Методичка (5) (1108722)
Текст из файла
3.gEOMETRIQw \TOM RAZDELE METODI^ESKOGO POSOBIQ MY OSTANOWIMSQ NA LI[X NEKOTORYH WOPROSAH [KOLXNOGO KURSA GEOMETRII, KOTORYE, NA NA[ WZGLQD, MOGUTBYTX ISPOLXZOWANY PRI IZU^ENII NEKOTORYH RAZDELOW WYS[EJ MATEMATIKI,W ^ASTNOSTI, ANALITI^ESKOJ GEOMETRII.bOLEE PODROBNOE IZLOVENIE WOPROSOW GEOMETRII MOVNO NAJTI, NAPRIMER, W RANEE IZDAWAW[IHSQ KNIGAH a.b. bUDAKA I b.m. }EDRINA PO PODGOTOWKE K USTNOMU WSTUPITELXNOMU \KZAMENU PO MATEMATIKE NA FAKULXTETwmk mgu. pOSLEDNEE IZDANIE BYLO W 2007 G. POD NAZWANIEM "|LEMENTARNAQMATEMATIKA. mETODI^ESKIE UKAZANIQ K OTWETAM NA TEORETI^ESKIE WOPROSYBILETOW USTNOGO \KZAMENA PO MATEMATIKE", m: "makspress" (SM. [1]).w SWQZI S IZLOVENIEM LI[X ^ASTI WOPROSOW GEOMETRII, KOTORYE WYNOSILISX NA USTNYJ WSTUPITELXNYJ \KZAMEN PO MATEMATIKE NA FAKULXTET wmk(DO 2008 G.) WOZMOVNY W OTDELXNYH SLU^AQH SSYLKI NA TEOREMY, IZLOVENNYE W POSOBII POZDNEE, ^EM W TEKU]EM PUNKTE, ILI WOOB]E W POSOBII NEIZLOVENNYE.
oDNAKO \TI TEOREMY W SWOEM DOKAZATELXSTWE NA DANNU@ DOKAZYWAEMU@ TEOREMU ILI KAKIE-LIBO WYWODY IZ NEE NIKAK NE OPIRA@TSQ.sTALO BYTX, OB]AQ LOGI^ESKAQ STRUKTURA OSWE]ENIQ WOPROSOW \LEMENTARNOJ GEOMETRII PRI \TOM NE NARU[ENA.oTMETIM, ^TO L@BOJ POSLEDOWATELXNO IZLAGAEMYJ KURS GEOMETRII DOLVEN STROITXSQ NA BAZE RQDA WWODIMYH PERWI^NYH (NEOPREDELQEMYH) PONQTIJ I AKSIOM.
w KA^ESTWE TAKIH PONQTIJ WYSTUPA@T: TO^KA, PRQMAQ,PLOSKOSTX.3:1. tEOREMY O PERESE^ENII MEDIAN, PERESE^ENII BISSEKTRIS IPERESE^ENII WYSOT TREUGOLXNIKA. nEKOTORYE ANALOGI TEOREMY OPERESE^ENII MEDIAN TREUGOLXNIKA DLQ TREUGOLXNOJ PIRAMIDYsFORMULIRUEM OPREDELENIQ TREUGOLXNIKA (KONTURNOGO I PLOSKOGO KAK^ASTI PLOSKOSTI), SEREDINNOGO PERPENDIKULQRA K OTREZKU, MEDIANY, BISSEKTRISY I WYSOTY TREUGOLXNIKA.pONQTIE PLOSKOGO TREUGOLXNIKA OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM,^TO WSQKAQ PRQMAQ, LEVA]AQ W NEKOTOROJ PLOSKOSTI, DELIT EE NA DWE POLUPLOSKOSTI.|TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII.pRI \TOM DWE TO^KI, NE LEVA]IE NA UKAZANNOJ PRQMOJ, S^ITA@TSQ LEVA]IMI W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH (W ODNOJ POLUPLOSKOSTI) OTNOSITELXNO\TOJ PRQMOJ, ESLI OTREZOK S KONCAMI W \TIH TO^KAH IMEET WNUTRENN@@TO^KU, LEVA]U@ NA UKAZANNOJ PRQMOJ, TO ESTX EE PERESEKAET (NE IMEETWNUTRENNIH TO^EK NA \TOJ PRQMOJ, TO ESTX EE NE PERESEKAET).93nAPOMNIM, KAK WWODQTSQ OPREDELENIQ OTREZKA I LU^A, ISPOLXZUEMYE WDALXNEJ[IH RASSUVDENIQH.oTREZKOM PRQMOJ BUDEM NAZYWATX WSQKOE MNOVESTWO TO^EK \TOJ PRQMOJ, SOSTOQ]EE IZ DWUH TO^EK I WSEH TO^EK \TOJ PRQMOJ, LEVA]IH MEVDU*1 \TIMI DWUMQ TO^KAMI.eSLI TO^KI A I B SOWPADA@T (A B ), TO OTREZOK AA ILI BB NAZYWAETSQ NULEWYM, ESLI TO^KI A I B | RAZLI^NYE (A 6 B ), TO OTREZOK AB(OTREZOK PRQMOJ) BUDEM NAZYWATX NENULEWYM.kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ), LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A I B , BUDEMNAZYWATX WNUTRENNEJ TO^KOJ OTREZKA AB .
