Методичка (5) (1108722), страница 3
Текст из файла (страница 3)
aNALOGI^NYM OBRAZOM, PROWODQTRETX@ MEDIATRISSU DD0 , MY DOKAVEM, ^TO ONA PERESE^ETSQ, NAPRIMER, SMEDIATRISSOJ AA0 W TAKOJ TO^KE O0 , ^TO jAO0j = 3jAA0j : 4. sLEDOWATELXNO,jAO0j = jAOj ) AO0 = AO, A POTOMU TO^KI O I O0 SOWPADA@T. aNALOGI^NAQSITUACIQ BUDET I S ^ETWERTOJ MEDIATRISSOJ BB 0 . iTAK, WSE ^ETYRE MEDIATRISSY TETRA\DRA ABCD : AA0; BB 0 ; CC 0; DD0 PERESEKLISX W TO^KE O(SM. RIS. 3.8) IjAOj = jBOj = jCOj = jDOj = 3 .jOA0j jOB 0j jOC 0j jOD0j 1tEOREMA 40 DOKAZANA.tEOREMA 5. bISSEKTRISY TREUGOLXNIKA PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.RIS. 3.9 ARIS. 3.9 BdOKAZATELXSTWOsM.
RIS. 3.9 A. rASSMOTRIM W 4ABC BISSEKTRISY AD I CF . w SILUTEOREMY 3 ONI (KAK OTREZKI) PERESEKA@TSQ W NEKOTOROJ TO^KE O, \TA TO^KA NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTI TREUGOLXNIKA ABC , A POTOMU | WOWNUTRENNEJ OBLASTI KAVDOGO IZ EGO WNUTRENNIH UGLOW. w SILU TOGO, ^TOBISSEKTRISA UGLA | MNOVESTWO WSEH TO^EK, RAWNOUDALENNYH OT STORON UGLA, LU^I AD I CF | BISSEKTRISY \BAC I \BCA SOOTWETSTWENNO, TO(O; (AC )) = (O; (AB ))* 5 I (O; (AC )) = (O; (BC )).
sLEDOWATELXNO,(O; (AB )) = (O; (BC )) I TAK KAK O | WNUTRENNQQ TO^KA \ABC , TO O LEVIT NA BISSEKTRISE BE \ABC (SM. RIS. 3.9 B). iTAK, WSE TRI BISSEKTRISY4ABC AD, BE , CF PERESEKLISX W ODNOJ I TOJ VE TO^KE O. oTMETIM, ^TOESLI BY MY RASSMATRIWALI, NAPRIMER, TO^KU O0 PERESE^ENIQ BISSEKTRIS5 * (O ; (AB )) | RASSTOQNIE OT TO^KI O DO PRQMOJ (AB ), ONO PO OPREDELENI@ ESTXDLINA OTREZKA PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZ TO^KI O NA PRQMU@ (AB ).102AD I BE , TO TAKVE DOKAZALI, ^TO ONA OKAZALASX BY NA BISSEKTRISE CF . wSILU EDINSTWENNOSTI BISSEKTRIS UGLOW I EDINSTWENOSTI TO^KI PERESE^ENIQPRQMYH TO^KI O I O0 SOWPADUT. tEOREMA 5 POLNOSTX@ DOKAZANA.tO^KA PERESE^ENIQ BISSEKTRIS UGLOW TREUGOLXNIKA | CENTR WPISANNOJW NEGO OKRUVNOSTI, POSKOLXKU SOGLASNO TEOREME O BISSEKTRISE UGLA KAKMNOVESTWE TO^EK, RAWNOUDALENNYH OT STORON UGLA, TO^KA PERE^E^ENIQ BISSEKTRIS UGLOW TREUGOLXNIKA I BUDET RAWNOUDALENA OT STORON TREUGOLXNIKA.pRI \TOM OKRUVNOSTX NAZYWAETSQ WPISANNOJ W TREUGOLXNIK ILI MNOGOUGOLXNIK, ESLI WSE EGO STORONY KASA@TSQ \TOJ OKRUVNOSTI (TO ESTX KAVDAQ IZ STORON IMEET S \TOJ OKRUVNOSTX@ EDINTWENNU@ OB]U@ TO^KU).
pRI\TOM RADIUS OKRUVNOSTI, PROWEDENNYJ W TO^KU KASANIQ, PERPENDIKULQRENKASATELXNOJ, DLINA VE \TOGO RADIUSA | PERPENDIKULQRA, PROWEDENNOGO IZCENTRA OKRUVNOSTI NA STORONY TREUGOLXNIKA, QWLQETSQ PO OPREDELENI@RASSTOQNIEM OT CENTRA OKRUVNOSTI DO STORONY TREUGOLXNIKA, W DANNOMSLU^AE WSE TRI RASSTOQNIQ RAWNY).RIS. 3.10wYSOTY TREUGOLXNIKA (ILI SODERVA]IE IH PRQMYE) PERESEKA@TSQ W ODNOJ TO^KE.tEOREMA6.RIS. 3.11 ARIS. 3.11 BdOKAZATELXSTWOsM. RIS.
