Методичка (4) (1108721), страница 4
Текст из файла (страница 4)
rE[ENIE PROSTEJ[EGO TRIGONOMETRI^ESKOGO URAWNENIQsin x = ao SWOJSTWAH \TOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII I EE GRAFIKE SM.NIVE, POSLE WYWODA FORMULY DLQ a sin x + b cos x NA STR. 69 | 74.w WOPROSE O RE[ENII URAWNENIQ sin x = a PROWEDEM ISSLEDOWANIE W ZAWISIMOSTI OT a :PRI jaj > 1 NET DEJSTWITELXNYH RE[ENIJ, TAK KAK E[sin] = [ 1; 1],64PRI jaj 6 1 SFORMULIRUEM OPREDELENIE arcsin a :h; i ;1)2 = arcsin a, ESLI2 22) sin = a:nIVE, NA STR. 69 | 70 DAETSQ GEOMETRI^ESKOE OBOSNOWANIE EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ DANNOGO URAWNENIQ NA OTREZKAH [ =2; =2] I [=2; 3=2],SOOTWETSTWENNO x = arcsin a I x = arcsin a(POSLEDNEE RAWENSTWO WYTEKAET I NA OSNOWE FORMULY sin( ) = sin ).oTS@DA, A TAKVE W SILU PERIODI^NOSTI S PERIODAMI 2n FUNKCIIy = sinx (n = 1; 2; : : :) I UTWERVDENIQ 1, DOKAZANNGO WY[E, WYTEKAET,^TO SOWOKUPNOSTX WSEH RE[ENIJ URAWNENIQ sin x = a ESTXI SERIQ x = arcsin a + 2nkII SERIQ x = arcsin a + 2n ) x = ( 1) arcsin a + k; 8n; k 2 Z(PRI k = 2n | I SERIQ, PRI k = 2n + 1 | II SERIQ).w ^ASTNYH SLU^AQH, PRI a = 0; a = 1; a = 1 FORMULY RE[ENIJUPRO]A@TSQ I SOOTWETSTWENNO IME@T WID:x = n; x = 2 + 2n; x = 2 + 2n; 8n 2 Z:def(2:6.
rE[ENIE PROSTEJ[EGO TRIGONOMETRI^ESKOGO URAWNENIQcos x = ao SWOJSTWAH \TOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII I EE GRAFIKE SM.NIVE, POSLE WYWODA FORMULY DLQ a sin x + b cos x NA STR. 69 | 74.w WOPROSE O RE[ENII URAWNENIQ cos x = a PROWEDEM ISSLEDOWANIE WZAWISIMOSTI OT a :PRI jaj > 1 NET DEJSTWITELXNYH RE[ENIJ, TAK KAK E[cos] = [ 1; 1],PRI jaj 6 1 SFORMULIRUEMOPREDELENIE arccos a :1) 2 [0; ]; def= arccos a, ESLI2) cos = a:nIVE, NA STR. 69 | 70 DAETSQ GEOMETRI^ESKOE OBOSNOWANIE EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ DANNOGO URAWNENIQ NA OTREZKAH [0; ] I [ ; 0] SOOTWETSTWENNOx = arccos a I x = arccos a (POSLEDNEE WYTEKAET I IZ ^ETNOSTI FUNKCIIy = cos x).oTS@DA, A TAKVE W SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII y = cos x S PERIODAMI2n; n = 1; 2; : : : I UTWERVDENIQ 1, DOKAZANNOGO WY[E, SOWOKUPNOSTXWSEH RE[ENIJ URAWNENIQ cos x = a ESTX:x = arccos a + 2n ) x = arccos a + 2n ;x = arccos a + 2nGDE n = 0; 1; 2; : : : .w ^ASTNYH SLU^AQH, PRI a = 0; a = 1; a = 1 FORMULY RE[ENIJ UPRO]A@TSQ I SOOTWETSTWENNO IME@T WID:65x = 2 + n; x = 2n; x = + 2n; 8n 2 Z:2:7.
