Методичка (3) (1108720), страница 2
Текст из файла (страница 2)
x2 x1 > 0WSEGDA, PO\TOMU ZNAK RAZNOSTI f(x2 ) f(x1 ) ZAWISIT OT ZNAKA WYRAVENIQa(x1 + x2 ( b)=a), A ON I OPREDELQETSQ SFORMULIROWANNYMI W USLOWIQHP. VII DANNYMI SLEDU@]IM OBRAZOM: ESLI x2 > x1 > b=2a(x1 < x2 6 b=2a), TO W SILU SWOJSTW^ISLOWYH NERAWENSTWbbx1 > 2ax2 6 2ax2 > 2abb ,x1 < 2ab,PO^LENNO SKLADYWAQ \TI NERAWENSTWA,MYPOLU^IM:x1 + x2 >a , (x1 + x2 ( b)=a) > 0 x1 + x2 < ab , (x1 + x2 ( b)=a) < 0 ,A UVE OTS@DA WSE OPREDELQETSQ ZNAKOM ^ISLA a.IX.
wYPUKLOSTX KWADRATI^NOJ FUNKCIIfUNKCIQ f(x) = ax2 + bx + c STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA WSEJ SWOEJOBLASTI OPREDELENIQ (NA PROMEVUTKE ( 1; +1)) ESLI a > 0 (a < 0).dOKAZATELXSTWO. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE x1 I x2 2 R; x1 =6 x2: sRAWNIM RAZNOSTX WYRAVENIJ:f x1 +2 x2f(x1 ) + f(x2 ) S ^ISLOM 0 :22f(xxxx1 ) + f(x2 )1 + x21 + x21 + x2f=a+b+c2222ax21 + bx1 + c ax22 + bx2 + c = 1 a(x2 + 2x x + x2 2x2 2x2) =1 2212224 12= a4 x21 2x1 x2 + x22 = a(x1 4 x2) :2eSLI a > 0 (a < 0), TO PRI x1 6= x2 ) a(x1 4 x2) < 0 (> 0), A POTOMU W KONE^NOM ITOGE DLQ KWADRATI^NOJ FUNKCII IMEET MESTO NERAWENSTWO(10 ) ((20 )) STR. 6, ^TO I OZNA^AET EE WYPUKLOSTX WNIZ (WWERH) NA ( 1; +1);^TO I TREBOWALOSX DOKAZATX.15X.
gRAFIKI: (SM. RIS. 1.1 A | E)RIS. 1.1 ARIS. 1.1 BRIS. 1.1 WRIS. 1.1 GRIS. 1.1 DRIS. 1.1 E(0; c) OB]AQ TO^KA GRAFIKA FUNKCII S OSX@ Oy (IBO f(0) = c); (x1 ; 0);(x2 ; 0) TO^KI PERESE^ENIQ GRAFIKA FUNKCII y = f(x) S OSX@ Ox PRI D > 0;PRI D = 0 \TO TO^KA KASANIQ, x1 = x2 = x0 = b=2a; PRI D < 0 TAKIHTO^EK NET.zAME^ANIE.
mONOTONNOSTX f(x) MOVET BYTX DOKAZANA I S POMO]X@ PROIZWODNOJ, ODNAKO PRI PRIMENENII TEOREMY OB U^ASTKAH WOZRASTANIQ(UBYWANIQ) PRI f 0 (x) > 0 (f 0 (x) < 0) \TO MOVNO UTWERVDATX LI[X NA( b=2a; +1) ILI ( 1; b=2a), A NE NA [ b=2a; +1) ILI ( 1; b=2a].1:4. sWOJSTWA STEPENEJ S NATURALXNYMI I CELYMI POKAZATELQMIsTEPENX@ NAZYWAETSQ WYRAVENIE a , GDE ^ISLO a NAZYWAETSQ OSNOWANIEM STEPENI, A ^ISLO NAZYWAETSQ POKAZATELEM STEPENI.pUSTX a | DEJSTWITELXNOE^ISLO :8< a;ESLI n = 1(1)an def= : aa;ESLIn > 2 n 2 N;a| {z }defnESLI n = 0; a 6= 0, TO a = 1; 00 NE OPREDELENO.a n def= a1n ; GDE a =6 0; n 2 N;n0 NE OPREDELENO.016(2)iZ (2) PRI n < 0 ) 1=a n = a ( n) = an (TAK KAK n > 0),a = 1 = 1=1 = 1=a0 PRI L@BOM a 6= 0.
