH NERAWENSTW I SWOJSTWASTEPENEJ, BUDEM IMETX: x 2 x 2 x 2 x 2x xx x2a 21 a 22 + a 22 , 2a 21 a 22 < a 21 + a 22,0 < a 21xx12x +x, a 1 2 2 < a +2 a ;TEM SAMYM STROGAQ WYPUKLOSTX WNIZ FUNKCII ax DOKAZANA.X.
gRAFIKI:RIS. 1.2 ARIS. 1.2 B28pRI x ! +1; ax ! +1 (ax ! 0 + 0), ESLI a > 1 (0 < a < 1),PRI x ! 1; ax ! 0 + 0 (ax ! +1), ESLI a > 1 (0 < a < 1).fORMULIROWOKI SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ I DOKAZATELXSTWA BUDUTPRIWEDENY W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.1:7. oSNOWNOE LOGARIFMI^ESKOE TOVDESTWO. lOGARIFMY PROIZWEDENIQ, STEPENI, ^ASTNOGO.
fORMULA PEREHODA K NOWOMU OSNOWANI@. dRUGIE SWOJSTWA LOGARIFMOWoPREDELENIE.defpUSTX 0 < a 6= 1; b > 0.~ISLO = loga b (LOGARIFM ^ISLA b PO OSNOWANI@ ^ISLA a), ESLI a = b.sU]ESTWOWANIE \TOGO ^ISLA DOKAZYWAETSQ KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA, EDINSTWENNOSTX SLEDUET IZ STROGOJ MONOTONNOSTI FUNKCII y = axPRI a > 0; a =6 1 (SM. P. 1:6).w SILU TOGO, ^TO, W ^ASTNOSTI, PRI L@BOM DEJSTWITELXNOM a TAKOM, ^TO0<a=6 1 PO OPREDELENI@ a0 = 1 I a1 = a IZ OPREDELENIQ LOGARIFMAWYTEKAET8a 2 R : 0 < a =6 1 loga 1 = 0; loga a = 1.p ppRIWEDEM PROSTYE PRIMERY: log3 9 = 2; log9 31 = 12 ; log2 2 2 = 2.1. aloga b = b | OSNOWNOE LOGARIFMI^ESKOE TOVDESTWO(PRI 0 < a =6 1; b > 0) 1.
SLEDUET IZ OPREDELENIQ LOGARIFMA ;2. loga bc = loga b + loga c; 0 < a =6 1; b > 0; c > 0 ;b3. loga c = loga b loga c; 0 < a =6 1; b > 0; c > 0 ;4. loga b = loga b; 0 < a =6 1; b > 0; 2 R ;(2 | 4 - LOGARIFMY PROIZWEDENIQ, ^ASTNOGO, STEPENI)5. FORMULA PEREHODA K DRUGOMU OSNOWANI@:logc b , W ^ASTNOSTI, PRI c = b log b = 1loga b = logalogb aca0<a=6 1; 0 < c =6 1; b > 0.oTMETIM I DOKAVEM E]E I TAKIE SWOJSTWA LOGARIFMOW6 1; b > 0; 2 R; =6 0 ;6. loga b = 1 loga b; 0 < a =7.
loga b = loga b; 0 < a 6= 1; b > 0; ; 2 R; 6= 0,W ^ASTNOSTI, PRI = loga b = loga b ;8. alogb c = clogb a ; 0 < b 6= 1; a; c > 0.sWOJSTWA 2 | 4 DOKAZYWA@TSQ NA OSNOWE OSNOWNOGO LOGARIFMI^ESKOGOTOVDESTWA 1, UTWERVDENIQ O TOM, ^TO PRI L@BOM DEJSTWITELXNOM a > 0 Ia 6= 1 ax = ay , x = y, WYTEKA@]EM IZ SWOJSTWA STROGOJ MONOTONNOSTI POKAZATELXNOJ FUNKCII (SM.
P. 1:6) I SWOJSTW STEPENEJ29a+ = aa ; a = a : a ; (a) = a ;SPRAWEDLIWYH DLQ L@BYH I 2 R (ONI DOKAZYWA@TSQ W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA) SLEDU@]IM OBRAZOM:aloga bc = bc = aloga baloga c = aloga b+loga c ) 2: ;aloga b:c = b : c = aloga b : aloga c = aloga b loga c ) 3: ;aloga b = b = (aloga b ) = aloga b ) 4: ;sWOJSTWO 5 WYTEKAET IZ SWOJSTW 1 I 4 SLEDU@]IM OBRAZOM:loga b logc a = logc (aloga b ) = logc b ) 5:sWOJSTWO 6 WYTEKAET IZ SWOJSTW 5 I 4 SLEDU@]IM OBRAZOM:ESLI b = 1, TO LOGARIFMY, FIGURIRU@]IE W LEWOJ I PRAWOJ ^ASTQH 6:,RAWNY NUL@; ESLI 0 < b 6= 1, TO POSKOLXKU loga b = 0 , b = 1, ^TO WYTEKAETIZ STROGOJ MONOTONNOSTI LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII (SM. NIVE P.