3.11 A. pROWEDEM W PLOSKOSTI (ABC ) ^EREZ TO^KU A PRQMU@a k (BC ), ^EREZ TO^KU B PRQMU@ b k (AC ) I ^EREZ TO^KU C PRQMU@c k (AB ). dOKAVEM, ^TO L@BYE DWE IZ \TIH PRQMYH PERESEKA@TSQ. rASSMOTRIM PRQMYE a I b. pRQMYE a I b NE SOWPADA@T, TAK KAK TO^KA B 62 a, NOB 2 b. eSLI PREDPOLOVITX, ^TO b k a, TO W SILU TRANZITIWNOSTI SWOJSTWAPARALLELXNOSTI PRQMYH (AC ) k b; b k a; a k (BC ) ) (AC ) k (BC ), ^TOPROTIWORE^IT PERESE^ENI@ PRQMYH (AC ) I (BC ) W TO^KE C .
iTAK, PRQMYEa I b PERESEKA@TSQ W TO^KE C 0. aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TO PRQMYE a Ic PERESEKA@TSQ W TO^KE B 0 , I PRQMYE b I c PERESEKA@TSQ W TO^KE A0 .103w KNIGE [1] DOKAZANO, ^TO WSE TO^KI A0, B 0 , C 0 | RAZLI^NYE;0TO^KA A I PRQMAQ a (B 0 C 0) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQHOTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ); TO^KA B 0 I PRQMAQ b (A0 C 0) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ (AC ); TO^KA C 0 I PRQMAQc (A0 B 0 ) BUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQzAME^ANIE.MOJ (AB ), TO ESTX DEJSTWITELXNO IMEET MESTO TO, ^TO IZOBRAVENO NA RIS.3.11 A I B.w ^ETYREHUGOLXNIKE C 0BCA C 0 B k AC; C 0A k BC , SLEDOWATELXNO,0C BCA | PARALLELOGRAMM, A POTOMU C 0A = BC .
w ^ETYREHUGOLXNIKEABCB 0 BC k AB 0 ; AB k B 0 C , SLEDOWATELXNO, ABCB 0 | PARALLELOGRAMM,A POTOMU AB 0 = BC . iZ C 0A = BC I AB 0 = BC WYTEKAET C 0 A = AB 0 ,TO ESTX TO^KA A | SEREDINA OTREZKA C 0B 0 . aNALOGI^NO DOKAZYWAETSQ, ^TOC 0B = BA0 I A0C = CB 0 , TO ESTX TO^KA B | SEREDINA OTREZKA A0 C 0 ITO^KA C | SEREDINA OTREZKA A0 B 0 . sEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKUB 0 C 0 BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (BC ) (W SILU SWOJSTW PARALLELXNYH PRQMYH (SM.
NIVE P. 3:5)), PO TOJ VE PRI^INESEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKU A0 B 0 BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (AB ), cEREDINNYJ PERPENDIKULQR K OTREZKU A0 C 0BUDET PERPENDIKULQREN I K PARALLELXNOJ EMU PRQMOJ (AC ). w SILU TEOREMY 1 SEREDINNYE PERPENDIKULQRY K STORONAM 4A0B 0 C 0 PERESEKA@TSQ WODNOJ TO^KE O, KOTORAQ I BUDET TO^KOJ PERESE^ENIQ PRQMYH, SODERVA]IHWYSOTY 4ABC . tEOREMA 6 DOKAZANA.oPREDELENIE 5. tO^KA PERESE^ENIQ PRQMYH, SODERVA]IH WYSOTY TREUGOLXNIKA NAZYWAETSQ ORTOCENTROM \TOGO TREUGOLXNIKA.nA RIS. 3.11 W, G, D PROILL@STRIROWANY SLU^AI RASPOLOVENIQ ORTOCENTRA TREUGOLXNIKA: W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, KOGDA TREUGOLXNIK OSTROUGOLXNYJ, W WER[INE PRQMOGO UGLA, KOGDA TREUGOLXNIK PRQMOUGOLXNYJ(W \TOM SLU^AE DWE EGO WYSOTY SOWPADA@T S EGO STORONAMI | KATETAMI),WO WNE[NEJ OBLASTI, KOGDA TREUGOLXNIK TUPOUGOLXNYJ.RIS.
