Методичка (5) (1108722), страница 12
Текст из файла (страница 12)
3.30SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE IME@T OB]IJ PERPENDIKULQR,I PRITOM TOLXKO ODIN. oN QWLQETSQ OB]IM PERPENDIKULQROM PARALLELXNYH PLOSKOSTEJ, PROHODQ]IH ^EREZ \TI PRQMYE.tEOREMA 7. dWEdOKAZATELXSTWOpUSTX a I b | DANNYE SKRE]IWA@]IESQ PRQMYE. sOGLASNO TEOREME 2^EREZ PRQMU@ a PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX , PARALLELXNAQ PRQMOJ b, A ^EREZ PRQMU@ b PROHODIT EDINSTWENNAQ PLOSKOSTX , PARALLELXNAQPRQMOJ a, PRI^EM k . iZ PROIZWOLXNOJ TO^KI C 2 a PROWEDEM PRQMU@(CD) ? , TOGDA W SILU OPREDELENIQ 4: (CD) ? b, A TAKVE SILU TEOREMY 8(CD) ? (OTKUDA (CD) ? a), D 2 .
eSLI OKAZALOSX, ^TO D 2 b, TO (CD)I ESTX OB]IJ PERPENDIKULQR K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM a I b.pREDPOLOVIM, ^TO TO^KA D 62 b. tAK KAK PRQMAQ (CD) IMEET OB]U@TO^KU S PLOSKOSTX@ , A PRQMAQ a NE IMEET S NEJ OB]IH TO^EK, TO \TIPRQMYE RAZLI^NY. sLEDOWATELXNO, ONI PERESEKA@TSQ W TO^KE C . pROWEDEM^EREZ PRQMYE a I (CD) PLOSKOSTX , KOTORAQ PERESE^ET PLOSKOSTX POPRQMOJ (DB ) k a. pRQMAQ (DB ) PERESE^ET PRQMU@ b 2 W TO^KE B (ESLIPREDPOLOVITX, ^TO (DB ) k b, TO a k b, A \TO NEWERNO). ~EREZ TO^KU BPROWEDEM PRQMU@ (BA) k (DC ), SLEDOWATELXNO, PRQMAQ (BA) 2 , A POTOMU147\TA PRQMAQ PERESE^ET PRQMU@ a W TO^KE A. w SILU TEOREMY 4: (BA) ? , AW SILU k I (SM. NIVE) TEOREMY 8: (BA) ? .
tAKIM OBRAZOM, (BA) ESTXOB]IJ PERPENDIKULQR K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM a I b.dOKAVEM EDINSTWENNOSTX OB]EGO PERPENDIKULQRA K SKRE]IWA@]IMSQPRQMYM a I b. dOPUSTIM, ^TO SU]ESTWUET E]E ODIN OB]IJ PERPENDIKULQR(A0 B 0 ) K \TIM PRQMYM. pUSTX PRQMAQ (BE ) k a, ((BE ) | PRQMAQ PERESE^ENIQ PLOSKOSTEJ I ). tOGDA TAK KAK PRQMYE (AB ) I (A0 B 0 ) PERPENDIKULQRNY a I b, TO ONI BUDUT PERPENDIKULQRNY PERESEKA@]IMSQ PRQMYM (BE )I b W PLOSKOSTI I POTOMU W SILU TEOREMY 5: (AB ) k (A0 B 0 ), STALO BYTXTO^KI A I A0 RAZLI^NYE, A TAKVE TO^KI B I B 0 RAZLI^NYE I WSE ONI LEVATW ODNOJ PLOSKOSTI. sLEDOWATELXNO, PRQMYE a (AA0 ) I b (BB 0 ) LEVATW ODNOJ PLOSKOSTI, ^TO NEWERNO, TAK KAK PRQMYE a I b SKRE]IWA@TSQ.
tEMSAMYM EDINSTWENNOSTX OB]EGO PERPENDIKULQRA K DWUM SKRE]IWA@]IMSQPRQMYM DOKAZANA. pERPENDIKULQRNOSTX PRQMOJ (AB ) KAVDOJ IZ PLOSKOSTEJ I BYLA USTANOWLENA W PROCESSE DOKAZATELXSTWA TEOREMY. tEOREMA7 POLNOSTX@ DOKAZANA.oPREDELENIE 6. dLINA OB]EGO PERPENDIKULQRA K SKRE]IWA@]IMSQ PRQMYM NAZYWAETSQ RASSTOQNIEM MEVDU \TIMI PRQMYMI, A TAKVE | RASSTOQNIEM MEVDU SOOTWETSTWU@]IMI PARALLELXNYMI PLOSKOSTQMI.iME@T MESTO SLEDU@]IE TEOREMY O PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI, DOKAZATELXSTWA KOTORYH MOVNO NAJTI W U^EBNIKAH GEOMETRII, NAPRIMER, a.p.