rE[ENIE PROSTEJ[EGO TRIGONOMETRI^ESKOGO URAWNENIQtg x = ao SWOJSTWAH \TOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII I EE GRAFIKE SM.NIVE, POSLE DOKAZATELXSTW SWOJSTW FUNKCIJ y = sin x I y = cos xNA STR. 75 | 80.uRAWNENIE tgx = a IMEET RE[ENIQ PRI L@BOM a 2 R, TAK KAKE[tg] = ( 1; +1).sFORMULIRUEM OPREDELENIEarctg a.( def= arctga, ESLI 1) 2 2 ; 2 ;2) tg = a;arctg a OPREDELEN DLQ L@BOGO DEJSTWITELXNOGO a.nIVE, NA STR. 76 | 77 DA@TSQ GEOMETRI^ESKOE I ANALITI^ESKOE OBOSNOWANIQ EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ URAWNENIQ tg x = a NA INTERWALE( =2; =2), \TO x = arctg a, OTKUDA W SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII tg xS PERIODAMI n; n = 1; 2; : : : I UTWERVDENIQ 1, DOKAZANNOGO WY[E,WYTEKAET: SOWOKUPNOSTX WSEH RE[ENIJ URAWNENIQ tg x = a IMEET WID:x = arctg a + n; n = 0; 1; 2; : : : :2:8.
rE[ENIE PROSTEJ[EGO TRIGONOMETRI^ESKOGO URAWNENIQctg x = ao SWOJSTWAH \TOJ TRIGONOMETRI^ESKOJ FUNKCII I EE GRAFIKE SM.NIVE, POSLE DOKAZATELXSTW SWOJSTW FUNKCIJ y = sin x I y = cos xNA STR. 75 | 80.uRAWNENIE ctg x = a IMEET RE[ENIQ PRI L@BOM a 2 R, TAK KAKE[ctg] = ( 1; +1).sFORMULIRUEM OPREDELENIEarcctg a,def1)2 (0; ); = arcctg a, ESLI 2) ctg = a;arcctg a OPREDELEN DLQ L@BOGO a 2 R.nIVE, NA STR. 76 | 77 DA@TSQ GEOMETRI^ESKOE I ANALITI^ESKOE OBOSNOWANIQ EDINSTWENNOSTI RE[ENIQ URAWNENIQ ctgx = a NA INTERWALE (0; ),\TO x = arcctg a, OTKUDA W SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII y = ctg x S PERIODAMI n; n = 1; 2; : : : I UTWERVDENIQ 1, DOKAZANNOGO WY[E, WYTEKAET:SOWOKUPNOSTX WSEH RE[ENIJ URAWNENIQ ctg x = a IMEET WID:66x = arcctg a + n ; n = 0; 1; 2; : : : :2:9.
pREOBRAZOWANIE WYRAVENIQMOGATELXNOGO ARGUMENTApa sin x + b cos x S POMO]X@ WSPOpa sin x + b cos x = a2 + b2 sin(x + ') = a2 + b2 cos(x ); GDE98ab>>p;cos==< cos ' = pa2 + b2a2 + b2 :()ba>>;: sin ' = pp;sin=a2 + b2a2 + b2'; | WELI^INY UKAZANNYH WSPOMOGATELXNYH UGLOW. zDESX a I b ODNOWREMENNO NE OBRA]A@TSQ W NULX, TO ESTXa 6= 0 ; , a2 + b2 6= 0 , a2 + b2 > 0:b 6= 0dOKAZATELXSTWO:pa sin x + b cos x = a2 + b2 p 2a 2 sin x + p 2b 2 cos x ;a +ba +bbTAK KAK p 2a 2 + p 2b 2 = a2 a+ b2 + a2 b+ b2 = aa2 ++ b2 = 1,a +ba +bTO TREBUETSQ DOKAZATX SU]ESTWOWANIE TAKIH WELI^IN UGLOW ' ILI , ^TOWYPOLNQ@TSQ RAWENSTWA ().p2222222a = p jaj 6 1 ) 9' : cos ' = p a ;a + b2 a2 + b2a2 + b2ESLI b > 0, TO W KA^ESTWE ' MOVNO WZQTX ' = arccos p 2a 2 , TOGDAa +brr22sin ' = sin arccos p 2a 2 = 1 a2 a+ b2 = a2 b+ b2 = p 2b 2 ;a +ba +bESLI b < 0, TO POLOVIM ' = arccos p 2a 2 ; TOGDAa +brr2aab2 =sin ' = sin arccos p 2 2 = 1 a2 + b2 =a2 + b2a +bjbjb= p2 2=p2 2.a +ba +b67sU]ESTWOWANIE DOKAZYWAETSQ SOWER[ENNO ANALOGI^NO.zAME^ANIE 1.
