Методичка (3) (1108720), страница 3
Текст из файла (страница 3)
[1], RAZDEL II, P. 2.1, WOPROS 3)a > b , a > b , 1=a < 1=b , a < b.sWOJSTWA STEPENEJ I KORNEJ DOKAZANY.oBRA]AEM WNIMANIE, ^TO W SWOJSTWAH 2. I 3. KORNEJ PRI n = 2k; k 2 NDLQ L@BYH a; b 2 R TAKIH, ^TO ab > 0 (W SLU^AE 3. b 6= 0) IME@T MESTORAWENSTWA, KOTORYE PREDLAGAETSQrSAMOSTOQTELXNOOBOSNOWATX:pn jajpppa20 . n ab = n jaj n jbj I 30 . n b = pn jbj .21dOPOLNITELXNYJ MATERIAL K P.1:5.iSSLEDUEM WOPROS O SU]ESTWOWANII I KOLI^ESTWE KORNEJ n | OJ STEPENIIZ DEJSTWITELXNOGO ^ISLA a W ZAWISIMOSTI OT ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTI nI ZNAKA ^ISLA a.ppREVDE WSEGO OTMETIM, ^TO ESLI a = 0, TO 8n 2 N pn a = n 0 = 0 ITOLXKO 0, POSKOLXKU 8n 2 N 0n = 0, A 8n 2 N; b 2 R TAKOGO, ^TO b =66= 0 ) bn =6 0 (SOGLASNOOPREDELENI@PROIZWEDENIQ^ISEL).dALEE, ESLIppa = 1, TO 8n 2 N : n a = n 1 = 1 POSKOLXKU 8n 2 N : 1n = 1 .
dRUGIHARIFMETI^ESKIH ZNA^ENIJ KORNQ n | OJ STEPENI IZ 1 NE SU]ESTWUET, POSKOLXKU W SILU UTWERVDENIQ O ^ISLOWYH NERAWENSTWAH: ESLI a > b > 0, TOPRI L@BOM NATURALXNOM n a > b (a < b) , an > bn an < bn 8b TAKOGO, ^TO0 6 b < 1 ) 0 = 0n 6 bn < 1n = 1, A 8b TAKOGO, ^TO b > 1 ) bn > 1n = 1,SLEDOWATELXNO 8b 2 R TAKOGO, ^TO 0 6 b =6 1 ) 0 6 bn =6 1. dLQ SLU^AQ0 < a 6= 1 SHEMU OBOSNOWANIQ SU]ESTWOWANIQ pn a SM., NAPRIMER, W [3], GL. 3,x2, P. 1:1. oNA TAKVE PRIWODITSQ W KURSAH MATEMATI^ESKOGO ANALIZA.
pREDPOLAGAQ SU]ESTWOWANIE DWUH NEOTRICATELXNYH ^ISEL b1 =6 b2 TAKIH, ^TObn1 = bn2 = a MY SRAZU POLU^AEM PROTIWORE^IE, POSKOLXKU PRI b1 < (>)b2 Ibn1 < (>)bn2 , SLEDOWATELXNO, bn1 =6 bn2 . dOKAVEM SLEDU@]IE TEOREMY.tEOREMA 1. 8a < 0 I 8k 2 N; n = 2k @b 2 R : bn = a.dOKAZATELXSTWO. pREDPOLAGAQ PROTIWNOE, ^TO TAKOE ^ISLO b SU]ESTWUET,MY POLU^AEM, ^TO ESLI b > 0, TO SOGLASNO PRAWILU UMNOVENIQ ^ISEL bn == b2k > 0, A ESLI b < 0, TO b = jbj, GDE jbj > 0 I POTOMU bn = b2k == (( 1)jbj)2k = ( 1)2k jbj2k = jbj2k > 0, PO\TOMU RAWENSTWO bn = b2k = a < 0NEWOZMOVNO NI DLQ KAKOGO b 2 R.
tEOREMA 1 DOKAZANAp .ptEOREMA 2. 8a > 0 I 8k 2 N; n = 2k 9b1 = 2k a < 0; b2 = 2k a > 0,nnb1;2 2 R : b1 = b2 = a. dRUGIH DEJSTWITELXNYH ZNA^ENIJ KORNQ 2k - OJSTEPENI IZ ^ISLA a NET.dOKAZATELXSTWO. oTSUTSTWIE OTLI^NYH OT b2 NEOTRICATELXNYH ZNA^ENIJ KORNQ 2k - OJ STEPENI IZ ^ISLA a WYTEKAET IZ SU]ESTWOWANIQ (PRINQTOGO BEZ DOKAZATELXSTWA) I EDINSTWENNOSTI ARIFMETI^ESKOGO KORNQ.