kAVDU@ TO^KU PRQMOJ (AB ),OTLI^NU@ OT TO^KI A I OT TO^KI B I NE LEVA]U@ MEVDU TO^KAMI A IB , BUDEM NAZYWATX WNE[NEJ TO^KOJ OTREZKA AB . sAMI TO^KI A I B ,OPREDELQ@]IE OTREZOK AB , BUDEM NAZYWATX KONCAMI OTREZKA AB (SM.RIS. 3.1).RIS. 3.1nA RIS. 3.1 AB | NENULEWOJ OTREZOK, C | EGO WNUTRENNQQ TO^KA,D | EGO WNE[NQQ TO^KA, EE | NULEWOJ OTREZOK (TO^KA).pONQTIE LU^A OSNOWYWAETSQ NA UTWERVDENII O TOM, ^TO WSQKAQ TO^KA,LEVA]AQ NA NEKOTOROJ PRQMOJ, DELIT EE NA DWE POLUPRQMYE W TOM SMYSLE,^TO WSQKIE DWE TO^KI ODNOJ POLUPRQMOJ (RAZNYH POLUPRQMYH) NE RAZDELQ@TSQ (RAZDELQ@TSQ) UKAZANNOJ TO^KOJ, TO ESTX UKAZANNAQ TO^KA NE LEVIT(LEVIT) MEVDU \TIMI DWUMQ TO^KAMI.
e]E SOOTWETSTWENNO GOWORQT, ^TO DWETO^KI PRQMOJ NE RAZDELQEMYE (RAZDELQEMYE) DANNOJ TO^KOJ PRQMOJ LEVATPO ODNU STORONU (PO RAZNYE STORONY) OTNOSITELXNO \TOJ TO^KI.|TO UTWERVDENIE MOVET WYSTUPATX W KA^ESTWE KAK TEOREMY, TAK I AKSIOMY W ZAWISIMOSTI OT TOGO, KAKAQ IZ SISTEM AKSIOM LEVIT W OSNOWE POSTROENIQ KURSA GEOMETRII.pUSTX NA PRQMOJ a WYBRANY TO^KI O I A (O 6 A).lU^OM (POLUPRQMOJ), OPREDELENNYM UKAZANNYMI TO^KAMI, NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH TO^EK PRQMOJ a, RASPOLOVENNYH WMESTE S TO^KOJ A POODNU STORONU OTNOSITELXNO TO^KI O, WKL@^A@]EE W SEBQ I TO^KU A (OBOZNA^AETSQ OA).
tO^KA O NAZYWAETSQ NA^ALOM LU^A, EE S^ITA@T GRANICEJLU^A, A TAKVE TO^KOJ PRILOVENIQ UKAZANNOGO LU^A.eSLI TO^KU O S^ITATX NE PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU W \TOM OPREDELENII MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@T OTKRYTYM LU^OM, A ESLI TO^KU OS^ITATX PRINADLEVA]EJ UKAZANNOMU MNOVESTWU, TO TAKOJ LU^ NAZYWA@TZAMKNUTYM LU^OM.1 * "lEVATX MEVDU" WYSTUPAET PRI DANNOJ SHEME IZLOVENIQ GEOMETRII W KA^ESTWEPERWI^NOGO (NE OPREDELQEMOGO) PONQTIQ.94dOGOWORIMSQ, ^TO ESLI RASSMATRIWATX ZAMKNUTYJ LU^, TO \TO BUDETWSEGDA OGOWARIWATXSQ, ESLI RE^X IDET PROSTO O LU^E, TO POD \TIM BUDETPODRAZUMEWATXSQ OTKRYTYJ LU^.oTMETIM, ^TO W OTLI^II OT OTREZKA, W OBOZNA^ENII KOTOROGO NE SU]ESTWENEN PORQDOK EGO KONCOW, W OBOZNA^ENII LU^A DWUMQ BUKWAMI WSEGDANA PERWOE MESTO BUDET STAWITXSQ EGO NA^ALO.RIS.
