Методичка (5) (1108722), страница 7
Текст из файла (страница 7)
uTWERVDENIE TEOREMY 1 I ZAME^ANIE 1 NE WERNY DLQ NEWYPUKLYH ^ETYREHUGOLXNIKOW (SM. RIS. 3.18 A, B, W).tEOREMA 2 (OBRATNAQ TEOREME 1). eSLI W ^ETYREHUGOLXNIKE DIAGONALIPERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI), TO \TOT ^ETYREHUGOLXNIK WYPUKLYJ.dOKAZATELXSTWA TEOREM 1 I 2 I ZAME^ANIJ K TEOREME 1 MOVNO NAJTI WKNIGE [1].w PREDYDU]EM P. 3:5 BYLI PRIWEDENY WAVNYE PONQTIQ, SWQZANNYE SPERESEKAEMOSTX@ I PARALLELXNOSTX@ PRQMYH, I SFORMULIROWANY OSNOWNYEPRIZNAKI I SWOJSTWA (A STALO BYTX, KRITERII) PARALLELXNOSTI PRQMYH.nEKOTORYE IZ NIH BUDUT PRIMENENY W \TOM PUNKTE.123RIS. 3.19 ApARALLELOGRAMM | \TO ^ETYREHUGOLXNIK, U KOTOROGOPROTIWOPOLOVNYE STORONY POPARNO PARALLELXNY (TO ESTX LEVAT NA PARALLELXNYH PRQMYH). oBOZNA^AETSQ PARALLELOGRAMM ZNAKOM #.sWOJSTWA PARALLELOGRAMMA.tEOREMA 3. pARALLELOGRAMM | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK.oPREDELENIE6.dOKAZATELXSTWOsM.
RIS. 3.19 A. pUSTX ABCD | #, AD k BC; AB k CD, TOGDA KAKOTME^ALOSX WY[E, POSLE OPREDELENIQ 2 P. 3.5 WSQ PRQMAQ (BC ) BUDET RASPOLAGATXSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI PLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD).sTALO BYTX, W ^ASTNOSTI, W \TOJ VE POLUPLOSKOSTI BUDUT LEVATX TO^KI BI C , A POTOMU | I LU^ AB , I OTREZOK AB , I LU^ DC , I OTREZOK DC , TOESTX #ABCD OKAZALSQ W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AD),SODERVA]EJ EGO STORONU AD.
sOWER[ENNO ANALOGI^NO MY DOKAVEM RASPOLOVENIE #ABCD W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (BC ), W ODNOJPOLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (AB ) I W ODNOJ POLUPLOSKOSTI OTNOSITELXNO PRQMOJ (DC ). w SOOTWETSTWII S OPREDELENIEM 4 \TO OZNA^AET, ^TO#ABCD | WYPUKLYJ ^ETYREHUGOLXNIK. tEOREMA 3 DOKAZANA.sLEDSTWIE. dIAGONALI PARALLELOGRAMMA PERESEKA@TSQ (KAK OTREZKI)W NEKOTOROJ TO^KE EGO WNUTRENNEJ OBLASTI (SM. RIS. 3.19 A).dOKAZATELXSTWO|TO UTWERVDENIE SRAZU WYTEKAET IZ TEOREM 1 I 3 \TOGO WOPROSA.tEOREMA 4. w PARALLELOGRAMME:1) DIAGONALX DELIT EGO NA DWA RAWNYH TREUGOLXNIKA;2) PROTIWOPOLOVNYE STORONY RAWNY;3) PROTIWOPOLOVNYE UGLY RAWNY;4) SUMMA UGLOW, PRILEVA]IH ODNOJ STORONE, RAWNA RAZWERNUTOMU UGLU(SUMMA IH GRADUSNYH (RADIANNYH) MER RAWNA 180 ());5) DIAGONALI PERESEKA@TSQ I W TO^KE PERESE^ENIQ DELQTSQ POPOLAM;6) SUMMA KWADRATOW DLIN DIAGONALEJ RAWNA SUMME KWADRATOW DLINWSEH EGO STORON.124-RIS.