1:8), TO,PRIMENQQ SWOJSTWA 4 I 5, POLU^IMloga b =5: log1 a =4: 1 log1 a =5: 1 loga b ) 6:bbsWOJSTWO 7 WYTEKAET IZ SWOJSTW 4 I 6 SLEDU@]IM OBRAZOM:loga b =6: 1 loga b =4: logb a ) 7:sWOJSTWO 8 WYTEKAET IZ NEZAWISIMOSTI PROIZWEDENIQ DWUH DEJSTWITELXNYH^ISEL OT PORQDKA SOMNOVITELEJ I SWOJSTWA 4 SLEDU@]IM OBRAZOM:4:logb c logb a = logb a logb c ,logb alogb c = logb clogb a , alogb c = clogb a ) 8:;POSLEDNIJ PEREHOD , OSU]ESTWLEN W SILU UTWERVDENIQ:8b; x; y 2 R+ ; b 6= 1 logb x = logb y , x = y;WYTEKA@]EM IZ STROGOJ MONOTONNOSTI LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII(SM. NIVE P. 1:8).pUSTX b < 0; c < 0.~TO MOVNO SKAZATX O SWOJSTWAH 2, 3, 4, A TAKVE 6 I 7 PRI a < 0 ?2: loga bc = loga jbj + loga jcj ;3: loga cb = loga jbj loga jcj ;ESLI W 4: = 2k | ^ETNOE, TO loga b = loga jbj, 0 < a =6 1; b =6 0 ;6 0; a =6 1; b > 0 ;ESLI W 6: = 2k | ^ETNOE, TO loga b = 1 logjaj b, a =6 0;ESLI W 7: = 2k; = 2p | ^ETNYE, TO loga b = logjaj jbj, a =a=6 1; b =6 0.30oTMETIM E]E DWA SWOJSTWA LOGARIFMOW.9.
oPREDELENIE ZNAKA LOGARIFMA.eSLI ^ISLO I OSNOWANIE LOGARIFMA LEVAT PO ODNU STORONU OT EDINICY,TO LOGARIFM POLOVITELEN. eSLI PO RAZNYE STORONY, TO LOGARIFM OTRICATELEN.dOKAZATELXSTWO. pUSTX WYPOLNQ@TSQ USLOWIQ 0 < a =6 1; b > 0, TOGDASU]ESTWUET loga b, I PUSTX a > 1, b > 1. zAPI[EM OSNOWNOE LOGARIFMI^ESKOE TOVDESTWO aloga b = b (SWOJSTWO 1.) eSLI loga b < 0, TO LEWAQ ^ASTXPOSLEDNEGO RAWENSTWA MENX[E EDINICY, A PRAWAQ ^ASTX { BOLX[E EDINICYI RAWENSTWO NEWERNO.
eSLI loga b = 0, TO LEWAQ ^ASTX POSLEDNEGO RAWENSTWARAWNA 1, A PRAWAQ ^ASTX { BOLX[E EDINICY, RAWENSTWO NEWOZMOVNO. sLEDOWATELXNO, loga b > 0. aNALOGI^NO RASSMATRIWA@TSQ OSTALXNYE SLU^AI.sWOJSTWO 9 DOKAZANO.10. sRAWNENIE LOGARIFMOW. lOGARIFMIROWANIE NERAWENSTWA.eSLI OSNOWANIE LOGARIFMA BOLX[E EDINICY, TO BOLX[EMU ^ISLU OTWE^AET BOLX[IJ LOGARIFM, T.E. ESLI a > 1 I b > c > 0, TO loga b > loga c.eSLI OSNOWANIE LOGARIFMA MENX[E EDINICY, TO BOLX[EMU ^ISLU OTWE^AETMENX[IJ LOGARIFM, T.E. IZ 0 < a < 1 I b > c > 0 SLEDUET loga b < loga c.dOKAZATELXSTWO.