3.2 ARIS. 3.2 BsFORMULIROWANNOE UTWERVDENIE O RAZDELENII TO^KOJ, LEVA]EJ NA PRQMOJ a, EE NA DWE POLUPRQMYE OZNA^AET, ^TO NA PRQMOJ a OPREDELENY DWALU^A | LU^ OA I LU^ OA0, GDE A0 ; O; A 2 a I O 2 A0 A. pRI \TOM WAVNOOTMETITX, ^TO LU^I OA I OB , GDE O 62 AB TOVDESTWENNY, TO ESTX PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODNO I TO VE MNOVESTWO TO^EK NA PRQMOJ a (ODIN I TOT VELU^), LU^I OA0 I OB 0 TAKVE TOVDESTWENNY, GDE O 2 AA0 I O 2 BB 0 (SM.RIS. 3.2 A, 3.2 B).eSLI TO^KI A0 , O, A LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ a I O 2 A0 A, TO LU^I OAI OA0 NAZYWA@TSQ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI, KAVDYJ IZ NIH NAZYWAETSQ DOPOLNITELXNYM PO OTNO[ENI@ K DRUGOMU.eSLI ODIN IZ WZAIMNO DOPOLNITELXNYH LU^EJ OBOZNA^ITX h, TO DRUGOJIZ NIH OBOZNA^AETSQ h (SM.
RIS. 3.2 A).oPREDELENIE 1. tREUGOLXNIKOM NAZYWAETSQ FIGURA, SOSTOQ]AQ IZTREH TO^EK, NE LEVA]IH NA ODNOJ PRQMOJ, I TREH POPARNO SOEDINQ@]IHIH OTREZKOW.uKAZANNYE TO^KI NAZYWA@TSQ WER[INAMI TREUGOLXNIKA, A UKAZANNYE OTREZKI NAZYWA@TSQ STORONAMI TREUGOLXNIKA (SM. RIS. 3.3 A).eSLI, NAPRIMER, OBOZNA^ITX BUKWAMI A, B , C WER[INY TREUGOLXNIKA,TO SAM TREUGOLXNIK OBOZNA^AETSQ SIMWOLOM 4ABC .gOWORQT, ^TO WER[INA A (STORONA BC ) PROTIWOLEVIT STORONE BC(WER[INE A), ANALOGI^NO PROTIWOLEVA]IMI DRUG DRUGU QWLQ@TSQ WER[INAB I STORONA AC , WER[INA C I STORONA AB .oTMETIM, ^TO WO MNOGIH SLU^AQH PORQDOK WER[IN W TREUGOLXNIKE NEQWLQETSQ SU]ESTWENNYM, PO\TOMU OBOZNA^ENIQ 4ABC , 4BCA, 4CBA IT.P. PREDSTAWLQ@T SOBOJ ODIN I TOT VE TREUGOLXNIK. oDNAKO W TEH SLU^AQH,KOGDA BUDET SU]ESTWENEN PORQDOK WER[IN ILI STORON TREUGOLXNIKA, \TOSPECIALXNO OGOWARIWAETSQ.oPREDELENIE 2.
wNUTRENNEJ TO^KOJ 4ABC (TO^KOJ, LEVA]EJ WNUTRI 4ABC ) NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA X , KOTORAQ1) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (AB ), ^TO I TO^KA C ;952) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (BC ), ^TO I TO^KA A ;3) LEVIT W TOJ VE POLUPLOSKOSTI (PO ODNU STORONU) OTNOSITELXNOPRQMOJ (AC ), ^TO I TO^KA B .oPREDELENIE 20.
wNUTRENNEJ OBLASTX@ TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ MNOVESTWO WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK. pRI \TOM SAM TREUGOLXNIK: EGO STORONY (WSE WNUTRENNIE TO^KI EGO STORON) I WER[INY NAZYWA@T GRANICEJWNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO TREUGOLXNIKA.RIS. 3.3 ARIS. 3.3 BRIS. 3.3 WsM. RIS. 3.3 B, NA KOTOROM WNUTRENNQQ OBLASTX TREUGOLXNIKA ZA[TRIHOWANA TROJNOJ [TRIHOWKOJ.oPREDELENIE 3. tO^KOJ, LEVA]EJ NA STORONE TREUGOLXNIKA, NAZYWAETSQ WSQKAQ TO^KA Y , QWLQ@]AQSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ \TOJ STORONY.oPREDELENIE 4.