dALEE, bn1 = b21k = ( 2pk a)2k = ( 1)2k ( 2pk a)2k = 1 a = a, TO ESTX ^ISLO b1DEJSTWITELXNO QWLQETSQ KORNEM 2k - OJ STEPENI IZ ^ISLA a (ALGEBRAI^ESKIM, NE ARIFMETI^ESKIM). pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET ^ISLO b0 < 0 Ib0 =6 b1 (b0 > 0), ^TO ( b0 )2k = a, TOGDA POLU^AEM, ^TO b0 =6 b2 I TAK KAKa = ( b0 )2k = ( 1)2k (b0 )2k = (b0)2k , TO PRIHODIM K PROTIWORE^I@ S EDINSTWENNOSTX@ ARIFMETI^ESKOGO KORNQ 2k - OJ STEPENI IZ ^ISLA a > 0. tEOREMA2 DOKAZANA.tEOREMA 3. 8a 2 R I 8k 2 N0 ; n = 2k + 1 9!b : bn = b2k+1 = a22dOKAZATELXSTWOsLU^AJ a = 0 RASSMOTREN WY[E.
pUSTX a > 0, TOGDA pn a = 2k+1pa |EDINSTWENNOE ARIFMETI^ESKOE ZNA^ENIE \TOGO KORNQ, POSKOLXKU 8b < 0b2k+1 = ( jbj)2k+1 = ( 1)2k+1jbj2k+1 = ( 1) jbj2k+1 = jbj2k+1 < 0 (TAK KAKjbj > 0, A POTOMU I jbj2k+1 > 0), TO I OTRICATELXNYH ZNA^ENIJ KORNQ NE^ETNOJ STEPENIIZ POLOVITELXNOGO^ISLA NET. pUSTX a < 0, TOGDA jaj > 0 Ipp2k+1^ISLO n jaj = pjaj < 0 QWLQETSQ KORNEMUKAZANNOJ STEPENI IZ ^ISLApa, POSKOLXKU ( 2k+1 jaj)2k+1 = ( 1)2k+1( 2k+1 jaj)2k+1 = ( 1)jaj = jaj = a.pRI \TOM TAK KAK WSQKOE NEOTRICATELXNOE ^ISLO W L@BOJ NATURALXNOJ STEPENI NEOTRICATELXNO, TO NEOTRICATELXNYH ZNA^ENIJ KORNQ NE^ETNOJ STEPENI IZ OTRICATELXNOGO ^ISLA NE SU]ESTWUET.
peSLI VE PREDPOLOVITX SU]ESTWOWANIE ^ISLA b0 < 0, OTLI^NOGO OT 2k+1 jaj,pNO ( b0)2k+1 = a == ( 1)2k+1b02k+1 = b02k+1, TO ^ISLO b0 > 0; b0 =6 2k+1 jaj I b02k+1 == a = jaj, POLU^ILI PROTIWORE^IE S EDINSTWENNOSTX@ ARIFMETI^ESKOGOKORNQ 2k +1 STEPENI IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA, KOTOROE I DOKAZYWAET EDINSTWENNOSTX KORNQ NE^ETNOJ STEPENI IZ OTRICATELXNOGO ^ISLA. |TO ZNA^ENIEOTRICATELXNO I PO\TOMU NE QWLQETSQ ARIFMETI^ESKIM ZNA^ENIEM KORNQ.
