Методичка (5) (1108722), страница 6
Текст из файла (страница 6)
W U^EBNIKE a.w. pOGORELOWA "gEOMETRIQ", x12, P. 111 I RAZOBRANNU@ W TEKSTE U^EBNIKA (W \TOM VE x)ZADA^U 17. oDNAKO \TI SOOTNO[ENIQ MEVDU STORONAMI I UGLAMI TREUGOLXNIKA MOGUT BYTX DOKAZANY I BEZ TEROREMY SINUSOW, O ^EM MOVNO PRO^ITATX,NAPRIMER, W U^EBNIKE GEOMETRII a.p. kISELEWA.~ITATELQM PREDLAGAETSQ SAMOSTOQTELXNO SFORMULIROWATX I DOKAZATXTEOREMU, OBRATNU@ TEOREME SINUSOW.\3:5.tEOREMY O PARALLELXNYH PRQMYH NA PLOSKOSTIiZ AKSIOMY O TOM, ^TO ^EREZ DWE RAZLI^NYE TO^KI MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PRQMU@, WYTEKAET, ^TO DWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI ILIW PROSTRANSTWE IME@T NE BOLEE ODNOJ OB]EJ TO^KI.oPREDELENIE 1.
dWE PRQMYE, IME@]IE EDINSTWENNU@ OB]U@ TO^KU, NAZYWA@TSQ PERESEKA@]IMISQ, UKAZANNAQ TO^KA NAZYWAETSQ IH TO^KOJPERESE^ENIQ. oBOZNA^A@TSQ a \ b ILI a \ b M (M | TO^KA PERESE^ENIQPRQMYH a I b).iZ AKSIOMY O TOM, ^TO ^EREZ TRI TO^KI, NE LEVA]IE NA ODNOJ PRQMOJ,MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX WYTEKAET, ^TO ^EREZ PRQMU@ I NELEVA]U@ NA NEJ TO^KU, TAK VE KAK I ^EREZ DWE PERESEKA@]IESQ PRQMYEPROHODIT ODNA I TOLXKO ODNA (EDINSTWENNAQ) PLOSKOSTX.oPREDELENIE 2. dWE PRQMYE NA PLOSKOSTI NAZYWA@TSQ PARALLELXNYMI, ESLI ONI NE IME@T OB]IH TO^EK (NE PERESEKA@TSQ) oBOZNA^A@TSQa k b.iZ \TOGO OPREDELENIQ NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET, ^TO a k b , b k a.iZ OPREDELENIQ 2 I UTWERVDENIQ O RAZBIENII NA DWE POLUPLOSKOSTI PRQMOJ, LEVA]EJ NA PLOSKOSTI, WYTEKAET, ^TO KAVDAQ IZ DWUH RAZLI^NYH PA117RALLELXNYH PRQMYH CELIKOM RASPOLAGAETSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO DRUGOJ PRQMOJ, POSKOLXKU W PROTIWNOM SLU^AE \TI PRQMYE PERESEKALISX BY.RIS.
3.16 AaKSIOMA. ~EREZRIS. 3.16 BRIS. 3.16 WTO^KU, NE LEVA]U@ NA DANNOJ PRQMOJ, NELXZQ PROWESTI NA PLOSKOSTI (PROHODQ]EJ ^EREZ UKAZANNYE TO^KU I PRQMU@) BOLEEODNOJ PRQMOJ, PARALLELXNOJ DANNOJ.sLEDSTWIE. eSLI NEKOTORAQ PRQMAQ, PROHODQ]AQ W PLOSKOSTI NEKOTORYH DWUH PARALLELXNYH PRQMYH, PERESEKAET ODNU IZ NIH, TO ONA PERESEKAET I DRUGU@.w KA^ESTWE TEOREMY MOVNO DOKAZATX, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NADANNOJ PRQMOJ, MOVNO PROWESTI NA PLOSKOSTI (PROHODQ]EJ ^EREZ UKAZANNYE TO^KU I PRQMU@) PO KRAJNEJ MERE ODNU PRQMU@, PARALLELXNU@ DANNOJ.w ^ASTNOSTI, \TO MOVET BYTX OBOSNOWANO PUTEM RE[ENIQ SOOTWETSTWU@]EJZADA^I NA POSTROENIE CIRKULEM I LINEJKOJ.sLEDSTWIE. iZ AKSIOMY PARALLELXNOSTI PRQMYH I UKAZANNOJ TEOREMYWYTEKAET, ^TO ^EREZ TO^KU, NE LEVA]U@ NA PRQMOJ (W PLOSKOSTI, SODERVA]EJ \TU TO^KU I PRQMU@), MOVNO PROWESTI W UKAZANNOJ PLOSKOSTI EDINSTWENNU@ PRQMU@, PARALLELXNU@ DANNOJ.
