Методичка (3) (1108720), страница 5
Текст из файла (страница 5)
fUNKCIQ f(x) = loga x STROGO WYPUKLA WWERH (WNIZ) NA WSEJ SWOEJOBLASTI OPREDELENIQ (NA PROMEVUTKE (0; +1)) ESLI a > 1 (0 < a < 1).dOKAZATELXSTWO. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE POLOVITELXNYE DEJSTWITELXNYE x1 I x2; x1 =6 x2, OTKUDA (x1 + x2)=2 > 0, TOGDA(x2 x1)2 > 0 , x21 2x1x2 + x22 > 0 ,2x1 + x2, x + 2x1x2 + x > 4x1x2 ,> x1 x2 :2w SILU WOZRASTANIQ (UBYWANIQ) FUNKCII loga x PRI a > 1 (0 < a < 1) IFORMUL LOGARIFMA PROIZWEDENIQ I STEPENI WYTEKAET:21223222 loga x1 +2 x2 = loga x1 +2 x2 > (<)> (<) loga (x1 x2) = loga x1 + loga x2; OTKUDAloga x1 +2 x2 > (<) loga x1 +2 loga x2 ;^TO I OZNA^AET STROGU@ WYPUKLOSTX WWERH (WNIZ) LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCII S OSNOWANIEM a > 1 (0 < a < 1); ^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.X.
gRAFIKI:RIS. 1.3 ARIS. 1.3 BeSLI a > 1, TO PRI x ! +1 (x ! 0 + 0) loga x ! +1 (loga x ! 1),ESLI 0 < a < 1, TO PRI x ! +1 (x ! 0 + 0) loga x ! 1 (loga x ! +1).fORMULIROWKI SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ I DOKAZATELXSTWA BUDUTPRIWEDENY W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.1:9. sWOJSTWA STEPENNOJ FUNKCII S CELYM POKAZATELEM I EEGRAFIKfUNKCIQ WIDA y = f(x) = xn, GDE x 2 R | PEREMENNAQ,n 2 Z | POSTOQNNOE ^ISLO, NAZYWAETSQ STEPENNOJ FUNKCIEJ S CELYM POoPREDELENIE.KAZATELEM.n = 1 \TO ^ASTNYJ SLU^AJ LINEJNOJ FUNKCII, A n = 2 | ^ASTNYJ SLU^AJKWADRATI^NOJ FUNKCII. pRI n = 0 8x 6= 0 f(x) = 1; f(0) NE OPREDELENO.a) sLU^AJ n > 3.I.
D[xn] = ( 1; +1), TAK KAK 8x 2 R ODNOZNA^NO OPREDELENO ^ISLO xn,KAK PROIZWEDENIE n ^ISEL, KAVDOE IZ KOTORYH RAWNO x.II. E[xn] = ( 1; +1), ESLI n = 2k 1; k > 2; k 2 N,E[xn] = [0; +1), ESLI n = 2k; k > 2; k 2 N.dOKAZATELXSTWO. 8n 2 N; 8y0 > 0 SU]ESTWUET EDINSTWENNOE ^ISLOn y0 ; x0n = y0 . w TO VE WREMQ PRI n = 2k IZ SWOJSTWx0 > 0 : x0 = pOPERACII UMNOVENIQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL SLEDUET, ^TOp8x 2 R xn == x2k > 0, PRIp n = 2k 1 8 y0 < 0 SU]ESTWUET x0 = n jy0 j : xn0 == x20k 1 = ( n jy0 j)n = ( 1)2k 1jy0 j = jy0j = y0 .33III. iZ REZULXTATOW P. II I SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ WYTEKAET, ^TONA WSEJ EE OBLASTI OPREDELENIQ PRI NE^ETNOM n FUNKCIQ xn NE OGRANI^ENANI SWERHU, NI SNIZU, A PRI ^ETNOM n ONA OGRANI^ENA SNIZU I NE OGRANI^ENASWERHU.IV. eSLI n = 2k, TO SU]ESTWUET minf(x) = f(0) = 0, TAK KAK 8x 2 R :x2Rnx > 0, NE SU]ESTWUET maxf(x), ^TO LEGKO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO NAx2ROSNOWE REZULXTATOW P.II; ESLI VE n = 2k 1, TO IZ P.II WYTEKAET OTSUTSTWIENAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ U FUNKCII xn NA WSEJ EE OBLASTIOPREDELENIQ, ^TO TAKVE DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO.V.