tEOREMA 3 DOKAZANA.zAME^ANIE. eDINSTWENNOSTX KORNQ NE^ETNOJ STEPENI IZ L@BOGO ^ISLAESTESTWENNYM OBRAZOM POZWOLQET NAM ISPOLXZOWATX ZNAKp RADIKALAp(KORNQ)DLQpEGO OBOZNA^ENIQ, TO ESTX W ^ASTNOSTI, PRI a < 0 2k+1 a = 2k+1 jaj, GDE2k+1 jaj UVE ARIFMETI^ESKIJ KORENX IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA jaj. iSPOLXZOWANIE ZNAKA KORNQ ^ETNOJ STEPENI DOPUSKAETSQ TOLXKO DLQ ARIFMETI^ES(TO ESTX NEOTRICATELXNOGO) ZNA^ENIQpKORNQ. sTALO BYTX, ZAPISX WIDApKOGO4 16 = 2 NE KORREKTNA, 2 = p4 16, GDE 4 16 = 2.aLGORITM IZWLE^ENIQ KWADRATNOGO KORNQ IZ POLOVITELXNOGO ^ISLA~TOBY IZWLE^X KWADRATNYJ KORENX IZ DANNOGO CELOGO ^ISLA NADO:1) RAZBITX ^ISLO SPRAWA NALEWO NA GRUPPY PO DWE CIFRY W KAVDOJ, KROMEPERWOJ (KRAJNEJ LEWOJ), ESLI W NEJ ODNA CIFRA;2) PODOBRATX NAIBOLX[EE ^ISLO, KWADRAT KOTOROGO NE BOLX[E ^ISLA W LEWOJGRUPPE, I ZAPISATX EGO W OTWET;3) WOZWESTI \TO ^ISLO W KWADRAT I WY^ESTX IZ ^ISLA W PERWOJ GRUPPE CIFR;4) K POLU^ENNOJ RAZNOSTI PRIPISATX SLEDU@]U@ GRUPPU CIFR;5) UDWOITX ^ISLO, ZAPISANNOE W OTWET, OTNOSQ EGO W KOLONKU SLEWA OT KOLONKI RAZNOSTEJ, FORMIRUEMYH W 4), PRIPISATX K \TOMU UDWOENNOMU ^ISLUNAIBOLX[U@ CIFRU (MOVET BYTX I 0), ^TOBY PROIZWEDENIE POLU^ENNOGO^ISLA NA \TU CIFRU BYLO NE BOLX[E ^ISLA, POLU^ENNOGO W 4), ZAPISATX \TOPROIZWEDENIE W PRAWOJ KOLONKE POD ^ISLOM, POLU^ENNYM W 4), I NAJTI RAZNOSTX ^ISLA, POLU^ENNOGO W 4), I UKAZANNOGO PROIZWEDENIQ;236) PRIPISATX CIFRU, POLU^AEMU@ W LEWOJ KOLONKE W 5) SPRAWA K ^ISLU, ZAPISYWAEMOMU W OTWETE;7) POWTORITX PROCESS, OPISANNYJ W 4) | 6).eSLI PO OKON^ANII WSEH \TIH PROCESSOW O^EREDNAQ RAZNOSTX BUDET RAWNANUL@, TO KORENX IZWLEKSQ TO^NO, ESLI \TA RAZNOSTX NE BUDET RAWNA NUL@, TOK ISHODNOMU ^ISLU PRIPISYWAEM SPRAWA 2k NULEJ (k 2 N), OTDELIW IH OTNEGO ZAPQTOJ, I RAZBIWAEM \TI NULI PO DWA SLEWA NAPRAWO, STAWIM ZAPQTU@SPRAWA OT ^ISLA, POLU^ENNOGO W OTWETE, I E]E k RAZ POWTORQEM PROCESS,OPISANNYJ W 4) | 6).
w REZULXTATE MY POLU^AEM k PERWYH DESQTI^NYHZNAKOW ISKOMOGO KORNQ, ^TO BUDET QWLQTXSQ EGO PRIBLIVENNYM ZNA^ENIEMPO NEDOSTATKU S TO^NOSTX@ 1=10k.eSLI PODKORENNOE ^ISLO WYRAVAETSQ DESQTI^NOJ DROBX@, TO DELENIE NAGRANI PROIZWODITSQ OT ZAPQTOJ DLQ CELOJ ^ASTI WLEWO, DLQ DROBNOJ ^ASTIWPRAWO (PRIMERY: 565; 7548 = 5065; 75048 ; 2138; 639 = 21038; 63090). dLQPOLU^ENIQ TREBUEMOJ TO^NOSTI NADO PRIPISATX SPRAWA NEOBHODIMOE ^ISLOPAR NULEJ (PRIMER: 21038; 63090000000 = 2138;pRIMERY:p28639).0850 76; 00000 = 537; 19:::2)1)120020773)1299385539033390655:::::5103311067014701074114491144910742909:::::p30 81; 64028000 = 19; 535:::128126120641925139281170922190019532525575:::::p0 01 14 49 = 107242538530976767469207001074199590096686129039:::::4)4866923392677p21050; 170690 00 = 46; 37165505163417276964869648690pp tAKIM OBRAZOM: 11449 = 107, KORENX IZWLEKSQ TO^NO, PROCESS ZAWER[EN;288576 = 537; 19::: , KORENX IZWLE^EN PRIBLIVENNO S TO^NOSTX@ 1=100,PROCESSMOVET BYTX PRODOLVEN;p381; 6428= 19; 535::: , KORENX IZWLE^EN PRIBLIVENNO S TO^NOSTX@ 1=1000,PROCESSMOVETBYTX PRODOLVEN;p2150; 1769 = 46;37, KORENX IZWLEKSQ TO^NO, PROCESS ZAWER[EN.1:6.