sTALO BYTX, UVE DWUH TAKIH PARALLELXNYH PRQMYH PROWESTI NELXZQ.oT PROTIWNOGO NESLOVNO DOKAZATX, ^TO DWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI, PARALLELXNYE TRETXEJ PRQMOJ NA \TOJ PLOSKOSTI, PARALLELXNY.aNALOGI^NOE UTWERVDENIE SPRAWEDLIWO I DLQ TREH PRQMYH W PROSTRANSTWE.oPREDELENIQ 3. pUSTX DANY DWE PRQMYE a I b, LEVA]IE W ODNOJ PLOSKOSTI.a) pRQMAQ c, PERESEKA@]AQ KAVDU@ IZ NIH I NE PROHODQ]AQ ^EREZ IHOB]U@ TO^KU (ESLI TAKAQ ESTX), NAZYWAETSQ SEKU]EJ.RIS.
3.16 GRIS. 3.16 D118b) pARY UGLOW \ 3 I \ 5 ; \ 4 I \ 6 (\ 1 I \ 7 ; \ 2 I \ 8) NAZYWA@TSQWNUTRENNIMI (WNE[NIMI) ODNOSTORONNIMI.w) pARY UGLOW \ 3 I \ 6 ; \ 4 I \ 5 (\ 1 I \ 8 ; \ 2 I \ 7) NAZYWA@TSQWNUTRENNIMI (WNE[NIMI) NAKREST LEVA]IMI.g) pARY UGLOW \ 1 I \ 5 ; \ 2 I \ 6 ; \ 3 I \ 7 ; \ 4 I \ 8 NAZYWA@TSQSOOTWETSTWENNYMI.RIS.
3.16 ERIS. 3.16 VoTMETIM HARAKTERNYE OSOBENNOSTI NAKREST LEVA]IH I ODNOSTORONNIHUGLOW (SM. RIS. 3.16 G, D, NA KOTORYH NE OBOZNA^ENY TO^KI A0 c \ a IB0 c \ b).u NAKREST LEVA]IH UGLOW (KAK WNUTRENNIH, TAK I WNE[NIH) OBRAZU@]IEIH LU^I NA PRQMYH a I b (A0A I B0 B 0 ILI A0 A0 I B0 B ) RASPOLOVENY WRAZNYH POLUPLOSKOSTQH OTNOSITELXNO PRQMOJ c.u ODNOSTORONNIH UGLOW (KAK WNUTRENNIH, TAK I WNE[NIH) OBRAZU@]IEIH LU^I NA PRQMYH a I b (A0A I B0 B ILI A0 A0 I B0 B 0 ) RASPOLOVENY WODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ c.u WNUTRENNIH UGLOW (KAK NAKREST LEVA]IH, TAK I ODNOSTORONNIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMOJ c (A0 D I B0 D) TAKOWY, ^TO TO^KA D LEVITMEVDU TO^KAMI A0 I B0 .u WNE[NIH UGLOW (KAK NAKREST LEVA]IH, TAK I ODNOSTORONNIH) OBRAZU@]IE IH LU^I NA PRQMOJ c (A0 Da I B0 Db ) TAKOWY, ^TO TO^KA Da I TO^KADb NE LEVAT MEVDU TO^KAMI A0 I B0 .tEOREMA 1 (PRIZNAKI PARALLELXNOSTI PRQMYH).