kISELEWA.tEOREMA 8. eSLI PRQMAQ PERPENDIKULQRNA K ODNOJ IZ DWUH PARALLELXNYHPLOSKOSTEJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA I DRUGOJ IZ NIH.tEOREMA 9 (OBRATNAQ TEOREME 8). eSLI DWE PLOSKOSTI PERPENDIKULQRNYK ODNOJ PRQMOJ, TO ONI PARALLELXNY.tEOREMA 10. ~EREZ WSQKU@ TO^KU PROSTRANSTWA MOVNO PROWESTI KDANNOJ PLOSKOSTI EDINSTWENNU@ PERPENDIKULQRNU@ EJ PRQMU@.tEOREMA 11. ~EREZ WSQKU@ TO^KU PROSTRANSTWA MOVNO PROWESTI KDANNOJ PRQMOJ EDINSTWENNU@ PERPENDIKULQRNU@ EJ PLOSKOSTX.tEOREMA O TREH PERPENDIKULQRAHsFORMULIRUEM RQD OPREDELENIJ, KOTORYE BUDUT ISPOLXZOWANY PRI DOKAZATELXSTWE \TOJ TEOREMY.pUSTX DANY PLOSKOSTX I NE LEVA]AQ NA NEJ TO^KA.oPREDELENIE 7. pERPENDIKULQROM, PROWEDENNYM IZ DANNOJ TO^KI NADANNU@ PLOSKOSTX, NAZYWAETSQ OTREZOK, SOEDINQ@]IJ DANNU@ TO^KU STO^KOJ PLOSKOSTI, I LEVA]IJ NA PRQMOJ, PERPENDIKULQRNOJ PLOSKOSTI.kONEC \TOGO OTREZKA, LEVA]IJ W PLOSKOSTI, NAZYWAETSQ OSNOWANIEMPERPENDIKULQRA.
dLINA \TOGO PERPENDIKULQRA NAZYWAETSQ RASSTOQ-NIEM OT TO^KI DO PLOSKOSTI.148oPREDELENIE 8. nAKLONNOJ K DANNOJ PLOSKOSTI NAZYWAETSQ PRQMAQl, NE QWLQ@]AQSQ NI PERPENDIKULQRNOJ, NI PARALLELXNOJ \TOJ PLOSKOSTI.oTREZOK, SOEDINQ@]IJ TO^KU A S TO^KOJ NA PLOSKOSTI I LEVA]IJ NAPRQMOJ l, NAKLONNOJ K PLOSKOSTI , NAZYWAETSQ OTREZKOM NAKLONNOJ.zAME^ANIE. ~ASTO DLQ UPRO]ENIQ TERMINOLOGII POD NAKLONNOJ, PROWEDENNOJ IZ DANNOJ TO^KI A K PLOSKOSTI PODRAZUMEWA@T IMENNO OTREZOKNAKLONNOJ, ODNIM IZ KONCOW KOTOROGO QWLQETSQ TO^KA A.
dRUGOJ KONEC \TOGOOTREZKA, LEVA]IJ NA PLOSKOSTI , NAZYWAETSQ OSNOWANIEM NAKLONNOJ.oPREDELENIE 9. oTREZOK, SOEDINQ@]IJ OSNOWANIQ PERPENDIKULQRA I NAKLONNOJ, PROWEDENNYH IZ ODNOJ I TOJ VE TO^KI K PLOSKOSTI, NAZYWAETSQPROEKCIEJ NAKLONNOJ.zAME^ANIE. oTMETIM, ^TO PpQMAQ I OTpEZOK NAZYWA@TSQ PEpPENDIKULQpNYMI, ESLI \TA PpQMAQ PEpPENDIKULQpNA TOJ PpQMOJ, NA KOTOpOJ pASPOLOVEN OTpEZOK. pLOSKOSTX I OTpEZOK NAZYWA@TSQ PEpPENDIKULQpNYMI, ESLI\TA PLOSKOSTX PEpPENDIKULQpNA PpQMOJ, NA KOTOpOJ pASPOLOVEN \TOTOTpEZOK.RIS. 3.31TREH PERPENDIKULQRAH). eSLI PRQMAQ, PROWEDENNAQ NAPLOSKOSTI, PERPENDIKULQRNA PROEKCII NAKLONNOJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA \TOJ NAKLONNOJ.dOKAZATELXSTWOsM.
