Методичка (3) (1108720), страница 6
Текст из файла (страница 6)
y = f('(t)) = sin t2, SUPERPOZICIQ DWUH FUNKCIJ, ZDESXy = f(x) = sinx; x = '(t) = pt2 , x | PROMEVUTO^NYJ ARGUMENT;20 . y = f(g('(t))) = ecos t , SUPERPOZICIQ TREHp FUNKCIJ, ZDESXy = f(u) = eu ; u = g(x) = cos x; x = '(t) = t, x; u | PROMEVUTO^NYEARGUMENTY. 2x03 . y = log2 arcsin x4 + 1 , SUPERPOZICIQ FUNKCIJ y = f(u) =2= log2 u; u = g(v) = arcsin v; v = '(x) = x4x+ 1 , ZDESX u; v | PROMEVUTO^NYE ARGUMENTY. ~ITATELQM PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO ISSLEDOWATXOBLASTI OPREDELENIQ I ZNA^ENIJ WSEH FUNKCIJ, SOSTAWLQ@]IH DANNU@ SUPERPOZICI@, W TOM ^ISLE I OBLASTX IZMENENIQ FUNKCII y = f(u(v(x))) == f(g('(x))).zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO W PRIMERE 10 x > 0, HOTQ FUNKCIQ y = sin xOPREDELENA DLQ WSEH x 2 R (\TIM I OB_QSNQETSQ OGOWORKA W SKOBKAH "BYTXMOVET, ^ASTX EGO"); W PRIMERE 20 D[x] = [0; +1) I E[x] = [0; +1) I HOTQ D[g] = D[cos] = ( 1; +1) MOVNO W DANNOJ SITUACII RASSMATRIWATXFUNKCI@ KOSINUS, OPREDELENNU@ LI[X NA PROMEVUTKE [0; +1).
pOSLEDNEEOBSTOQTELXSTWO I OB_QSNQET TO "UDOBSTWO", O KOTOROM GOWORILOSX W OPREDELENII SUPERPOZICII n FUNKCIJ. oTMETIM TAKVE, ^TO W PRIMERE 30 FUNKCIQv = '(x) ESTX REZULXTAT WYPOLNENIQ ARIFMETI^ESKIH DEJSTWIJ NAD PEREMENNOJ x (WOZWEDENIQ W KWADRAT I ^ETWERTU@ STEPENX, TO ESTX | UMNOVENIQ, SLOVENIQ x4 + 1 I DELENIQ), PRI \TOM MOVNO FUNKCI@ v = '(x) PREDSTAWITX W WIDE SUPERPOZICII FUNKCIJ: w = h(x) = x2 I v = '(w) = w2w+ 1 ,TO ESTX v = '(h(x)).
tAKIM OBRAZOM, KOLI^ESTWO FUNKCIJ, SOSTAWLQ@]IHSUPERPOZICI@, NE QWLQETSQ, WOOB]E GOWORQ, ODNOZNA^NYM.dALEE, RASSMOTRIM WOPROS O SWOJSTWAH STEPENNOJ FUNKCII S PROIZWOLXNYM DEJSTWITELXNYM POKAZATELEM (S \TIMI SWOJSTWAMI POLEZNO POZNAKOMITXSQ PERED IZU^ENIEM \TOGO WOPROSA W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA)I GRAFIKE DROBNO-LINEJNOJ FUNKCII.1:10.