3.20 ARIS. 3.20 BdOKAZATELXSTWAsM. RIS. 3.20 A. pUSTX ABCD | #, AD k BC; AB k CD, BD | DIAGONALX, RASSMOTRIM 4ABD I 4DBC , U NIH STORONA BD | OB]AQ, \1 == \4 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (AB ) k (CD) I SEKU]EJ (BD),\2 = \3 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (BC ) k (AD) I SEKU]EJ(BD), SLEDOWATELXNO, 4ABD = 4CDB (PO WTOROMU PRIZNAKU, TO ESTX POSTORONE I DWUM PRILEVA]IM EJ UGLAM).
tAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAHPROTIW SOOTWETSTWENNO RAWNYH UGLOW (STORON) LEVAT SOOTWETSTWENNO RAWNYE STORONY (UGLY), TO AB = CD; BC = AD I \A = \C . pROWODQ DRUGU@DIAGONALX AC , MY ANALOGI^NYM OBRAZOM DOKAVEM, ^TO \B = \D. oTMETIM, ^TO TAK KAK \B = \1 + \2; \D = \3 + \4, TO OTS@DA WYTEKAETRAWENSTWO UGLOW B I D.
tAKIM OBRAZOM, DOKAZANY PERWYE TRI SWOJSTWAPARALLELOGRAMMA. ~ETWERTOE SWOJSTWO WYTEKAET IZ SWOJSTW PARALLELXNYHPRQMYH (SM. WY[E P. 3:5 TEOREMA 2).sM. RIS. 3.20 B. pERESE^ENIE DIAGONALEJ U #ABCD DOKAZANO WY[E (SM.SLEDSTWIE TEOREMY 3), PUSTX O AC \ BD. rASSMOTRIM 4AOD I 4COB ,U NIH \1 = \3 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI AD k BC I SEKU]EJBD, \2 = \4 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI AD k BC I SEKU]EJAC , AD = BC PO DOKAZANNOMU, SLEDOWATELXNO 4AOD = 4COB (PO WTOROMU PRIZNAKU), A POTOMU SOOTWETSTWENNO OC = OA I OB = OD. iTAK,PERWYE PQTX SWOJSTW PARALLELOGRAMMA DOKAZANY. {ESTOE SWOJSTWO O SOOTNO[ENII KWADRATOW DLIN DIAGONALEJ I STORON PARALLELOGRAMMA DOKAZANOWY[E, W P.
3:4 KAK SLEDSTWIE TEOREMY KOSINUSOW DLQ TREUGOLXNIKA.pRIZNAKI PARALLELOGRAMMA.RIS. 3.20 WRIS. 3.20 GRIS. 3.20 DtEOREMA 5. eSLI U WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA DWE STORONY PARALLELXNY I RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM.125dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.20 W. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD: AD k BC IAD = BC , PROWEDEM W ABCD DIAGONALX BD, W SILU WYPUKLOSTI ABCD \TADIAGONALX BUDET NAHODITXSQ W EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, 4ABD I 4CDBBUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH PLOSKOSTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA OTNOSITELXNO PRQMOJ (BD).
rASSMOTRIM 4ADB I 4DBC , UNIH \1 = \2 KAK WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI (BC ) k (AD) I SEKU]EJ (BD), AD = BC PO USLOWI@, BD | OB]AQ STORONA, SLEDOWATELXNO,4CDB = 4ADB (PO PERWOMU PRIZNAKU | PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI). sLEDOWATELXNO, TAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAH PROTIW RAWNYHSTORON (UGLOW) LEVAT RAWNYE UGLY (STORONY), \ABD = \BDC , A POTOMUW SILU PRIZNAKA PARALLELXNOSTI PRQMYH (AB ) k (CD), POSKOLXKU \ABDI \BDC | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (AB ) I (CD) ISEKU]EJ (BD), SLEDOWATELXNO, U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD AD k BC IAB k CD, A POTOMU PO OPREDELENI@ 6 ON | PARALLELOGRAMM.
tEOREMA 5DOKAZANA.tEOREMA 6. eSLI U WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKA PROTIWOLEVA]IE STORONY POPARNO RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM.dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.20 G. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD: AB = CD IAD = BC , PROWEDEM W ABCD DIAGONALX BD, W SILU WYPUKLOSTI ABCD \TADIAGONALX BUDET NAHODITXSQ WO EGO WNUTRENNEJ OBLASTI, 4ABD I 4BCDBUDUT RASPOLOVENY W RAZNYH POLUPLOSKOSTQH PLOSKOSTI \TOGO ^ETYREHUGOLXNIKA OTNOSITELXNO PRQMOJ (BD).
rASSMOTRIM 4ABD I 4CDB , U NIHSTORONA BD | OB]AQ, AB = CD I AD = BC , SLEDOWATELXNO, 4ABD == 4CDB (PO TRETXEMU PRIZNAKU | PO TREM STORONAM). sLEDOWATELXNO,TAK KAK W RAWNYH TREUGOLXNIKAH PROTIW RAWNYH STORON LEVAT RAWNYE UGLY, \1 = \4; \2 = \3, A POTOMU W SILU PRIZNAKA PARALLELXNOSTI PRQMYH(AB ) k (CD), POSKOLXKU \1 I \4 | WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (AB ) I (CD) I SEKU]EJ (BD), (BC ) k (AD), POSKOLXKU \2 I \3 |WNUTRENNIE NAKREST LEVA]IE PRI PRQMYH (BC ) I (AD) I SEKU]EJ (BD),SLEDOWATELXNO U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD: AD k BC I AB k CD, A POTOMUPO OPREDELENI@ 6 ON | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 6 DOKAZANA.tEOREMA 7.