sWOJSTWA POKAZATELXNOJ FUNKCII I EE GRAFIKo PONQTII STEPENI S CELYM I RACIONALXNYM POKAZATELEM SM. P. 1:4 I1:5.oPREDELENIE 1. pUSTX a; | PROIZWOLXNYE DEJSTWITELXNYE ^ISLA, r1I r2 | PROIZWOLXNYE RACIONALXNYE ^ISLA TAKIE, ^TO r1 6 6 r2, TOGDA,PRI a > 1, a def= b, ESLI DLQ L@BYH UKAZANNYH r1; r2 2 Q ar1 6 b 6 ar2 ;PRI 0 < a < 1, a def= b, ESLI DLQ L@BYH UKAZANNYH r1; r2 2 Qar2 6 b 6 ar1 .eSLI a = 1, TO DLQ L@BOGO 2 R a def= 1; ESLI a = 0, TO DLQ L@BOGO > 0 (TO ESTX 2 R+ ) a def= 0,* 1 8 6 0 ( 2 R) a NE OPREDELENO.zAME^ANIE. dLQ SLU^AQ a = 1 \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ S TEM, ^TOESLI DLQ a = 1 PRIMENITX OPREDELENIE a KAK PRI a > 1, TAK I PRI 0 < a << 1, TO W SILU TOGO, ^TO PRI L@BOM CELOM O^EWIDNO, p^TO 1 = 1, A PRIL@BOM 2 Q ( = p=q, GDE p 2 Z; q 2 N; q > 2) 1 = q 1p = 1, POLU^IM,^TO 1 MOVET RAWNQTXSQ TOLXKO 1.
dLQ SLU^AQ a = 0 \TO OPREDELENIE SOGLASUETSQ S TEM, ^TO ESLI DLQ a = 0 PRIMENITX OPREDELENIE a PRI 0 < a < 1I r1; r2 > 0, TO W SILU TOGO, ^TO PRI L@BOM NATURALXNOM O^EWIDNO, = 0, A PRI L@BOM 2 Q+ ( = p=q, GDE p 2 N; q 2 N; q > 2)^TO 0p0 = q 0p = 0, POLU^IM, ^TO 0 PRI > 0 MOVET RAWNQTXSQ TOLXKO 0.oPREDELENIE 2. fUNKCIQ WIDA y = ax NAZYWAETSQ POKAZATELXNOJ FUNKCIEJ, a > 0 | POSTOQNNOE ^ISLO, x | PEREMENNAQ (ARGUMENT).w KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA DOKAZYWAETSQ SU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX ^ISLA b = a 8a > 0; a =6 1 I 2 R.I. oTS@DA I W SOOTETSTWII S ZAME^ANIEM OBLASTX OPREDELENIQ FUNKCIIax PRI a > 0 | L@BOE x 2 R, TO ESTX PROMEVUTOK ( 1; +1), A PRI a = 0| TOLXKO L@BOE x > 0 (x 2 R+ ), TO ESTX PROMEVUTOK (0; +1).II.