eSLI KAKIE-NIBUDX DWAWNUTRENNIH ILI DWA WNE[NIH NAKREST LEVA]IH UGLA RAWNY, ILI SUMMAKAKIH-NIBUDX WNUTRENNIH ILI WNE[NIH ODNOSTORONNIH UGLOW RAWNA RAZWERNUTOMU UGLU (SUMMA GRADUSNYH (RADIANNYH) MER \TIH UGLOW RAWNA 180 ()),ILI KAKIE-NIBUDX DWA SOOTWETSTWENNYH UGLA RAWNY, TO PRQMYE PARALLELXNY.sLEDSTWIE. dWE RAZLI^NYE PRQMYE NA PLOSKOSTI, PERPENDIKULQRNYETRETXEJ PRQMOJ, PARALLELXNY.tEOREMA 2 (SWOJSTWO PARALLELXNYH PRQMYH), OBRATNAQ TEOREME 1.eSLI DWE PARALLELXNYE PRQMYE PERESE^ENY TRETXEJ PRQMOJ (SEKU]EJ),TO RAWNY UGLY: WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE, WNE[NIE NAKREST LEVA]IE, SOOTWETSTWENNYE, A RAZWERNUTOMU UGLU RAWNY: SUMMA WNUTRENNIH119ODNOSTORONNIH UGLOW, SUMMA WNE[NIH ODNOSTORONNIH UGLOW (SUMMA IH GRADUSNYH (RADIANNYH) MER RAWNA 180()).sLEDSTWIE. eSLI PRQMAQ, LEVA]AQ W PLOSKOSTI DWUH PARALLELXNYH PRQMYH, PERPENDIKULQRNA ODNOJ IZ NIH, TO ONA PERPENDIKULQRNA I DRUGOJ.dOKAZATELXSTWA \TIH TEOREM I IH SLEDSTWIJ MOVNO NAJTI, NAPRIMER, WKNIGE [1] I MNOGIH U^EBNIKAH GEOMETRII.3:6.
nEKOTORYE TEOREMY O ^ETYREHUGOLXNIKAH: PRIZNAKI PARALLELOGRAMMA, SWOJSTWA PARALLELOGRAMMA, TOVDESTWO PARALLELOGRAMMA. ~ASTNYE WIDY PARALLELOGRAMMOWrASSMATRIWAEMYE ZDESX I DALEE ^ETYREHUGOLXNIKI QWLQ@TSQ ^ASTNYMISLU^AQMI MNOGOUGOLXNIKOW S n > 3 STORONAMI (n- UGOLXNIKOW PRI n = 4).tREUGOLXNIK | n- UGOLXNIK PRI n = 3.mY PRIWEDEM RQD OPREDELENIJ, SWQZANNYH S MNOGOUGOLXNIKOM.RIS.
3.17 ARIS. 3.17 BoPREDELENIE 1. gEOMETRI^ESKAQ FIGURA (LINIQ) NA PLOSKOSTI, OBRAZUEMAQ OTREZKAMI A0 A1 ; A1A2 ; :::; An 1An , RASPOLOVENNYMI TAK, ^TO KONECi-GO OTREZKA (TO^KA Ai ) QWLQETSQ NA^ALOM i + 1-GO OTREZKA(i = 1; 2; :::;n 1; n > 2) I PRI WSEH \TIH i > 1 OTREZKI Ai 1Ai I Ai Ai+1 NELEVAT NA ODNOJ PRQMOJ, NAZYWAETSQ LOMANOJ (LOMANOJ LINIEJ) I OBOZNA^AETSQ A0 A1A2 :::An 1An .uKAZANNYE OTREZKI NAZYWA@TSQ STORONAMI (ILI ZWENXQMI) LOMANOJ, ATO^KI A0 ; A1; :::; An | WER[INAMI LOMANOJ. wNUTRENNIE TO^KI STORONLOMANOJ I WER[INY LOMANOJ NAZYWA@T TO^KAMI LOMANOJ.oPREDELENIE 1 a. lOMANAQ NAZYWAETSQ ZAMKNUTOJ, ESLI EE KONCY A0I An SOWPADA@T (QWLQ@TSQ ODNOJ TO^KOJ), PRI \TOM OTREZKI A0 A1 IAn 1An NE LEVAT NA ODNOJ PRQMOJ.oPREDELENIE 1 b.