sWOJSTWA STEPENNOJ FUNKCII S DEJSTWITELXNYM POKAZATELEMI EE GRAFIKfUNKCIQ WIDA y = f(x) = x, GDE x 2 R | PEREMENNAQ, 2 R | POSTOQNNOE ^ISLO, NAZYWAETSQ STEPENNOJ FUNKCIEJ S DEJSTWIoPREDELENIE.TELXNYM POKAZATELEM.38wY[E BYLI RASSMOTRENY ^ASTNYE SLU^AI \TOJ FUNKCII PRI = n 2 ZI = n 2 Z + , GOWORILOSX I O SLU^AE = n = 0. pREVDE WSEGO MY OTMETIM,^TO PRI L@BOM DEJSTWITELXNOM x > 0 WYRAVENIE x MOVNO S POMO]X@OSNOWNOGO LOGARIFMI^ESKOGO TOVDESTWA, FIKSIRUQ PROIZWOLXNOE DEJSTWITELXNOE ^ISLO a TAKOE, ^TO 0 < a =6 1, PREDSTAWITX W WIDE x = aloga x == a loga x . sLEDOWATELXNO, NA OSNOWE SWOJSTW IZU^ENNYH WY[E POKAZATELXNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIJ NA PROMEVUTKE (0; +1) MOVNO S^ITATXOPREDELENNOJ FUNKCI@ y = x = aloga x = a loga x , TEM SAMYM RASSMATRIWAQ EE KAK SUPERPOZICI@ TREH FUNKCIJ: y = au; u = v; v = loga x(TO ESTX SOOTWETSTWENNO | POKAZATELXNOJ, LINEJNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ).tAKIM OBRAZOM, NA PROMEVUTKE (0; +1) PRI L@BOM FIKSIROWANNOM 2 RMOVNO S^ITATX OPREDELENNOJ FUNKCI@ y = x .pARALLELXNO BUDUT RASSMATRIWATXSQ SLU^AI > 0 I < 0, KOTORYE WSWO@ O^EREDX SLEDUET RAZBITX NA PODSLU^AI:A) 2 R n Q (TO ESTX IRRACIONALXNOE ^ISLO); 2 Q, TO ESTX = pq , GDEB) p = 2m 1; q = 2n; p = (2m 1); q = 2n ;W) p = 2m; q = 2n 1; p = 2m; q = 2n 1 ;G) p = 2m 1; q = 2n 1; p = (2m 1); q = 2n 1 ;WEZDE m I n FIKSIROWANNYE NATURALXNYE ^ISLA, PRI^EM nod (jpj; q) = 1.wY[E, W KONCE IZLOVENIQ WOPROSOW O SWOJSTWAH POKAZATELXNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIJ OTME^ALOSX (BEZ DOKAZATELXSTWA) IH POWEDENIE NAGRANICAH OBLASTI OPREDELENIQ, TO ESTX POWEDENIQ PRI x ! +1; x ! 1I x ! 0 + 0 (STREMLENIE K NUL@ SPRAWA, TO ESTX OSTAWAQSX BOLX[E NULQ).fIKSIRUEM (DLQ OPREDELENNOcTI) PROIZWOLXNOE ZNA^ENIE a > 1, PREDSTAWIM NA PROMEVUTKE (0; +1) x W WIDE x = a loga x , TOGDA TAK KAK PRIx ! +1 loga x ! +1, TO PRI > 0(< 0) loga x ! +1( 1), A POTOMUx = a loga x ! +1 (0 + 0); PRI x ! 0 + 0 loga x ! 1, TOGDA PRI >> 0(< 0) loga x ! 1(+1), A POTOMU x = a loga x ! 0 + 0 (+1) (TO^NOTAKIE VE REZULXTATY POLU^A@TSQ, ESLI RASSMATRIWATX SLU^AJ 0 < a < 1).sLEDOWATELXNO, MY MOVEM PRI > 0 ESTESTWENNYM OBRAZOM DOOPREDELITXFUNKCI@ y = x I PRI x = 0, POLAGAQ 8 2 R+ : 0 = 0.
pRI < 0 MYBUDEM S^ITATX FUNKCI@ y = x PRI x = 0 NE OPREDELENNOJ.pOSKOLXKU PRI 8 2 R n Q (SLU^AJ A)) I 8x 2 R WYRAVENIE xNA MNOVESTWER NE OPREDELENO (TO ESTX x 2= R), A PRI 2 Q (SLU^AJ B))px = q xp TAKVE PRI x 2 R NA MNOVESTWE R NE OPREDELENO (PRI x < 0xp < 0, A q = 2n | ^ETNOE ^ISLO), POLU^AEM W SLU^AQH A) I B)I. D[x] = [0; +1) ((0; +1)) PRI > 0 ( < 0).II. E[x] = [0; +1) ((0; +1)) PRI > 0 ( < 0).|TOT FAKT SLEDUET IZ SLEDU@]IH RASSUVDENIJ: FIKSIRUEM PROIZWOLX39NOE y0 2 R+ , TO ESTX y0 > 0, TOGDA PREDSTAWLQQ x W WIDE x = a loga x(0 < a =6 1), POLU^AEM, ISHODQ IZ PP. II ISSLEDOWANIJ POKAZATELXNOJ, LINEJNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIJ, 9! u0 2 R : au0 = y0 ; 9! v0 2 R :v0 = u0 (v0 = u0 =) ; 9! x0 2 R+ (x0 > 0) : loga x0 = v0 (x0 = av0 ), TAKIMOBRAZOM, 8y0 2 R+ 9! x0 2 R+ : x0 = a loga x0 = av0 = au0 = y0 , PRI \TOM8x 2 R+ x = a loga x > 0, TAK KAK E[ax ] = (0; +1), W TO VE WREMQ TAKKAK PRI > 0 0 = 0, OKON^ATELXNO POLU^AEM SPRAWEDLIWOSTX REZULXTATA OB OBLASTI ZNA^ENIJ STEPENNOJ FUNKCII PRI RASSMOTRENNYH SLU^AQH EEPOKAZATELQ.III.