D[xn] = ( 1; +1) SIMMETRI^NA OTNOSITELXNO x0 = 0.eSLI n = 2k, TO 8x 2 R ( x)n = ( 1)n xn = xn, TO ESTX8x 2 R ) f( x) = f(x), SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ ^ETNAQ.eSLI VE n = 2k 1, TO 8x 2 R ( x)n = ( 1)n xn = xn ,TO ESTX 8x 2 R ) f( x) = f(x), SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE^ETNAQ.VI. 8n 2 N FUNKCIQ y = xn NE PERIODI^ESKAQ. pREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE ^ISLA T =6 0 TAKOGO, ^TO 8x 2 R ) (x + T)n = xn, POLAGAQ x = 0,POLU^IM, ^TO T n = 0, A W SILU REZULXTATOW P.
VII, BUDET SLEDOWATX, ^TOT = 0, PRI[LI K PROTIWORE^I@.VII. iZ SWOJSTW OPERACII UMNOVENIQ DEJSTWITELXNYH ^ISEL WYTEKAET:ESLI n = 2k, TO f(x) = xn > 0 NA INTERWALAH ( 1; 0) I (0; +1), A ESLIn = 2k 1, TO f(x) = xn > 0 NA INTERWALE (0; +1) I f(x) = xn < 0 NAINTERWALE ( 1; 0). tAK KAK 8n 2 N PRI x = 0 ) xn = 0, TO x0 = 0 |EDINSTWENNYJ NULX FUNKCII.VIII. pUSTX x1; x2 | PROIZWOLXNYE IZ DEJSTWITELXNYE ^ISLA, UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM x2 > x1 > 0, TOGDA 8n 2 N W SILU SWOJSTW^ISLOWYH NERAWENSTW WYTEKAET x2 n > x1 n, SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ y = xnWOZRASTAET NA PROMEVUTKE [0; +1).pUSTX TEPERX x1; x2 | PROIZWOLXNYE IZ DEJSTWITELXNYE ^ISLA, UDOWLETWORQ@]IE NERAWENSTWAM x1 < x2 6 0 () 0 6 x2 < x1 .tOGDA PRI n = 2k W SILU ^ETNOSTI FUNKCII I SWOJSTW NERAWENSTW( x1 )n = xn1 > xn2 = ( x2)n , SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ y = xn UBYWAETNA PROMEVUTKE ( 1; 0],PRI n = 2k 1 W SILU NE^ETNOSTI FUNKCII I SWOJSTW NERAWENSTW ( x1 )n == xn1 < xn2 = ( x2 )n , SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ y = xn WOZRASTAETNA PROMEVUTKE ( 1; 0].
w SILU EE WOZRASTANIQ I NA PROMEVUTKE [0; +1),ONA BUDET WOZRASTA@]EJ I NA WSEJ OBLASTI OPREDELENIQ ( 1; +1), POSKOLXKU SLU^AI 0 > x1 < x2 I x1 < x2 6 0 UVE RASSMOTRENY, A PRIx1 < 0 < x2 ) x1 < x2 ; xn1 < 0n = 0 < xn2 ) 8x1; x2 2 R : x1 < x2 )) (x1 )n < (x2)n .34IX. pRI n > 2 FUNKCIQ xn STROGO WYPUKLA WNIZ NA WSEJ SWOEJ OBLASTIOPREDELENIQ PRI n ^ETNOM; PRI n NE^ETNOM ONA STROGO WYPUKLA WNIZ NAPROMEVUTKE [0; +1) I STROGO WYPUKLA WWERH NA PROMEVUTKE ( 1; 0].|TOT FAKT DLQ PROIZWOLXNOGO n > 1 UDAETSQ DOKAZATX S PRIMENENIEM TEOREM, SWQZANNYM SO ZNAKOM WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII, SOOTWETSTWU@]IETEOREMY DOKAZYWA@TSQ W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.X. gRAFIKI FUNKCIJ:RIS. 1.4 ARIS.
1.4 BO(0 ; 0) | TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII y = xn S OSQMI Ox I Oy.b). sLU^AJ n 6 1. pOLOVIM n = m, GDE UVE m 2 N.I. D[xn] = D[x m ] = ( 1; 0) [ (0; +1), TAK KAK 8x =6 0 xm =6 0, A POTOMUxn = x m = x1m OPREDELENO, NO PRI x = 0 ) xm = 0, PO\TOMU xn = 1=xmNE OPREDELENO.II. E[xn] = E[x m] = (0; +1), ESLI n = 2k; k 2 N; E[xn] = E[x m ] == ( 1; 0) [ (0; +1), ESLI n = (2k 1); k 2 N. |TOT SLU^AJ DOKAZYWAETSQANALOGI^NO SLU^A@ NATURALXNOGO ZNA^ENIQ n, OTMETIM TOLXKO, ^TO TAK KAK8x =6 0 : 1=xm =6 0, A POTOMU y0 = 0 2= E[xn].III.