eSLI a = 1, TO TAK KAK 8x 2 R ax = 1 ) E[ax ] = f1g,ESLI a = 0, TO TAK KAK 8x 2 R+ ax = 0 ) E[ax ] = f0g.1 * tAKOE OPREDELENIE PRIWODITSQ W U^EBNIKAH PO MATEMATI^ESKOMU ANALIZU, cWQZANO\TO S TEM, ^TO PRI L@BOM DEJSTWITELXNOM > 0 ZNA^ENIQ FUNKCII x STREMQTSQ KNUL@ PRI STREMLENII SPRAWA K NUL@ ARGUMENTA x, ODNAKO W [KOLXNOM KURSE MATEMATIKISLU^AJ a = 0 NE RASSMATRIWAETSQ.25sLEDOWATELXNO, PRI a = 1 ax g(x), GDE g(x) | LINEJNAQ FUNKCIQ(WIDA a0 x + b0 ; a0 = 0; b0 = 1), W SLU^AE a = 0 SITUACIQ ANALOGI^NAQS TEM OTLI^IEM, ^TO TAM b0 = 0 I OPREDELENA \TA FUNKCIQ TOLXKO NA(0; +1). pO\TOMU SLU^AI a = 1 I a = 0 DOSTATO^NO TRIWIALXNY I PODROBNEERASSMATRIWATXSQ NE BUDUT.* 2pUSTX 0 < a =6 1.II.
w KURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA DOKAZYWAETSQ, ^TO DLQ L@BOGOb > 0 SU]ESTWUET I EDINSTWENNOE : a = b. pO\TOMU IZ OPREDELENIQ 1STEPENI I (SM. NIVE P. VII) OCENKI SNIZU WYTEKAET, ^TO OBLASTX@ IZMENENIQFUNKCII y = ax QWLQETSQ PROMEVUTOK (0; +1).III. iZ II I SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ WYTEKAET, ^TO POKAZATELXNAQFUNKCIQ y = ax OGRANI^ENA SNIZU I NE OGRANI^ENA SWERHU NA SWOEJ OBLASTIOPREDELENIQ.IV. maxax I minax NET.mY DOKAVEM OT PROTIWNOGO \TI UTWERVDENIQ:@ min ax; @ maxax :x2RpREDPOLOVIM, ^TO 9x1; x2 2 R : ax1 = "0 > 0; ax2 = M0 > 0 I8x 2 R ) ax > "0 > 0; ax 6 M0 ;defx ; M0 defTOGDA "0 = mina= maxax , NO TAK KAK E[ax] = (0; +1), TO, Wx2Rx2Rx2R^ASTNOSTI9x~1 2 R : ax~1 = "20 < "0 0 < "20 ; 9x~2 2 R : ax~2 = 2M0 > M0;PRI[LI K PROTIWORE^I@.V.
y = ax NE QWLQETSQ ^ETNOJ W SILU STROGOJ MONOTONNOSTI NA ( 1; +1)(SM. P. VIII), IZ KOTOROJ WYTEKAET: 8x =6 0 y( x) =6 y(x), ONA VE NEQWLQETSQ NE^ETNOJ, TAK KAK PRINIMAET TOLXKO POLOVITELXNYE ZNA^ENIQ,OTKUDA 8x 2 R RAWENSTWO y( x) = y(x) NEWOZMOVNO.VI. y = ax NE QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ. pREDPOLOVIM, ^TO 9T0 =6 0, ^TO8x 2 R ) ax+T0 = ax . tOGDA W SILU NE OBRA]ENIQ W 0 ZNA^ENIJ POKAZATELXNOJ FUNKCII (\TO WYTEKAET IZ REZULXTATOW P.
VI) I SWOJSTWA STEPENEJPOLU^AEM ax+T0 = ax , ax aT0 = ax , aT0 = 1. w SILU STROGOJ MONOTONNOSTI POKAZATELXNOJ FUNKCII (SM. P. VIII) aT0 = 1 , T0 = 0, PRI[LI KPROTIWORE^I@.2 * iGNORIROWANIE MNOGIMI AWTORAMI RASSMOTRENIQ SLU^AEW a = 1 I a = 0 MOGLOPRIWODITX K SERXEZNYM O[IBKAM U^A]IHSQ I ABITURIENTOW, NAPRIMER, PRI RE[ENIIURAWNENIJ TIPA f (x)g(x) = f (x)h(x) , KOGDA ILI ZABYWALASX RASSMATRIWATXSQ WOZMOVNOSTX f (x) = 1, ILI ISKL@^ALASX SITUACIQ, KOGDA PRI f (x) = 0 POLU^ALOSX g(x) > 0 Ih(x) > 0, PRI \TOM WEDX URAWNENIE f (x)g(x) = f (x)h(x) OBRA]ALOSX W WERNOE ^ISLOWOERAWENSTWO.26ppVII.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