sLEDOWATELXNO, 8a 6= 0 I8m 2 Z (GDE Z | MNOVESTWO CELYH ^ISEL) WYTEKAET RAWENSTWO:0a m = a1m :(3)sWOJSTWA. dLQ L@BYH CELYH ^ISEL m I p1. (ab)m = am bm ,6. ESLI m > 0; a > b > 0, TO am > bm , a > b, a mm2. b = abm ,ESLI m < 0; 0 < a < b, TO am > bm , a < b,3. am ap = am+p ,^ITATELQM SAMOSTOQTELXNO RASSMOTRETX SLU^AI:mpmp4. a : a = a ,am > bm ; am < bm ; am 6 bm .5. (am )p = amp ,sWOJSTWA 1 | 5 SPRAWEDLIWY DLQ L@BYH a; b 2 R, DLQ KOTORYH OPREDELENY LEWYE I PRAWYE ^ASTI WYPISANNYH RAWENSTW, W ^ASTNOSTI, DLQ L@BYHOTLI^NYH OT NULQ a; b 2 R, SWOJSTWO 6 | DLQ L@BYH UKAZANNYH a; b 2 R.dOKAZATELXSTWA a) (bb b) = am bm ,1. (a) m 2 N : (ab)m = (ab)(ab) (ab)} = (aa|{z| {z } | {z }mmm(b) m = 0 : (ab)m = (ab)0 = 1 = 1 1 = a0b0 = am bm ,1 = 1 =(c) m = n; n 2 N : (ab)m = (ab) n = (ab)n anbn11= an bn = a n b n = am bm ) 1 DOKAZANO; a m2.
(a) m 2 N :b= b|mz }| {aa a = am ,=b{z b } bb b} bm| {za aamm0m(b) m = 0 : b = b = 1 = 11 = ab0 = abm , m n1 =(c) m = n; n 2 N : ab = ab= (a=b)nnm= an1=bn = ab n = b 1n a n = abm ) 2 DOKAZANO; a m a 03. (a) m > 0; p > 0; m; p 2 N :am ap = aa a} aa a} = aa a} = am+p ,| {z| {z| {zmpm+p17(b) m 2 Z; p = 0 :am ap = am a0 = am 1 = am = am+0 = am+p ,SLU^AJ m = 0; p 2 Z RASSMATRIWAETSQ ANALOGI^NO,W ^ASTNOSTI, m = p = 0 :am ap = a0 a0 = 1 1 = 1 = a0 = a0+0 = am+p ,(c) m > 0; p < 0, TOGDA p = n; n 2 N :() m > n ) m n 2 N : am ap = am a n == am : an = an+(m n) : an = (an am n ) : an = am n == am+( n) = am+p ,() m = n ) m n = 0 : am ap = am a n = am : an == am : am = 1 = a0 = am m = am n = am+( n) = am+p ,() m < n ) n m 2 N : am ap = am a n == am : an = am : (am+(n m) ) = am : (am an m ) == 1 : an m = a (n m) = am n = am+p ,(d) m < 0; p > 0 RASSMATRIWAETSQ ANALOGI^NO,(e) m < 0; p < 0, TOGDA m = q; p = n; n; q 2 N :am+p = a( q)+( n) = a (q+n) = aq1+n = aq 1 an == a q a n = am ap ) 3 POLNOSTX@ DOKAZANO;4.
ap am p = ap+(m p) = am ) am p = am : ap ) 4 DOKAZANO;5. (a) m > 0; p > 0 :(am )p = (aa a) (aa a) (aa a) = aa a = amp ,| {z } | {z } | {z } | {z }mpmm }pm 2 Z; p = 0 : (am )p = (am )0 = 1 = a0 = am0 = amp ;m = 0; p 2 Z : (am )p = 1p = 1 = a0 = a0p = amp ;W ^ASTNOSTI, m = p = 0 : (am )p = (a0 )0 = 10 = 1 = a0 == a00 = amp ,|(b)m{z(c) m < 0; p > 0 ) m =p q; q 2 N :p(am )p = (a q )p = a1q = (a1q )p = a1qp = a qp == a( q)p = amp ,(d) m > 0; p < 0 ) p = n; n 2 N :1 = a mn = am( n) = amp ,(am )p = (am ) n = (am1 )n = amn(e) m < 0; p < 0 ) m = q; p = n; n; q 2 N :(am )p = (a n) q = (a 1n )q = a( 1n)q = a ( nq) = anq == a( n)( q) = amp ) 5 POLNOSTX@ DOKAZANO;186. m > 0, \TO SWOJSTWO SRAZU WYTEKAET IZ SWOJSTWA 10 ^ISLOWYH NERAWENSTW (SM.