3.11 WRIS. 3.11 GRIS. 3.11 DpODROBNYE OBOSNOWANIQ \TIH RASPOLOVENIJ SM. W KNIGE [1].1043:2. pROPORCIONALXNOSTX OTREZKOW W PRQMOUGOLXNOM TREUGOLXNIKE. tEOREMA pIFAGORAw DANNOM P. I W POSLEDU@]IH RASSUVDENIQH MY BUDET ISPOLXZOWATXWAVNOE PONQTIE DLINY OTREZKA.dLINOJ NENULEWOGO OTREZKA NAZYWAETSQ POSTAWLENNOE W SOOTWETSTWIE OTREZKU POLOVITELXNOE ^ISLO, UDOWLETWORQ@]EE USLOWIQM:1) sU]ESTWUET OTREZOK, DLINA KOTOROGO RAWNA 1 (TAKOJ OTREZOK E]ENAZYWA@T MAS[TABNYM OTREZKOM ILI EDINICEJ IZMERENIQ OTREZKOW).2) rAWNYE OTREZKI (OTREZKI KOTORYE MOGUT SOWPASTX PRI NALOVENII* 6)IME@T RAWNYE DLINY.3) dLINA SUMMY** 7 RAWNA SUMME IH DLIN.4) dLINA NULEWOGO OTREZKA S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@ (^ISLU 0).pRI \TOM NULEWYE OTREZKI S^ITA@TSQ RAWNYMI I SUMMA L@BOGO OTREZKAAB S NULEWYM OTREZKOM (SKAVEM, EE ) PO OPREDELENI@ RAWNA OTREZKU AB .w KURSAH WYS[EJ GEOMETRII DOKAZYWAETSQ, ^TO TAKOE OPREDELENIE DLINYOTREZKA KORREKTNO, TO ESTX MOVET BYTX PODOBNYM OBRAZOM WWEDENO.
pRI\TOM TAKOJ PODHOD K WWEDENI@ DLINY OTREZKA NE QWLQETSQ EDINSTWENNYM,W RQDE [KOLXNYH U^EBNIKOW NABL@DAETSQ INOJ PODHOD.oBOZNA^AETSQ DLINA OTREZKA AB :jAB j,jAB j def= (A; B ) | OBOZNA^ENIE RASSTOQNIQ MEVDU TO^KAMI A I B .sOWER[ENNO ANALOGI^NO WWODITSQ PONQTIE WELI^INY (MERY) UGLA. pRI\TOM RAWNYMI UGLAMI NAZYWA@TSQ UGLY, KOTORYE MOGUT BYTX SOWME]ENY(MOGUT SOWPASTX) PRI NALOVENII. pRI \TOM SOWPADUT STORONY UGLOW I IHWNUTRENNIE OBLASTI.sUMMOJ DWUH NENULEWYH UGLOW (IH STORONY | NESOWPADA@]IE LU^I)\COA I \BOC NAZYWAETSQ UGOL \BOA (ON MOVET BYTX OBOZNA^EN I KAK\AOB ), O | WER[INA UGLOW, TO^KI A, B I C LEVAT NA RAZLI^NYH STORONAHSOOTWETSTWU@]IH UGLOW, PRI^EM LU^ OC PROHODIT WO WNUTRENNEJ OBLASTIUGLA \AOB .pRI \TOM OTREZOK UGOL \AOB S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ BOLX[E KAVDOGO IZ UGLOW \AOC I \COB , A KAVDYJ IZ NIH W SWO@ O^EREDX S^ITA@TSQMENX[E UGLA \AOB .6 * pRI PODOBNOM PODHODE K POSTROENI@ KURSA GEOMETRII "NALOVENIE" QWLQETSQ PERWI^NYM PONQTIEM, A OTNO[ENIE RAWENSTWA | OPREDELQETSQ.7 ** sUMMOJ DWUH NENULEWYH OTREZKOW AC I CB NAZYWAETSQ OTREZOK AB , GDE TO^KAC LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B (NA PRQMOJ (AB )), PRI \TOM OTREZOK AB S^ITAETSQ POOPREDELENI@ BOLX[E KAVDOGO IZ OTREZKOW AC I CB , A KAVDYJ IZ NIH W SWO@ O^EREDXS^ITA@TSQ MENX[E OTREZKA AB .