eSLI W ^ETYREHUGOLXNIKE DIAGONALI PERESEKA@TSQ I TO^KOJ PERESE^ENIQ DELQTSQ POPOLAM (NA DWA RAWNYH OTREZKA), TO ON | PAdOKAZATELXSTWORALLELOGRAMM.sM. RIS. 3.20 D. pUSTX U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD: AC I BD | DIAGONALI, O | TO^KA IH PERESE^ENIQ, W SILU TEOREMY 2 ABCD | WYPUKLYJ^ETYREHUGOLXNIK. rASSMOTRIM PARU TREUGOLXNIKOW AOD I COB , U NIHOA = OC; OB = OD PO USLOWI@, \BOC = \AOD KAK WERTIKALXNYE,126SLEDOWATELXNO PO PERWOMU PRIZNAKU RAWENSTWA TREUGOLXNIKOW 4AOD == 4COB , A POTOMU AD = BC .
aNALOGI^NO, RASSMATRIWAQ PARU TREUGOLXNIKOW AOB I COD, U KOTORYH OA = OC; OB = OD PO USLOWI@, \AOB == \COD KAK WERTIKALXNYE, MY TAKVE POLU^IM, ^TO (PO PERWOMU PRIZNAKU)\TI TREUGOLXNIKI RAWNY, A POTOMU AB = CD. sLEDOWATELXNO, U ^ETYREHUGOLXNIKA ABCD PROTIWOPOLOVNYE STORONY OKAZALISX POPARNO RAWNY, APOTOMU W SILU TEOREMY 6 ABCD | PARALLELOGRAMM. tEOREMA 7 DOKAZANA.tEOREMA 8. eSLI W WYPUKLOM ^ETYREHUGOLXNIKE PROTIWOPOLOVNYE UGLYPOPARNO RAWNY, TO ON | PARALLELOGRAMM.dOKAZATELXSTWOpUSTX W ^ETYREHUGOLXNIKE ABCD: \A = \C; \B = \D, W SILU TEOREMY 3 P. 3:5 SUMMA WSEH WNUTRENNIH UGLOW WYPUKLOGO ^ETYREHUGOLXNIKAABCD RAWNA UDWOENNOMU RAZWERNUTOMU UGLU, TO ESTX | POLNOMU UGLU.
tAKKAK IZ RAWENSTW \A = \C I \B = \D SLEDUET, ^TO \A + \B = \C + \D IRAWNY \TI SUMMY RAZWERNUTOMU UGLU, OTKUDA WYTEKAET, ^TO AB k CD, ANALOGI^NO \A + \D = \C + \B I RAWNY \TI SUMMY TAKVE RAZWERNUTOMU UGLU,OTKUDA SLEDUET, ^TO AD k BC , SLEDOWATELXNO ABCD | PARALLELOGRAMM.tEOREMA 8 DOKAZANA.oTMETIM E]E ZAME^ANIE K TEOREME 5, WYRAVA@]EJ PRIZNAK PARALLELOGRAMMA.zAME^ANIE.
w USLOWII TEOREMY 5 MOVNO NE TREBOWATX WYPUKLOSTI ^ETYREHUGOLXNIKA, DOSTATO^NO POTREBOWATX, ^TOBY ON BYL PROSTYM (SM. WY[EOPREDELENIE 2).RIS. 3.21 ARIS. 3.21 BRIS. 3.21 WrASSMOTRIM NEKOTORYE ^ASTNYE SLU^AI PARALLELOGRAMMOW S DOKAZATELXSTWOM NEKOTORYH IH SWOJSTW.oPREDELENIE 7. pRQMOUGOLXNIKOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO HOTQ BY ODIN WNUTRENNIJ UGOL PRQMOJ.iZ \TOGO OPREDELENIQ I SWOJSTW UGLOW PARALLELOGRAMMA (SM. WY[E TEOREMU 4, SWOJSTWA 3) I 4) WYTEKAET, ^TO ESLI W PARALLELOGRAMME IMEETSQPRQMOJ UGOL, TO PROTIWOLEVA]IJ EMU UGOL TAKVE PRQMOJ I OSTALXNYE DWAUGLA, KAK PRILEVA]IE K ODNOJ STORONE \TOGO PARALLELOGRAMMA I SOSTAWLQ@]IE W SUMME S NIM RAZWERNUTYJ UGOL, TOVE PRQMYE.