eSLI a = b = 0, TO WYRAVENIE a sin x+b cos x PRI L@BOM xOBRA]AETSQ W NULX. pO\TOMU W DANNOM SLU^AE ONO NE TREBUET SPECIALXNOGOPREOBRAZOWANIQ.zAME^ANIE 2. pRI OBOSNOWANII SU]ESTWOWANIQ ' TAKOGO, ^TO DLQ NEGOIME@T MESTO RAWENSTWA (), ISPOLXZOWALOSXODNO IZ RAWENSTWpsin(arccos x) = cos(arcsin x) = 1 x2, SPRAWEDLIWYH 8x 2 R : jxj 6 1.dADIM WYWOD \TIH RAWENSTW, POSKOLXKUhNIVE ONIE]E BUDUT PRIMENQTXSQ.ipOSKOLXKU 8 x 2 R : jxj 6 1 arcsin x 2 2 ; 2 ; arccos x 2 [0; ], TOsin(arccos x) > 0 I cos(arcsin x) > 0, pA POTOMU PO FORMULAM(10) I (11)pNAqSTR.
55 POLU^AEM sin(arccos x) = 1 cos2(arccos x) = 1 x2 == 1 sin2 (arcsin x) = cos(arcsin x).682:10. sWOJSTWA TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ y = sin x I y = cos x IIH GRAFIKIRIS. 2.3 ARIS. 2.3 BzAMENIM x NA , TAK KAK x | ABSCISSA TO^KI NA OKRUVNOSTI.I. D[sin] = D[cos] = (1; +1).fIKSIRUEM PROIZWOLXNOE 2 R, TOGDA W SILU SWOJSTW DEJSTWITELXNYH^ISEL ODNOZNA^NO OPREDELENO ^ISLO =2 = a0 + r0 , GDE a0 2 Z, PRI^EM a0| NAIBOLX[EE CELOE ^ISLO, NE PREWOSHODQ]EE =2, OTKUDA 0 6 r0 < 1.oBOZNA^IM k = a0 , TOGDA = 2k + 0 , GDE 0 = 2r0, SLEDOWATELXNO,0 6 0 < 2.w WWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ" OTME^ALOSX, ^TO 0 ! M,GDE M | TO^KA NA EDINI^NOJ OKRUVNOSTI; \TOJ VE TO^KE OTWE^A@T ^ISLA\ tAK KAKWIDA = 0 + 2k 8 k 2 Z, GDE = AOM.sin def= y; cos def= x;GDE M M(x; y), TO ESTX x | ABSCISSA, A y | ORDINATA TO^KI M, TO DLQL@BOGO 2 R OPREDELENY sin I cos .II.