[1], RAZDEL II, P. 2.1, WOPROS 3),m < 0 , m > 0, DALEE TAK VE, KAK I NIVE, DLQ SLU^AQ OTRICATELXNOGO RACIONALXNOGO POKAZATELQ ILI W SILU DOKAZANNOGO NIVE W P. 1.9SWOJSTWA MONOTONNOSTI STEPENNOJ FUNKCII S CELYM POKAZATELEM.tAKIM OBRAZOM, WSE SWOJSTWA STEPENEJ S CELYMI I, W ^ASTNOSTI, S NATURALXNYMI POKAZATELQMI DOKAZANY.1:5. sWOJSTWA ARIFMETI^ESKIH KORNEJ n - OJ STEPENI. sWOJSTWASTEPENEJ S RACIONALXNYMI POKAZATELQMIoPREDELENIE 1. pUSTX ^ISLA a; b 2 R. ~ISLO b NAZYWAETSQ KORNEM n-OJSTEPENI (n 2 N) IZ ^ISLA a (ALGEBRAI^ESKIM KORNEM), ESLI bn = a.
eSLIa > 0; b > 0, TO ^ISLO b NAZYWAETSQ ARIFMETI^ESKIM KORNEM n-OJ STEPENIIZ ^ISLA a. aRIFMETI^ESKIJ KORENX OBOZNA^AETSQ TAK:pb = n a.|TO OBOZNA^ENIE PRIMENQETSQ I DLQ SLU^AQ NE^ETNOGO n I OTRICATELXNOGO a (a < 0), PRI \TOM TAKVE b < 0.pRI n = 1 b = a, TAK KAK a1 = a, PRI n = 2 p2 a = pa.w [KOLXNOM KURSE BEZ DOKAZATELXSTWA PRINIMAETSQ SU]ESTWOWANIE ARIFMETI^ESKOGO KORNQ n - OJ STEPENI; EGO EDINSTWENNOSTX LEGKO DOKAZYWAETSQ OT PROTIWNOGO NA OSNOWE UTWERVDENIQ O ^ISLOWYH NERAWENSTWAH: ESLIa > b > 0, TO PRI L@BOM NATURALXNOM n a > b (a < b) , an > bn an < bn .o PONQTII STEPENI SM.
WY[E P. 1:4, SM. TAKVE DOPOLNITELXNYJ MATERIALK P. 1:5 O SU]ESTWOWANII I KOLI^ESTWE DEJSTWITELXNYH KORNEJ.p def pqqoPREDELENIE 2. pUSTX p 2 Z; q 2 N; a > 0; a 2 R, a = ap ,pW ^ASTNOSTI, PRI p = 1 a 1q = pq a, ESLI p 2 N, TO a q OPREDELENO I DLQa = 0.peSLI q < 0, TO a q def= a jqj , ODNAKO WSE SWOJSTWA STEPENEJ S RACIONALXNYMI POKAZATELQMI BUDUT FORMULIROWATXSQ I DOKAZYWATXSQ DLQ SLU^AQ,KOGDA U POKAZATELEJ = p=q; = r=s | q 2 N; s 2 N, TO ESTX q; s > 0.sWOJSTWA KORNEJ n - OJ STEPENI:pESLI n = 2k 1; 8k 2 N; 8a 2 R1. n an = a,jaj, ESLI n = 2k; 8k 2 N; 8a 2 R ;ppn a n b; 8n 2 N; 8a > 0; b > 0; a; b 2 R ;2. n ab = prpn aan3. b = pn ; 8n 2 N; 8a > 0; b > 0; a; b 2 R ;pn m pnb m4. a = ( a) ; 8m; n 2 N; 8a > 0; a 2 R ;p19pn m mn ka = a = a , 8m; n; k 2 N; k = m : n; 8a > 0; a 2 R,pn m k pn ra = a a , 8m; n; k; r 2 N; m = nk + r;0 < r 6 n 1; 8a > 0; a 2 R ;ppp6.