sUMMOJ PROIZWOLXNYH OTREZKOW DE I FG S^ITAETSQOTREZOK, RAWNYJ SUMME OTREZKOW AC I CB , GDE TO^KA C LEVIT MEVDU TO^KAMI A I B NAPRQMOJ AB I SOOTWETSTWENNO DE = AC , FG = CB .105eSLI \AOB + \BOA0 = \AOA0 , GDE \AOA0 | RAZWERNUTYJ UGOL (UGOL,OBRAZOWANNYJ WZAIMNO DOPOLNITELXNYMI LU^AMI, W KA^ESTWE WNUTRENNEJOBLASTI \TOGO UGLA BERETSQ ODNA IZ POLUPLOSKOSTEJ OTNOSITELXNO PRQMOJ,SODERVA]EJ UKAZANNYE LU^I), TO \AOB I \BOA0 NAZYWA@TSQ SMEVNYMI.uGLY \AOB I \B 0 OA0 , GDE PARY LU^EJ OA, OA0 I OB , OB 0 QWLQ@TSQWZAIMNO DOPOLNITELXNYMI, NAZYWA@TSQ WERTIKALXNYMI.sUMMA PROIZWOLXNYH UGLOW \DEF I \GHJ S^ITAETSQ RAWNOJ UGLU\AOB , GDE \DEF = \AOC , \GHJ = \COB , GDE LU^ OC PROHODIT WOWNUTRENNEJ OBLASTI UGLA \AOC .mERA NULEWOGO UGLA (UGLA, OBRAZOWANNOGO SOWPADA@]IMI LU^AMI S OTSUTSTWU@]EJ WNUTRENNEJ OBLASTX@) S^ITAETSQ RAWNOJ NUL@ (^ISLU 0).nULEWYE UGLY PO OPREDELENI@ S^ITA@TSQ RAWNYMI I SUMMA L@BOGO UGLAI NULEWOGO UGLA S^ITAETSQ RAWNOJ DANNOMU UGLU.
kAVDYJ NENULEWOJ UGOLS^ITAETSQ PO OPREDELENI@ BOLX[E NULEWOGO UGLA, A W SWO@ O^EREDX NULEWOJUGOL S^ITAETSQ PO OPREDELENI@ MENX[E NENULEWOGO UGLA.uGOL, RAWNYJ SWOEMU SMEVNOMU UGLU, NAZYWAETSQ PRQMYM, UGOL, BOLX[ENULEWOGO UGLA, NO MENX[E PRQMOGO UGLA NAZYWAETSQ OSTRYM, UGOL, BOLX[EPRQMOGO UGLA, NO MENX[E RAZWERNUTOGO UGLA NAZYWAETSQ TUPYM.RIS. 3.12 ARIS. 3.12 BRIS. 3.12 WnA RIS.
3.12 A \AOB I \A0 OB | SMEVNYE, \AOB | OSTRYJ, \A0 OB| TUPOJ, NA RIS. 3.12 B \AOB I \A0 OB | PRQMYE UGLY, NA RIS. 3.12 W\1, \3 I \2, \4 | PARY WERTIKALXNYH UGLOW.nAIBOLEE RASPROSTRANENNYMI MERAMI UGLOW QWLQ@TSQ: GRADUSNAQ MERA, EDINICEJ IZMERENIQ W NEJ (UGOL W 1 ) QWLQETSQ 1=90 ^ASTX PRQMOGOUGLA I RADIANNAQ MERA UGLA, EDINICA IZMERENIQ W NEJ (UGOL W 1 RADIAN)| CENTRALXNYJ UGOL (ON OBRAZOWAN DWUMQ LU^AMI, SODERVA]IMI RADIUSY OKRUVNOSTI S WER[INOJ W CENTRE OKRUVNOSTI) TAKOJ, ^TO DLINA DUGIOKRUVNOSTI, RASPOLOVENNOJ WNUTRI NEGO, RAWNA RADIUSU OKRUVNOSTI.w RAZDELE "tRIGONOMETRIQ" PRIWODQTSQ SOOTNO[ENIQ, WYRAVA@[IE GRADUSNU@ I RADIANNU@ MERY UGLA MEVDU SOBOJ.oBOZNA^AETSQ WELI^INA UGLA \AOB : AOB .pUSTX IME@TSQ TRI POLOVITELXNYH ^ISLA a, b I c.
gOWORQT, ^TO ^ISLO cESTX SREDNEE PROPORCIONALXNOE MEVDU ^ISLAMI a I b, ESLI a :pc = c : b.sRAZU OTMETIM, ^TO RAWENSTWO a : c = c : b , c2 = a b , c = a b, TOESTX c ESTX SREDNEE GEOMETRI^ESKOE DWUH ^ISEL a I b.\106tEOREMA 1. eSLI IZ WER[INY PRQMOGO UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA NA PRQMU@, SODERVA]U@ EGO GIPOTENUZU, PROWEDEN PERPENDIKULQR,TO OSNOWANIE \TOGO PERPENDIKULQRA QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ GIPOTENUZY.dOKAZATELXSTWOpOSKOLXKU OBA WNUTRENNIE UGLA PRQMOUGOLXNOGO TREUGOLXNIKA (POMIMOPRQMOGO UGLA) QWLQ@TSQ OSTRYMI, TO \TO OSNOWANIE PERPENDIKULQRA NAHODITSQ NA KAVDOM IZ LU^EJ S NA^ALOM KAK W ODNOM, TAK I W DRUGOM KONCEGIPOTENUZY.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