iZ REZULXTATOW P. II SLEDUET NEOGRANI^ENNOSTX FUNKCII xn NI SWERHU, NI SNIZU WSEJ EE OBLASTI OPREDELENIQ, ODNAKO W SOOTWETSTWII S PROMEVUTKAMI ZNAKOPOSTOQNSTWA \TOJ FUNKCII ONA NA PROMEVUTKE (0; +1)OGRANI^ENA SNIZU I NE OGRANI^ENA SWERHU, W SLU^AE ^ETNOGO n ONA TAKVEOGRANI^ENA SNIZU I NE OGRANI^ENA SWERHU NA PROMEVUTKE ( 1; 0), W SLU^AENE^ETNOGO n ONA OGRANI^ENA SWERHU I NE OGRANI^ENA SNIZU NA PROMEVUTKE( 1; 0).IV. tAKIM VE OBRAZOM, KAK I W SLU^AE NATURALXNOGO n IZ P.
II WYTEKAETNESU]ESTWOWANIE xminf(x) PRI n = (2k 1) I xmaxf(x) PRI L@BOM2D[f ]2D[f ]n 6 1. |TO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO.pODROBNEE OSTANOWIMSQ NA DOKAZATELXSTWE NESU]ESTWOWANIQ xminf(x)2D[f ]PRI n = 2k. eSLI PREDPOLOVITX EGO SU]ESTWOWANIE, TO ON BUDET RAWENNEKOTOROMU ^ISLU m0 > 0. a SOGLASNO REZULXTATAM P. II, W ^ASTNOSTI, DLQ^ISLA m0 =2 SU]ESTWUET x00 : f(x00 ) = m0 =2 < m0 , PRI[LI K PROTIWORE^I@.35V. D[xn ] = D[x m ] = ( 1; 0) [ (0; +1) SIMMETRI^NA OTNOSITELXNOx0 = 0.eSLI n = 2k , m = 2k (k 2 N), TO 8x 2 R ( x)n = 1=( x)m == 1=( x)2k = 1=x2k = 1=xm = x m = xn, TO ESTX 8x 2 R; f( x) = f(x),SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ ^ETNAQ.eSLI VE n = (2k 1) , m = 2k 1, TO 8x 2 R ( x)n = 1=( x)m == 1=( x)2k 1 = 1=x2k 1 = 1=xm = x m = xn , TO ESTX8x 2 R; f( x) = f(x), SLEDOWATELXNO, FUNKCIQ NE^ETNAQ.VI.
nEPERIODI^NOSTX FUNKCII WYTEKAET IZ TOGO, ^TO ^ISLOx = 0 62 D[xn] , PO\TOMU, PREDPOLAGAQ NALI^IE PERIODA T 6= 0 U \TOJ FUNKCII, MY POLU^IM SU]ESTWOWANIE, NAPRIMER, ^ISLA x = T 2 D[xn] , NO^ISLO x + T = 0 62 D[xn] , TEM SAMYM, POLU^IM PROTIWORE^IE S OPREDELENIEM PERIODI^ESKOJ FUNKCII.VII. iZ P. II WYTEKAET, ^TO NULEJ FUNKCIQ NE IMEET, A INTERWALY ZNAKOPOSTOQNSTWA U NEE TAKIE VE (W ZAWISIMOSTI OT ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTIn), ^TO I W SLU^AE NATURALXNOGO POKAZATELQ n.VIII. fUNKCIQ y = xn UBYWAET NA PROMEVUTKE (0; +1) PRI L@BOMn 6 1, A TAKVE ONA UBYWAET NA PROMEVUTKE ( 1; 0) PRI n = (2k 1) IWOZRASTAET NA \TOM PROMEVUTKE PRI n = 2k.dLQ DOKAZATELXSTWA FIKSIRUEM PROIZWOLXNYE x2 > x1 > 0, TAK KAK PRI\TOM x2 m > x1 m > 0, TO W SILU SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTWx2n = x2 m = x1m < x1m = x1 m = x1 n:21dALEE, RASSMATRIWAQ PROIZWOLXNYE ^ISLA, OBOZNA^AEMYE ZA x1 I x2 ,GDE x1 < x2 < 0 , 0 < x2 < x1, SOWER[ENNO ANALOGI^NO SLU^A@ NATURALXNOGO POKAZATELQ n NA OSNOWE ^ETNOSTI (NE^ETNOSTI) FUNKCII y = xn ISWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW DOKAZYWAETSQ, ^TO ( x1 )n = (x1 )n < (x2)n == ( x2 )n, TO ESTX ( x1 )n < ( x2 )n PRI n = 2k (( x1 )n = (x1)x >> (x2)n = ( x2 )n, TO ESTX ( x1 )n > ( x2)n PRI n = (2k 1)), STALOBYTX, FUNKCIQ y = xn WOZRASTAET (UBYWAET) NA PROMEVUTKE ( 1; 0).zAME^ANIE.