E[sin] = E[cos] = [ 1; 1].w SILU OSNOWNOGO TRIGONOMETRI^ESKOGO TOVDESTWA1 = (sin )2 + (cos )2 > (cos )2, ANALOGI^NO 1 > (sin )2,OTKUDA1 6 sin 6 1,1 6 cos 6 1.oSTAETSQ DOKAZATX, ^TO E[sin] I E[cos] ZAPOLNQ@T OTREZOK [ 1; 1] CELIKOM (SM. NIVE RIS. 2.4 A, B, W).fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE ^ISLA a0; a00 2 [ 1; 1], a0 $ Mx Mx (x; 0);0a0 $ My0 My0 (0; y), IBO KOORDINATNYE OSI | ^ISLOWYE PRQMYE(W [KOLXNOM KURSE MATEMATIKI BEZ DOKAZATELXSTWA PRINIMAETSQ FAKT WZAIMNO ODNOZNA^NOGO SOOTWETSTWIQ MEVDU MNOVESTWAMI WSEH DEJSTWITELXNYH^ISEL I WSEH TO^EK ^ISLOWOJ PRQMOJ).OMx = a0 I OMy0 = a00 | \TO WELI^INY OTREZKOW OMx I OMy0 SOOTWETSTWENNO.8 2 R69w SLU^AQH 1 < a0 < 1 I 1 < a00 < 1 TO^KI Mx I My0 LEVAT WNUTRIKRUGA S CENTROM W TO^KE O(0; 0) I RADIUSA R = 1. pROWODQ PERPENDIKULQR IZ TO^EK Mx ILI My0 K OSQM Ox I Oy SOOTWETSTWENNO, MY POLU^IMEDINSTWENNYE TO^KI (KOTORYE SOOTWETSTWENNO OBOZNA^IM ZA M0 I M00 ) IHPERESE^ENIQ S WERHNEJ I SOOTWETSTWENNO PRAWOJ POLUOKRUVNOSTQMI A TAKVE | EDINSTWENNYE TO^KI (KOTORYE SOOTWETSTWENNO OBOZNA^IM ZA M1 IM10 ) IH PERESE^ENIQ S NIVNEJ I SOOTWETSTWENNO LEWOJ POLUOKRUVNOSTQMI;* 5 TO^KE M0 UVE ODNOZNA^NO OTWE^AET UGOL S MEROJ 0 , A TO^KE M1 UVEODNOZNA^NO OTWE^AET UGOL S MEROJ 1, SOOTWETSTWENNO TO^KE M00 UVE ODNOZNA^NO OTWE^AET UGOL S MEROJ 00, A TO^KE M10 UVE ODNOZNA^NO OTWE^AETUGOL S MEROJ 01.w SLU^AE SINUSA \TO 00 2 [ =2; =2]; 01 2 [=2; 3=2],A W SLU^AE KOSINUSA \TO 0 2 [0; ]; 1 2 [ ; 0],sin 00 = a00; sin 01 = a00 , SOOTWETSTWENNO cos 0 = a0 ; cos 1 = a0 ,00 def= arcsin a00 , SOOTWETSTWENNO 0 def= arccos a0 I01 = arcsin a00 , SOOTWETSTWENNO 1 = arccos a0 .pRI a00 = 1 W SLU^AE SINUSA TO^KA My0 SOWPADAET S TO^KOJ M M(0; 1),KOTORAQ W SWO@ O^EREDX SOWPADAET S TO^KOJ D, 00 = =2, A W SLU^AE KOSINUSA TO^KA Mx SOWPADAET S TO^KOJ M M( 1; 0), KOTORAQ W SWO@ O^EREDXSOWPADAET S C, 0 = .
sOOTWETSTWU@]IE PERPENDIKULQRY, WOSSTANOWLENNYE IZ TO^EK My0 I Mx SOOTWETSTWENNO, BUDUT KASATXSQ EDINI^NOJ OKRUVNOSTI (SM. NIVE RIS. 2.4 B).pRI a00 = 1 W SLU^AE SINUSA TO^KA My0 SOWPADAET S TO^KOJ M M(0; 1),KOTORAQ W SWO@ O^EREDX SOWPADAET S TO^KOJ B, 00 = =2, A W SLU^AE KOSINUSATO^KA Mx SOWPADAET S TO^KOJ M M(1; 0), KOTORAQ W SWO@ O^EREDX SOWPADAETS A, 0 = 0. sOOTWETSTWU@]IE PERPENDIKULQRY, WOSSTANOWLENNYE IZ TO^EKMy0 I Mx SOOTWETSTWENNO, BUDUT KASATXSQ EDINI^NOJ OKRUVNOSTI(SM. NIVE RIS. 2.4 W).oTMETIM, ^TO PRI ja0j > 1 I ja00j > 1 PERPENDIKULQRY, WOSSTANOWLENNYEIZ TO^EK Mx $ a0 I My0 $ a00 K OSQM Oy I Ox SOOTWETSTWENNO, NE BUDUTIMETX OB]IH TO^EK S EDINI^NOJ OKRUVNOSTX@, ^TO QWLQETSQ GEOMETRI^ESKIM SMYSLOM OTSUTSTWIQ DEJSTWITELXNYH RE[ENIJ URAWNENIJ sin x = a Icos x = a PRI jaj > 1 (SM. NIVE RIS.