sLEDOWATELXNO, WPARALLELOGRAMME WSE UGLY | PRQMYE.127zAME^ANIE. tRADICIONNO W U^EBNOJ I SPRAWO^NOJ LITERATURE PRQMOUGOLXNIK OPREDELQETSQ KAK PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO WSE UGLY PRQMYE.oDNAKO, KAK WIDNO IZ PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ, TAKOE "PEREOPREDELENNOE"OPREDELENIE PRQMOUGOLXNIKA PO SUTI DELA QWLQETSQ TEOREMOJ, DOKAZYWAEMOJ NA OSNOWE OPREDELENIQ 7 I SWOJSTW UGLOW PARALLELOGRAMMA.oTMETIM, ^TO PRQMOUGOLXNIK KAK ^ASTNYJ SLU^AJ PARALLELOGRAMMA OBLADAET WSEMI EGO SWOJSTWAMI (SM.
WY[E TEOREMU 4), ODNAKO EGO DIAGONALIOBLADA@T SWOJSTWOM, KOTORYM DIAGONALI PROIZWOLXNOGO PARALLELOGRAMMA,WOOB]E GOWORQ, NE OBLADA@T. a IMENNO, IMEET MESTO TEOREMA.tEOREMA 9. dIAGONALI PRQMOUGOLXNIKA RAWNY.dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.21 A. rASSMOTRIM TREUGOLXNIKI ABD I ADC , U KOTORYH STORONA AD | OB]AQ, AB = DC PO SWOJSTWU PARALLELOGRAMMA, \BAD == \CDA KAK PRQMYE UGLY, SLEDOWATELXNO, 4ABD = 4ADC PO DWUM STORONAM I UGLU MEVDU NIMI, A POTOMU AC = BD. tEOREMA 9 DOKAZANA.iMEET MESTO I OBRATNAQ TEOREMA.tEOREMA 90 . eSLI W PARALLELOGRAMME DIAGONALI RAWNY, TO ON | PRQMOUGOLXNIK.dOKAZATELXSTWO \TOJ TEOREMY PROWODITSQ NA OSNOWE RAWENSTWA TREUGOLXNIKOW DAB I ADC PO TREM STORONAM, OTKUDA WYTEKAET RAWENSTWO UGLOW DAB I ADC .
pOSKOLXKU W SILU PARALLELXNOSTI STORON AB I DC\DAB + \ADC | RAZWERNUTYJ UGOL, TO KAVDYJ IZ UGLOW \DAB I \ADC| PRQMOJ, \TO PO OPREDELENI@ 7 OZNA^AET, ^TO ABCD | PRQMOUGOLXNIK.oPREDELENIE 8. rOMBOM NAZYWAETSQ PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO HOTQBY DWE SMEVNYE STORONY RAWNY.iZ \TOGO OPREDELENIQ I SWOJSTW STORON PARALLELOGRAMMA (SM. WY[E TEOREMU 4, SWOJSTWO 2) WYTEKAET, ^TO ESLI W PARALLELOGRAMME HOTQ BY DWESMEVNYE STORONY RAWNY, TO IM BUDUT RAWNY I DRUGIE DWE EGO STORONY KAKSOOTWETSTWENNO PROTIWOPOLOVNYE IM.
sLEDOWATELXNO, W ROMBE WSE STORONYRAWNY.zAME^ANIE. tRADICIONNO W U^EBNOJ I SPRAWO^NOJ LITERATURE ROMB OPREDELQETSQ KAK PARALLELOGRAMM, U KOTOROGO WSE STORONY RAWNY. oDNAKO, KAKWIDNO IZ TOLXKO ^TO PRIWEDENNYH RASSUVDENIJ, TAKOE "PEREOPREDELENNOE"OPREDELENIE ROMBA PO SUTI DELA QWLQETSQ TEOREMOJ, DOKAZYWAEMOJ NA OSNOWEOPREDELENIQ 8 I SWOJSTW STORON PARALLELOGRAMMA.oTMETIM, ^TO ROMB KAK ^ASTNYJ SLU^AJ PARALLELOGRAMMA OBLADAET WSEMI EGO SWOJSTWAMI (SM. WY[E TEOREMU 4), ODNAKO EGO DIAGONALI OBLADA@TSWOJSTWAMI, KOTORYMI DIAGONALI PROIZWOLXNOGO PARALLELOGRAMMA, WOOB]EGOWORQ, NE OBLADA@T. a IMENNO, IMEET MESTO TEOREMA.128tEOREMA 10. dIAGONALI ROMBA QWLQ@TSQ BISSEKTRISAMI EGO WNUTRENNIH UGLOW I WZAIMNO PERPENDIKULQRNY.dOKAZATELXSTWOsM. RIS. 3.21 B.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