nEOBHODIMO OTMETITX, ^TO PRI n = (2k 1) UBYWANIQFUNKCII y = xn NA OB_EDINENII PROMEVUTKOW ( 1; 0) [ (0; +1) NET!eSLI, K PRIMERU, x2 > 0 > x1 ) x2 > x1 , TO TAKVE I x2 n > 0 > x1n , TO ESTXx2 n > x1 n.IX. fUNKCIQ xn STROGO WYPUKLA WNIZ NA PROMEVUTKE (0; +1) PRI L@BOMCELOM n 6 1, PRI ^ETNOM OTRICATELXNOM n ONA TAKVE STROGO WYPUKLAWNIZ NA PROMEVUTKE ( 1; 0), A PRI NE^ETNOM OTRICATELXNOM n | STROGOWYPUKLA WWERH NA \TOM PROMEVUTKE.|TI FAKTY BUDUT USTANOWLENY NIVE, W P.
1:10.36X. gRAFIKI FUNKCIJ:RIS. 1.4 WRIS. 1.4 GoTMETIM E]E, ^TO TAK KAK ^ISLO 0 NE PRINADLEVIT NI K OBLASTI OPREDELENIQ, NI K OBLASTI ZNA^ENIJ FUNKCII y = xn W RASSMATRIWAEMOM SLU^AE,GRAFIKI \TIH FUNKCIJ NE IME@T TO^EK PERESE^ENIQ S OSQMI KOORDINAT.pRI n 6 1 MOVNO OBRATITX WNIMANIE NA POWEDENIE FUNKCII PRIx ! 0 0 I x ! 1. eSLI n = 2k, TO SOOTWETSTWENNO f(x) ! +1 If(x) ! 0 + 0. eSLI n = (2k 1), TO SOOTWETSTWENNO f(x) ! 1 If(x) ! 0 0. zNANIJ FORMULIROWOK SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ I DOKAZATELXSTW NE TREBUETSQ.zAME^ANIE. w U^EBNOJ LITERATURE PO OPREDELENI@ KRIWYE, QWLQ@]IESQGRAFIKAMI FUNKCIJ y = xn PRI n = 2 I n = 1, NAZYWA@TSQ SOOTWETSTWENNO PARABOLOJ I GIPERBOLOJ.dOPOLNITELXNYJ MATERIAL K RAZDELU "aLGEBRA"mATERIAL \TOGO DOPOLNENIQ ZNATX WESXMA POLEZNO I WAVNO, POSKOLXKU ONDOWOLXNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ PRI RE[ENII ZADA^.
zNAKOMSTWO S NIM POLEZNOPERED BOLEE PODROBNYM EGO IZU^ENIEM W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.rE^X POJDET O PONQTII SLOVNOJ FUNKCII, PROILL@STRIROWANNOGO RAZLI^NYMI PRIMERAMI.oPREDELENIE SLOVNOJ FUNKCII. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA NANEKOTOROM MNOVESTWE X, KOTOROE (ILI, BYTX MOVET, ^ASTX EGO) QWLQETSQOBLASTX@ IZMENENIQ FUNKCII x = '(t), OPREDELENNOJ NA MNOVESTWE T. tOGDA GOWORQT, ^TO NA MNOVESTWE T OPREDELENA SLOVNAQ FUNKCIQ y = f('(t)),QWLQ@]AQSQ SUPERPOZICIEJ DWUH FUNKCIJ y = f(x) I x = '(t), x S^ITA@TPROMEVUTO^NYM ARGUMENTOM \TOJ SLOVNOJ FUNKCII.oTMETIM, ^TO ANALOGI^NO MOVNO WWESTI OPREDELENIE SLOVNOJ FUNKCII, QWLQ@]EJSQ SUPERPOZICIEJ PROIZWOLXNOGO KONE^NOGO KOLI^ESTWA n(GDE n 2 N; n > 2) FUNKCIJ y = fn (fn 1(fn 2 (:::(f2(f1 (x))):::))), GDE x| NEZAWISIMAQ PEREMENNAQ, PRINIMA@]AQ ZNA^ENIQ IZ MNOVESTWA X |OBLASTI OPREDELENIQ KAK FUNKCII y1 = f1 (x), TAK I WSEJ SLOVNOJ FUNKCIIy = fn (fn 1 (fn 2(:::(f2(f1 (x))):::))).37dLQ UDOBSTWA BUDEM S^ITATX, ^TO OBLASTX IZMENENIQ Ei FUNKCII yi == fi (yi 1 ) ESTX OBLASTX OPREDELENIQ Di+1 SLEDU@]EJ FUNKCII yi+1 == fi+1 (yi ), GDE i = 1; 2; ::: ; n 1; y0 = x; yn = y, yi (i = 1; 2; ::: ; n 1)| PROMEVUTO^NYE ARGUMENTY \TOJ SLOVNOJ FUNKCII.pRIMERY: 10 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