wOSPOLXZUEMSQ SWOJSTWOM MONOTONNOSTI POKAZATELXNOJFUNKCII: PRI a > 1 FUNKCIQ ax WOZRASTAET, PRI 0 < a < 1 FUNKCIQ axUBYWAET. rASSMOTRIM SLU^AJ a > 1. iSPOLXZUQ OSNOWNOE LOGARIFMI^ESKOETOVDESTWO I SOOTNO[ENIE MEVDU b I c, POLU^IM aloga b = b > c = aloga c ,OTKUDA SLEDUET, ^TO loga b > loga c. sLU^AJ 0 < a < 1 RASSMATRIWAETSQANALOGI^NO. sWOJSTWO 10 DOKAZANO.pO^EMU W OPREDELENII loga b 0 < a =6 1 I b>0?pOSKOLXKU 8 2 R ^ISLO a OPREDELENO LI[X DLQ a > 0 I a > 0 ;log1 b NE OPREDELEN PRI L@BOM b =6 1, TAK KAK 8 2 R 1 = 1 ) 1 =6 b;log1 1 S^ITAETSQ NE OPREDELENNYM POTOMU, ^TO TAK KAK 1 = 1 PRI L@BOM 2 R, TO PO FORMALXNOMU OPREDELENI@ LOGARIFMA log1 1 MOVET BYTXL@BYM DEJSTWITELXNYM ^ISLOM.
pO ANALOGI^NOJ PRI^INE NEWOZMOVNO ODNOZNA^NO OPREDELITX LOGARIFM PO OSNOWANI@ ^ISLA NULX.1:8. sWOJSTWA LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII I EE GRAFIKoPREDELENIE. fUNKCIQ WIDA y = loga x, GDE 0 < a 6= 1 | POSTOQNNOE ^ISLO, A x | PEREMENNAQ (ARGUMENT), NAZYWAETSQ LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIEJ.I. D[loga x] = (0; +1), TAK KAK 8x > 0 I 8a : 0 < a 6= 19! y : ay = x, A PO OPREDELENI@ LOGARIFMA y = loga x (SM. P.
1:7).II. E[loga x] = ( 1; +1), TAK KAK 8y 2 R ODNOZNA^NO OPREDELENOx = ay , loga x = y:31III. iZ REZULXTATOW P. II WYTEKAET, ^TO FUNKCIQ loga x (0 < a 6= 1) NEOGRANI^ENA NI SWERHU, NI SNIZU NA SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ (PROMEVUTKE(0; +1)).IV. maxloga x I minloga x NET.|TO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO NA OSNOWE REZULXTATOW P. II.V. nET ^ETNOSTI I NET NE^ETNOSTI, TAK KAK D[loga x] NE SIMMETRI^NAOTNOSITELXNO NA^ALA KOORDINAT.VI. nET PERIODI^NOSTI, TAK KAK IZ PRIWEDENNOGO OPREDELENIQ PERIODI^NOSTI FUNKCII WYTEKAET, ^TO U PERIODI^ESKOJ FUNKCII OBLASTX OPREDELENIQ NE IMEET OGRANI^ENNOSTI NI SWERHU, NI SNIZU, A U LOGARIFMI^ESKOJFUNKCII ONA OGRANI^ENA SNIZU ^ISLOM 0.VII.
loga x = 0 , x = 1, TAK KAK 8a =6 0, W TOM ^ISLE I 0 < a =6 1 :a0 = 1.pRI a > 1 loga x > 0 NA (1; +1); loga x < 0 NA (0; 1), \TO WYTEKAETIZ WOZRASTANIQ FUNKCII y = loga x (SM. VIII).pRI 0 < a < 1 loga x < 0 NA (1; +1); loga x > 0 NA (0; 1), \TOWYTEKAET IZ UBYWANIQ FUNKCII y = loga x (SM. VIII).VIII. fUNKCIQ f(x) = loga x WOZRASTAET (UBYWAET) NA WSEJ SWOEJ OBLASTIOPREDELENIQ (NA PROMEVUTKE (0; +1)) ESLI a > 1 (0 < a < 1).dOKAZATELXSTWO. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE x2 > x1 > 0 I POLOVIMy1 = loga x1; y2 = loga x2, TOGDA ay1 = aloga x1 = x1 < x2 = aloga x2 = ay2 .pUSTX a > 1, W SILU WOZRASTANIQ FUNKCII ax SLEDUET y1 < y2(W PROTIWNOM SLU^AE | y1 > y2 MY BY POLU^ILI, ^TO x1 = ay1 > ay2 = x2 ),SLEDOWATELXNO, loga x1 < loga x2, A POTOMU PRI a > 1 FUNKCIQ y = loga xWOZRASTAET.pUSTX 0 < a < 1 W SILU UBYWANIQ FUNKCII ax SLEDUET y1 > y2(W PROTIWNOM SLU^AE | y1 6 y2 MY BY POLU^ILI, ^TO x1 = ay1 6 ay2 = x2 ),SLEDOWATELXNO, loga x1 > loga x2, A POTOMU PRI 0 < a < 1 FUNKCIQy = loga x UBYWAET.IX.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