lOMANAQ NAZYWAETSQ PROSTOJ, ESLI ONA NE IMEETSAMOPERESE^ENIJ (TO ESTX NIKAKIE IZ EE WER[IN NE SOWPADA@T, NIKAKAQIZ EE WER[IN NE QWLQETSQ WNUTRENNEJ TO^KOJ KAKOJ-LIBO IZ EE STORON INIKAKAQ PARA EE STORON NE IMEET OB]EJ WNUTRENNEJ TO^KI (TO ESTX NE120PERESEKAETSQ)). w ZAMKNUTOJ PROSTOJ LOMANOJ SOWPADA@T TOLXKO PERWYJ I POSLEDNIJ KONCY.oPREDELENIE 2. mNOGOUGOLXNIKOM (PROSTYM MNOGOUGOLXNIKOM) NAZYWAETSQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ (PROSTAQ ZAMKNUTAQ LOMANAQ).wER[INY LOMANOJ NAZYWA@TSQ WER[INAMI MNOGOUGOLXNIKA, A ZWENXQLOMANOJ | STORONAMI MNOGOUGOLXNIKA. oBOZNA^AETSQ A1A2 :::An. oTREZKI, SOEDINQ@]IE NE SOSEDNIE WER[INY (TO ESTX WER[INY, NE QWLQ@]IESQ KONCAMI ODNOGO ZWENA) MNOGOUGOLXNIKA, NAZYWA@TSQ DIAGONALQMI(SM.
RIS. 3.17 B).wS@DU W DALXNEJ[EM, ESLI NE OGOWORENO PROTIWNOE, MY BUDEM RASSMATRIWATX TOLXKO PROSTYE MNOGOUGOLXNIKI I POD TERMINOM "MNOGOUGOLXNIK"BUDET PONIMATXSQ PROSTOJ MNOGOUGOLXNIK.oPREDELENIE 3. mNOGOUGOLXNIK S n WER[INAMI I n STORONAMI NAZYWAETSQ n-UGOLXNIKOM (n > 3).wY[E NA RIS. 3.17 A IZOBRAVENA LOMANAQ, NE QWLQ@]AQSQ ZAMKNUTOJI NE QWLQ@]AQSQ PROSTOJ, NA RIS. 3.17 B IZOBRAVENA PROSTAQ ZAMKNUTAQLOMANAQ | MNOGOUGOLXNIK, NE QWLQ@]IJSQ WYPUKLYM.oPREDELENIE 4. pERIMETROM MNOGOUGOLXNIKA ILI LOMANOJ NAZYWAETSQSUMMA DLIN EGO STORON (SOOTWETSTWENNO) SUMMA DLIN EE ZWENXEW.oPREDELENIE 5. mNOGOUGOLXNIK NAZYWAETSQ WYPUKLYM, ESLI ON LEVIT CELIKOM W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO L@BOJ PRQMOJ, SODERVA]EJ EGO STORONU.
pRI \TOM SAMA PRQMAQ S^ITAETSQ PRINADLEVA]EJPOLUPLOSKOSTI.oPREDELENIE 6. oB]AQ ^ASTX POLUPLOSKOSTEJ, FIGURIRU@]IH W PREDYDU]EM OPREDELENII, BEZ STORON WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA NAZYWAETSQEGO WNUTRENNEJ OBLASTX@, A OSTALXNAQ ^ASTX PLOSKOSTI TAKVE BEZ EGOSTORON | EGO WNE[NEJ OBLASTX@.oPREDELENIE 7. wNUTRENNQQ OBLASTX WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA WMESTE S EGO STORONAMI NAZYWAETSQ PLOSKIM WYPUKLYM MNOGOUGOLXNIKOM.RIS. 3.17 WRIS. 3.17 GnA PRIWEDENNYH RIS.
3.17 W I G WNUTRENNIE OBLASTI MNOGOUGOLXNIKOW ZA[TRIHOWANY. o WNUTRENNEJ OBLASTI NEWYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA SM. NIVE, W DOPOLNITELXNOJ ^ASTI \TOGO WOPROSA.121oPREDELENIE 8. wNUTRENNIM UGLOM PRI WER[INE Ai (i = 1; 2; :::n)MNOGOUGOLXNIKA A1 A2 :::An NAZYWAETSQ UGOL, OBRAZOWANNYJ POLUPRQMYMIAi Ai 1 I Ai Ai+1 (i = 2; 3; :::;n 1), POLUPRQMYMI A1 A2 I A1 An (PRI i = 1)I POLUPRQMYMI An An 1 I An A1 (PRI i = n).