wSQKAQ TO^KA X 0 PLOSKOSTI (ABC ) NAZYWAETSQ WNE[NEJ TO^KOJ 4ABC (TO^KOJ, LEVA]EJ WNE 4ABC ), ESLI ONA NE QWLQETSQEGO WNUTRENNEJ TO^KOJ, NE LEVIT NI NA ODNOJ IZ EGO STORON I NE SOWPADAET NI S ODNOJ IZ EGO WER[IN.oPREDELENIE 5. wSQKIJ TREUGOLXNIK, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@ (MNOVESTWOM WSEH EGO WNUTRENNIH TO^EK), NAZYWAETSQPLOSKIM TREUGOLXNIKOM.oPREDELENIE 6. wNUTRENNIM UGLOM TREUGOLXNIKA ABC PRI WER[INEA NAZYWAETSQ UGOL \BAC , WNUTRENNQQ OBLASTX KOTOROGO SODERVIT WSEBE WNUTRENN@@ OBLASTX \TOGO TREUGOLXNIKA. aNALOGI^NO OPREDELQ@TSQWNUTRENNIE UGLY PRI WER[INAH B I C .pRI \TOM POD WNUTRENNEJ OBLASTX@ UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO KAKFIGURY, OBRAZOWANNOJ DWUMQ LU^AMI, IME@]IMI OB]EE NA^ALO | SOOTWETSTWENNO STORONAMI I WER[INOJ UGLA) PONIMAETSQ PERESE^ENIE OTKRYTYH*2 POLUPLOSKOSTEJ OTNOSITELXNO PRQMYH, SODERVA]IH STORONY UGLA.o PONQTIQH OSTROGO, PRQMOGO I TUPOGO UGLOW SM.
NIVE W P. 3:2.2*sAMI PRQMYE W POLUPLOSKOSTI NE WKL@^ENY.96uGOL, OB_EDINENNYJ SO SWOEJ WNUTRENNEJ OBLASTX@, NAZYWAETSQ PLOSKIM UGLOM.nA RIS. 3.3 B ILL@STRIRU@TSQ OPRELELENIQ 2 | 5, A NA RIS. 3.3 W ILL@STRIRUETSQ OPRELELENIE 6, WNUTRENNIMI UGLAMI 4ABC BUDUT UGLY: \BAC ,\ABC , \ACB .oPREDELENIE 7. sEREDINNYM PERPENDIKULQROM K OTREZKU NAZYWAETSQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ ^EREZ SEREDINU OTREZKA I PERPENDIKULQRNAQ EMU(TO ESTX OBRAZU@]AQ PRQMOJ UGOL S SOVERVA]EJ EGO PRQMOJ).oPREDELENIE 8. mEDIANOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ WER[INY, NAZYWAETSQ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ \TU WER[INU S SEREDINOJ PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONY TREUGOLXNIKA.oPREDELENIE 9.
bISSEKTRISOJ TREUGOLXNIKA, PROWEDENNOJ IZ DANNOJWER[INY, NAZYWAETSQ OTREZOK BISSEKTRISY WNUTRENNEGO UGLA TREUGOLXNIKA, SOEDINQ@]IJ \TU WER[INU S TO^KOJ NA PROTIWOLEVA]EJ EJ STORONE.oPREDELENIE 90 . bISSEKTRISOJ UGLA NAZYWETSQ LU^, PROHODQ]IJ WOWNUTRENNEJ OBLASTI UGLA, WER[INA KOTOROGO SOWPADAET S WER[INOJ UGLA,DELQ]IJ SOOTWETSTWU@]IJ PLOSKIJ UGOL NA DWA RAWNYH PLOSKIH UGLA.mOVNO DOKAZATX, ^TO KAVDYJ NENULEWOJ UGOL* 3 IMEET EDINSTWENNU@BISSEKTRISU; KAVDYJ LU^ S WER[INOJ W WER[INE UGLA PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTI UGLA (OSTROGO, PRQMOGO, TUPOGO) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAON IMEET OB]U@ WNUTRENN@@ TO^KU S L@BYM OTREZKOM, KONCY KOTOROGO NESOWPADA@T S WER[INOJ UGLA, A LEVAT: ODIN NA ODNOJ STORONE UGLA, DRUGOJ| NA DRUGOJ EGO STORONE.oPREDELENIE 10.
Характеристики
Тип файла PDF
PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.
Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