m n a = mn a, 8m; n 2 N; 8a > 0; a 2 R ;pp7. m an = q ap , 8m; n; p; q; k 2 N : m = kq; n = kp;8a > 0; a 2 R ;pp p8. n am q ap = nq amq+np , 8p; q; m; n 2 N; 8a > 0; a 2 R,pn m pq p nqp mq npa : a = a, 8p; q; m; n 2 N; 8a > 0; a 2 R.sWOJSTWA STEPENEJ. dLQ L@BYH RACIONALXNYH ^ISEL I :1. (ab) = a b ;6. a > b , a > b > 0; > 0. 2. ab = ab ;a > b , 0 < a < b; < 0,3. a a = a+ ;^ITATELQM SAMOSTOQTELXNO RASSMOTRETX SLU^AI:4.
a : a = a ;a > b; a < b; a 6 b .5.5. (a ) = (a ) = a .sWOJSTWA 1 | 5 SPRAWEDLIWY DLQ WSEH DEJSTWITELXNYH a I b, PRI KOTORYH OPREDELENY LEWYE I PRAWYE ^ASTI WYPISANNYH RAWENSTW, W ^ASTNOSTI,DLQ L@BYH a > 0; b > 0; a; b 2 R, SWOJSTWO 6 | DLQ L@BYH UKAZANNYHa; b 2 R.dOKAZATELXSTWAI. sWOJSTWA KORNEJiH DOKAZATELXSTWA OSNOWANY NA OPREDELENII KORNQ, EDINSTWENNOSTI KORNQ (W SWOJSTWE 1. PRIMENQETSQ E]E EDINSTWENNOSTX ALGEBRAI^ESKOGO KORNQNE^ETNOJ STEPENI IZ OTRICATELXNOGO ^ISLA) I SWOJSTWAH STEPENEJ S NATURALXNYMI POKAZATELQMI.pp= an I (a)n = an ) n an = a; n = p2k 1, ESLIn = 2k,1. ( n an )n defpTO TAK KAK an = jajn, DLQ L@BOGO n 2 N n an = n jajn = jaj,^TO WYWODITSQ TO^NO TAK VE, KAK I W SLU^AE n = 2k 1 (PRI \TOMISPOLXZUETSQ TO, ^TO jaj > 0) ;pppn a n b)n = ( pn a)n( n b)n = ab ) 2 ;2. ( n ab)n def= ab; ( pp r nn a n ( pn a)naa ) 3;def anpp3.=;==nnnbbbb( b)pn m n def m pn m n pn n m4.
( a ) = a ; (( a) ) = (( a) ) = (a)m = am ) 4 ;20p5. ( n am )n = am ; (ak )n = akn = am ) 5,ppp(ak n ar )n = (ak )n( n ar )n = aknar = akn+r = am ; ( n am )n = am ) 5 ;pmn pm nnana= m p= ( pn a)n = a; ( mnpa)mn def= a ) 6;6. m pppppqpqpp7. m an = kq akp =6: k q apk =5: k q (ap )k =4: k ( q ap )k = q ap ;pp pp pp8. n am q ap =7: nq amq nq apn =2: nq amq apn =1: nq amq+pn ,ANALOGI^NO RASSMATRIWAETSQ SLU^AJ ^ASTNOGO S ISPOLXZOWANIEM SWOJSTWA 4 STEPENEJ.II.
sWOJSTWA STEPENEJp1. pUSTX = mn , GDE m 2 Z; n 2 N (ab) = (ab) mn = n (ab)m =pp pn m mn mn = n am bm = mn am rb = a br = a b p; a a n a mnn am = pam = a ;n2. b = b ==nbbmbm b3. 3. I 4. WYTEKA@T IZ SWOJSTW KORNEJ 8. I OPREDELENIQ STEPENI:pp pmq+npPUSTX = pq , a a = n am q ap = nq amq+np = a nq =mq npp= a nq + nq p= a mn +pq = a+p ;mq npmq np4. a : ma p= n am : q ap = nq amq np = a nq = a nq nq == a n q =pa p ; q pqp5. (a ) = ( n am ) q = q ( n (am ))p = q n (am )p =ppppmp= q n amp = nq amp = a nq = a mn q = a ,ANALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO (a ) = a = a = (a ) ;6. > 0 ) = m=n; m; n 2 N, W SILU TOLXKO ^TO DOKAZANNOGOSWOJSTWA 5 I UTWERVDENIQ O ^ISLOWYH NERAWENSTWAH: ESLI a > b > 0, TO PRIL@BOM NATURALXNOM n a > b (a < b) , an > bn an < bn IMEEM am=n >> bm=n , (a1=n )m > (b1=n)m , a1=n > b1=n , (a1=n)n > (b1=n)n , a > b, < 0 , > 0, PO DOKAZANNOMU I W SILU SWOJSTWA 9 ^ISLOWYHNERAWENSTW (SM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