2.5 W).III. iZ REZULXTATOW P. II SLEDUET, ^TO FUNKCII sin x I cos x OGRANI^ENYNA WSEJ SWOEJ OBLASTI OPREDELENIQ.IV. iZ OPREDELENIJ SINUSA I KOSINUSA S POMO]X@ OKRUVNOSTI I NA OSNOWE REZULXTATOW P.II WYTEKAET :5*|TO WYTEKAET IZ TEOREM KURSA GEOMETRII O WZAIMNOM RASPOLOVENII PRQMOJ IOKRUVNOSTI I O PERPENDIKULQRNOSTI DIAMETRA I HORDY OKRUVNOSTI.70maxsin = 1 = sin(=2 + 2k), minsin = 1 = sin( =2 + 2k),2R2Rmaxcos = 1 = cos 2k; mincos = 1 = cos( +2k); k = 0; 1; 2; ::: .2 R2Ra0 = OMx ; 0 = arccos a0 ; a0 = OMx = OC = 1; a0 = OMx = OA = 1,1 = 0 ;0 = arccos( 1) = ;0 = arccos 1 = 0,a00 = OMy0 ; 00 = arcsin a00 ;a00 = OMy0 = OD = 1; a00 = OMy0 = OB = 1,01 = 00;00 = arcsin( 1) = =2; 00 = arcsin 1 = =2.RIS. 2.4 ARIS.
2.4 BRIS. 2.4 WV. 8 2 R sin( ) = sin , cos( ) = cos ,TO ESTX SINUS | FUNKCIQ NE^ETNAQ, A KOSINUS | FUNKCIQ ^ETNAQ.sHEMA DOKAZATELXSTWA.pUSTX 2 [0; ]. dLQ = 0; =2; DOKAZYWAEMYE RAWENSTWA SRAZUPOLU^A@TSQ IZ OPREDELENIJ SINUSA I KOSINUSA.RIS. 2.5 ARIS. 2.5 BRIS. 2.5 WpRI 0 < < ; 6= =2, RASSMATRIWAQ NA RIS. 2.5 A (B) TREUGOLXNIKI4OMMx I 4OMx M 0, GDE MM 0 ? Ox, POLU^IM IH RAWENSTWO PO OB]EMUKATETUI GIPOTENUZE, OTKUDA \ \ 0\ = I AOM\0 = .) ) AOMM OMx = Mx OM = (71sLEDOWATELXNO, cos( ) = cos = x = WELI^INE OTREZKA OMx , GDEMx Mx (x; 0).tAK KAK jMx M j = jM 0Mx j, TO WELI^INA OTREZKA Mx M 0 * 6 RAWNA MINUSWELI^INE OTREZKA Mx M, WELI^INA OTREZKA Mx M RAWNA y = sin ;M M(x; y), WELI^INA OTREZKA Mx M 0 RAWNA sin( ) = y,M 0 M 0 (x; y) ) sin( ) = sin .dALEE IZ RAWENSTW cos = cos( ( )) = cos( ) Isin = sin( ( )) = sin( ) DOKAZYWAETSQ NE^ETNOSTX SINUSA I ^ETNOSTXKOSINUSA NA OTREZKE [ ; 0], IBO ESLI 2 [ ; 0], TO 2 [0; ], A NA \TOMOTREZKE SOOTWETSTWU@]IE SWOJSTWA UVE DOKAZANY.zATEM S ISPOLXZOWANIEM PERIODI^NOSTI (SM.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