sOOTWETSTWU@]IE OGRANI^ENNOSTI I NEOGRANI^ENNOSTI FUNKCII WYTEKA@T IZ REZULXTATOW P. II I IV.IV. maxx NET PRI 8 2 R n f0g; minx NET PRI 8 2 R ,A PRI 8 2 R+ minx = 0 = 0.w SLU^AE OTSUTSTWIQ NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ (TO ESTXPRI < 0 I OTSUTSTWIQ NAIBOLX[EGO ZNA^ENIQ PRI > 0) DOKAZATELXSTWOPROWODITSQ W POLNOJ ANALOGII, KAK I W SLU^AE POKAZATELXNOJ FUNKCIIy = ax PRI 0 < a =6 1, SU]ESTWOWANIE NAIMENX[EGO ZNA^ENIQ FUNKCIIPRI > 0 SLEDUET IZ EGO OPREDELENIQ I NESU]ESTWOWANIQ OTRICATELXNYHZNA^ENIJ \TOJ FUNKCII, USTANOWLENNYH W P.
II.V. fUNKCIQ x NE QWLQETSQ ^ETNOJ I NE QWLQETSQ NE^ETNOJ.|TOT FAKT WYTEKAET NE SIMMETRI^NOSTI D[x] OTNOSITELXNO x0 = 0.VI. fUNKCIQ x NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ.|TOT FAKT WYTEKAET IZ TOGO, ^TO D[x] QWLQETSQ OGRANI^ENNOJ SNIZU^ISLOM 0, A W PRIWEDENNOM OPREDELENII PERIODI^ESKOJ FUNKCII PREDPOLAGAETSQ NEOGRANI^ENNOSTX S OBEIH STORON (SWERHU I SNIZU) EE OBLASTI OPREDELENIQ, A TAKVE | IZ EE STROGOJ MONOTONNOSTI (SM. NIVE P. VIII).VII. fUNKCIQ x NE IMEET NULEJ PRI L@BOM < 0 I IMEET EDINSTWENNYJNULX x0 = 0 PRI L@BOM > 0 ; x > 0 WS@DU NA (0; +1) PRI L@BOM =6 0.|TI FAKTY SLEDU@T IZ REZULXTATOW P.
II.VIII. fUNKCIQ x WOZRASTAET NA [0; +1) PRI L@BOM > 0 I UBYWAET NA(0; +1) PRI L@BOM < 0.dLQ DOKAZATELXSTWA FIKSIRUEM PROIZWOLXNYE DEJSTWITELXNYE 0 < x1 << x2 , TOGDA, SNOWA PREDSTAWLQQ NA PROMEVUTKE (0; +1) x W WIDE a loga xPRI a > 1, W SILU WOZRASTANIQ FUNKCIJ ax I loga x, A TAKVE | SWOJSTWA4 ^ISLOWYH NERAWENSTW (SM. [1], RAZDEL II, P. 2.1, WOPROS 3) POLU^AEM, ^TOv1 = loga x1 < loga x2 = v2 , u1 = loga x1 < (>) loga x2 = u2 PRI > 0(< 0).
sLEDOWATELXNO, x1 = y1 = au1 < (>)au2 = y2 = x2 , TO ESTX xWOZRASTAET (UBYWAET) NA (0; +1) PRI > (<)0. tAK KAK 8n 2 R+ x > 0,40TO W SLU^AE > 0, POLAGAQ 0 = x1 < x2 , POLU^AEM 0 = x1 < x2 .IX. fUNKCIQ x STROGO WYPUKLA WNIZ NA PROMEVUTKE [0; +1) PRI > 1I PRI < 0, ONA STROGO WYPUKLA WWERH NA \TOM PROMEVUTKE PRI 0 < < 1.|TI FAKTY DLQ > 0 UDAETSQ DOKAZATX S PRIMENENIEM TEOREM, SWQZANNYM SO ZNAKOM WTOROJ PROIZWODNOJ FUNKCII. sOOTWETSTWU@]IE TEOREMYDOKAZYWA@TSQ W KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.dLQ < 0 DOKAZATELXSTWO MOVNO PROWESTI METODAMI \LEMENTARNOJ MATEMATIKI, OPIRAQSX NA STROGU@ WYPUKLOSTX POKAZATELXNOJ I LOGARIFMI^ESKOJ FUNKCIJ.
fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE POLOVITELXNYE DEJSTWITELXNYE x1 I x2, x1 =6 x2 , OTKUDA (x1 + x2)=2 > 0 , TOGDA W SILU STROGOJWYPUKLOSTI WWERH FUNKCII loga x; STROGOJ WYPUKLOSTI WNIZ I WOZRASTANIQFUNKCII ax PRI a > 1, OTRICATELXNOSTI n, OSNOWNOGO LOGARIFMI^ESKOGOTOVDESTWA I FORMULY LOGARIFMA STEPENI BUDEM IMETXloga x1 +2 x2 > loga x1 +2 loga x2 ) loga x1 +2 x2 < loga x1 +2 loga x2 ;OTKUDAxx1 + x2 = aloga ( x1 +2 x2 ) = a loga x1 +2 x2 < a loga x1 +log2 a 2 <2 loga x1 + a loga x2 x + xaxx1 + x2 .1 + x212<=)<2222X. gRAFIKI FUNKCIJ: SLU^AI A) I B)RIS. 1.4 DRIS.
1.4 ERIS. 1.4 VO(0 ; 0) - TO^KA PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII y = x S OSQMI Ox I Oy(W SLU^AQH > 0). o POWEDENII \TIH FUNKCIJ NA GRANICAH OBLASTEJ OPREDELENIQ (W SLU^AQH < 0) SKAZANO WY[E.pEREHODIM K RASSMOTRENI@ SLU^AEW W) I G).w SLU^AE W) 8x =6 0 ) ( x)p = xp = jxjp > 0 p = 2m, ESLI > 0 Ip = 2m, ESLI < 0,A W SLU^AE G) 8x =6 0 ) ( x)p = xp (PRI x > 0 x < 0 I ( x)p = xp =p= jxj , A PRI x < 0 x > 0 I ( x)p = j xjp = jxjp = xp , xp = jxjp),p = 2m 1, ESLI > 0 I p = (2m 1), ESLI < 0.41eSLI DOOPREDELITX FUNKCII x W RASSMATRIWAEMYH SLU^AQH POKAZATELQ NA WSE OTRICATELXNYE ZNA^ENIQ x PO PRAWILAM: x = jxj W SLU^AE W)I x = jxj W SLU^AE G) (SM., NAPRIMER, U^EBNIK[20]),pMY ESTESTWENNYMppOBRAZOM POLU^IM, ^TO W SLU^AE W) 8x =6 0 ) q ( x)p = q xp = q jxjp == jpxjp=q > 0, PO\TOMU WNE ZAWISIMOSTI OT ZNAKA x S^ITAEM ( x)p=q def=def pqqp=qpp= ( x) I x = x , TOGDA KAK RAZ I POLU^ATSQ RAWENSTWA ( x)p=q == xp=q = jxjp=q , A W SLU^AEG) S U^ETOM NE^ETNOSTI^ISLA q (q = 2n 1)ppp8x > 0 ( x < 0) ) q ( x)pp = pq xp = q xp = q jxjp = jxjp=q , PO\TOMUESLI S^ITATX ( x)p=q def= q ( x)p , TO KAK RAZ I POLU^AEMp( x)p=q=pp=qp=q= jxj = j( x)j , A 8x < 0 ( x > 0; x = jxj) ) q xp = q jxjp =pp= q jxjp = jxjp=q , PO\TOMU ESLI S^ITATX xp=q def= q xp , TO KAK RAZ IPOLU^AEM xp=q = jxjp=q .zAME^ANIE.
w SLU^AE > 0 RAWENSTWA x = jxj W SLU^AE W) I x = jxjW SLU^AE G) O^EWIDNYM OBRAZOM SPRAWEDLIWY I DLQ x = 0.pEREHODIM K FORMULIROWKAM I OBOSNOWANIQM SWOJSTW FUNKCII y = xW SLU^AQH W) I G).sOGLASNO PROWEDENNOMU DOOPREDELENI@ STEPENNOJ FUNKCII DLQ UKAZANNYH W RASSMATRIWAEMYH SLU^AQH ZNA^ENIJ POKAZATELQ POLU^AEM:I. D[x] = ( 1; +1) (( 1; 0) [ (0; +1)) PRI > 0 ( < 0).II. E[x] = [0; +1) ((0; +1)) PRI > 0 ( < 0) W SLU^AE W) ;E[x] = ( 1; +1) (( 1; 0) [ (0; +1)) PRI > 0 ( < 0) W SLU^AE G).dOKAZATELXSTWA.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