pRI \TOM WNUTRENNEJ OBLASTX@ \TOGO UGLA S^ITAETSQ TA ^ASTX PLOSKOSTI, KOTORAQ SODERVITWNUTRENN@@ OBLASTX MNOGOUGOLXNIKA.wNUTRENNIJ UGOL PLOSKOGO MNOGOUGOLXNIKA OPREDELQETSQ TAKIM VE OBRAZOM WMESTE S PRISOEDINENNOJ K NEMU EGO WNUTRENNEJ OBLASTX@ (TO ESTXKAK PLOSKIJ UGOL).wNUTRENNEJ TO^KOJ MNOGOUGOLXNIKA S^ITAETSQ WSQKAQ TO^KA, LEVA]AQW EGO WNUTRENNEJ OBLASTI.aNALOGI^NO OPREDELENIQM 20, 3, 4 P. 3:1 OPREDELQ@TSQ GRANICA MNOGOUGOLXNIKA, TO^KA, LEVA]AQ NA STORONE MNOGOUGOLXNIKA, WNE[NQQ TO^KAMNOGOUGOLXNIKA.pUSTX ABCD | ^ETYREHUGOLXNIK.oPREDELENIE 9.
sTORONY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI ONI NE IME@T OB]IH WER[IN.oPREDELENIE 10. sTORONY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ SMEVNYMI,ESLI ONI IME@T OB]U@ WER[INU.oPREDELENIE 11. wER[INY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI ONI NE QWLQ@TSQ KONCAMI ODNOJ IZ EGO STORON.oPREDELENIE 12. uGLY ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWA@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI, ESLI IH WER[INY QWLQ@TSQ PROTIWOLEVA]IMI ILI PROTIWOPOLOVNYMI WER[INAMI ^ETYREHUGOLXNIKA.oPREDELENIE 13. w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 2 DIAGONALX@ ^ETYREHUGOLXNIKA NAZYWAETSQ OTREZOK S KONCAMI W EGO PROTIWOLEVA]IH WER[INAH.RIS.
3.18 ARIS. 3.18 BRIS. 3.18 WoBY^NO PRI WYPISYWANII OBOZNA^A@]IH ^ETYREHUGOLXNIK WER[IN IHPORQDOK TAKOW, ^TO PROTIWOLEVA]IE WER[INY NE STOQT RQDOM. tAK, NAPRIMER, ODIN I TOT VE ^ETYREHUGOLXNIK ABCD MOVET BYTX OBOZNA^EN KAK122BCDA, CDAB , DABC , DCBA, CBAD, BADC , ADCB , EGO PROTIWOLEVA]IMI WER[INAMI BUDUT: PARA WER[IN A I C , A TAKVE PARA WER[IN B ID, EGO PROTIWOLEVA]IMI STORONAMI BUDUT PARA STORON AB I CD I PARA STORON AD I BC , EGO SMEVNYMI STORONAMI BUDUT STORONY AB I BC ,BC I CD, CD I AD, EGO DIAGONALQMI BUDUT OTREZKI AC I BD.
oDNAKO W^ETYREHUGOLXNIKE ACBD OTREZKI AC I BD UVE BUDUT STORONAMI, PROTIWOLEVA]IMI STORONAMI BUDUT PARA STORON AC I BD I PARA STORON BC IAD, A OTREZKI AB I CD | DIAGONALQMI. pO\TOMU ^ETYREHUGOLXNIK ACBDUVE DRUGOJ, NEVELI ^ETYREHUGOLXNIK ABCD. sM.
RIS. 3.18 A, B. nA RIS.3.18 W IZOBRAVEN ^ETYREHUGOLXNIK ABDC , U KOTOROGO PROTIWOPOLOVNYESTORONY AC I BD OKAZALISX DAVE PERESEKA@]IMISQ.RIS. 3.18 GRIS. 3.18 DmOVNO DOKAZATX SLEDU@]IE TEOREMY.tEOREMA 1. u WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA DIAGONALI PERESEKA@TSQ,TO ESTX IME@T OB]U@ WNUTRENN@@ TO^KU (TO^KU IH PERESE^ENIQ), KOTORAQ NAHODITSQ WO WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA.zAME^ANIE 1. oTMETIM, ^TO WSQKAQ WNUTRENNQQ TO^KA DIAGONALI WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (I WOOB]E WYPUKLOGO MNOGOUGOLXNIKA) PRINADLEVAT WNUTRENNEJ OBLASTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (MNOGOUGOLXNIKA), AWSQKAQ WNE[NQQ TO^KA UKAZANNOJ DIAGONALI NAHODITSQ WO WNE[NEJ OBLASTI\TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA (MNOGOUGOLXNIKA).zAME^ANIE 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