RIS. 3.31. pUSTX AH | PERPENDIKULQR, PROWEDENNYJ IZ TO^KI A KPLOSKOSTI , TO^KA H | OSNOWANIE \TOGO PERPENDIKULQRA. AM | OTREZOKNAKLONNOJ, PROWEDENNOJ IZ TO^KI A K PLOSKOSTI , TO^KA M | OSNOWANIE \TOJ NAKLONNOJ, OTREZOK HM | PROEKCIQ \TOJ NAKLONNOJ, PRQMAQ aPERPENDIKULQRNA PROEKCII HM . tO^KI H , M I A | RAZLI^NYE, TAK KAKA 62 , H; M 2 , PO\TOMU H 6 A I M 6 A I TAKVE A 62 (HM ) ; H 6 M ,TAK KAK H | OSNOWANIE PERPENDIKULQRA (ON EDINSTWENEN), M | OSNOWANIENAKLONNOJ (PO\TOMU AM 6? ).
tAKIM OBRAZOM, ^EREZ NE LEVA]IE NA ODNOJPRQMOJ TO^KI A, H I M MOVNO PROWESTI EDINSTWENNU@ PLOSKOSTX . w SILU TEOREMY 1 TAK KAK PRQMAQ (AH ) ? I (AH ) 2 , TO PLOSKOSTX ? .sOGLASNO OPREDELENI@ PERPENDIKULQRNYH PRQMOJ I PLOSKOSTI a ? (HA),W TO VE WREMQ PO USLOWI@ a ? (HM ). pOSKOLXKU PRQMYE (HM ) I (HA) |RAZLI^NYE I IME@T OB]U@ TO^KU H , TO ONI W NEJ PERESEKA@TSQ, A POTOMUW SILU PRIZNAKA PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI PRQMAQ a ? .sLEDOWATELXNO a ? (AM ). tEOREMA 2 DOKAZANA.tEOREMA12(O149tEOREMA 13 (OBRATNAQ TEOREME 12). eSLI PRQMAQ NA PLOSKOSTI PERPENDIKULQRNA NAKLONNOJ, TO ONA PERPENDIKULQRNA I PROEKCII \TOJ NAKLONNOJ.dOKAZATELXSTWOsM.
RIS. 3.31. oNO PROWODITSQ ANALOGI^NO DOKAZATELXSTWU TEOREMY 2.oTLI^IE LI[X W TOM, ^TO WMESTO a ? (HM ) TEPERX PO USLOWI@ a ? (AM ),PRQMYE (MA) I (HA) | RAZLI^NYE I IME@T OB]U@ TO^KU A, PO\TOMU ONIW NEJ PERESEKA@TSQ, STALO BYTX, W SILU TEOREMY 6 (PRIZNAKA PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ I PLOSKOSTI) PRQMAQ a ? . sLEDOWATELXNO a ? (MH ).tEOREMA 3 DOKAZANA.zAME^ANIE 1. tEOREMY 12 I 13 DOKAZANY DLQ PROIZWOLXNOJ PRQMOJ a, LEVA]EJ W PLOSKOSTI , PERPENDIKULQRNOJ SOOTWETSTWENNO PROEKCII NAKLONNOJ I SAMOJ NAKLONNOJ.
pROHOVDENIE PRQMOJ a ^EREZ OSNOWANIE NAKLONNOJ,TO^KU M NE PREDPOLAGALOSX. nA RIS. 3.31 IZOBRAVEN SLU^AJ PRQMOJ l ? HMI l ? AM , W ^ASTNOSTI, DLQ NEE SPRAWEDLIWY UTWERVDENIQ TEOREM 12 I 13.zAME^ANIE 2. sMYSL NAZWANIQ TEOREM 12 I 13 "O TREH PERPENDIKULQRAH"ZAKL@^AETSQ W TOM, ^TO W NIH IDET RE^X O PERPENDIKULQRE, PROWEDENNOMIZ TO^KI K PLOSKOSTI I O PERPENDIKULQRNOSTI PRQMOJ K NAKLONNOJ I KPROEKCII \TOJ NAKLONNOJ.sLEDUET TAKVE PRIWESTI OPREDELENIE UGLA MEVDU PRQMOJ I PLOSKOSTX@,KOTOROE ^ASTO PRIMENQETSQ PRI RE[ENII ZADA^.pUSTX DANY PLOSKOSTX I NEKOTORAQ PRQMAQ (AB ), QWLQ@]AQSQ NAKLONNOJ K \TOJ PLOSKOSTI I PERESEKA@]AQ EE W TO^KE A.oPREDELENIE 11.
uGLOM MEVDU PRQMOJ (AB ) (TO^NEE POLUPRQMOJ BA) IPLOSKOSTX@ NAZYWAETSQ OSTRYJ UGOL MEVDU \TOJ POLUPRQMOJ I PRQMOJ, SODERVA]EJ PROEKCI@ NA PLOSKOSTX L@BOGO OTREZKA BA c KONCOMB NA \TOJ POLUPRQMOJ.|TOT UGOL OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO ON QWLQETSQ NAIMENX[IM SREDIWSEH UGLOW, KOTORYE NAKLONNAQ (AB ) OBRAZUET S PRQMYMI, PROWEDENNYMI WPLOSKOSTI ^EREZ OSNOWANIE B \TOJ NAKLONNOJ (SM. RIS. 3.32).oBOSNOWANIE \TOGO FAKTA SM., NAPRIMER, W U^EBNIKE a.p. kISELEWA.RIS. 3.32150.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
