Методичка (4) (1108721), страница 2
Текст из файла (страница 2)
pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA NA MNOVESTWE X,QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM T, MNOVESTWO X PREDSTAWLQET SOBOJ50OTREZOK [c; d], T = d c I FUNKCIQ y = f(x) WOZRASTAET (UBYWAET) NAOTREZKE [c; (c + d)=2], A TAKVE ONA UBYWAET (WOZRASTAET) NA OTREZKE[(c + d)=2; d], TOGDA ^ISLO T QWLQETSQ EE OSNOWNYM PERIODOM.dOKAZATELXSTWO. w SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII S PERIODOM T = d c )) f(c) = f[c+(d c)] = f(d), A POTOMU W SILU USLOWIJ STROGOJ MONOTONNOSTIFUNKCII f(x) NA SOOTWETSTWU@]IH OTREZKAH MY IMEEM:c; c +2 dc + d ; d ) f(c) = f(d) < (>)f(x):8x 2) f(c) < (>)f(x); 8x 22sLEDOWATELXNO, 8 x 2 (c; d) ) f(c) < (>)f(x).
pO\TOMU, PREDPOLAGAQSU]ESTWOWANIE ^ISLA t TAKOGO, ^TO 0 < t < T = d c, QWLQ@]EGOSQPERIODOM FUNKCII f(x), MY POLU^AEM, W ^ASTNOSTI, WYPOLNENIE RAWENSTWAf(c) = f(c + t), NO TAK KAK c < c + t < c + (d c) = d, TO c + t 2 (c; d).pOLU^ILI PROTIWORE^IE, KOTOROE I DOKAZYWAET DANNOE UTWERVDENIE.uTWERVDENIE 5.
pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA NA MNOVESTWE X,QWLQETSQ PERIODI^ESKOJ S PERIODOM T, MNOVESTWO X PREDSTAWLQET SOBOJINTERWAL (c; d); T = d c I FUNKCIQ y = f(x) WOZRASTAET (UBYWAET) NAINTERWALE (c; d), TOGDA ^ISLO T QWLQETSQ EE OSNOWNYM PERIODOM.dOKAZATELXSTWO. pREDPOLOVIM, ^TO SU]ESTWUET ^ISLO t, TAKOE, ^TO0 < t < T = d c, TAKVE QWLQ@]EESQ PERIODOM FUNKCII f(x).
tOGDA, W^ASTNOSTI, PRI L@BOM x 2 D[f] DOLVNO WYPOLNQTXSQ RAWENSTWOf(x) = f(x + t). pOLOVIM x = d t, TOGDA x 2 (c; d). eSLIf(d) = f(x + t) NE OPREDELENO, TO DLQ \TOGO ZNA^ENIQ x RAWENSTWOf(x) = f(x + t) NEWOZMOVNO, POLU^ILI PROTIWORE^IE. eSLI VE ZNA^ENIEf(d) OPREDELENO I SLU^AJNO OKAVETSQ, ^TO f(d t) = f(d), TO POLOVIMx = c +2 d 2t , TOGDA x + t = c +2 d + 2t . w SILU POLOVITELXNOSTI ^ISLA t,A TAKVE TOGO, ^TO t=2 < (d c)=2 IME@T MESTO SLEDU@]IE NERAWENSTWA:c + d > x > c + d d c = c I c + d < x + t < c + d + d c = d:222222sLEDOWATELXNO, ^ISLA x I x + t PRINADLEVAT INTERWALU (c; d), PO\TOMUZNA^ENIQ f(x) I f(x + t) OPREDELENY. w SILU TOGO, ^TO x < x + t, ATAKVE WOZRASTANIQ (UBYWANIQ) FUNKCII f(x) NA INTERWALE (c; d) WYTEKAETNERAWENSTWO f(x + t) > (<)f(x).
tAKIM OBRAZOM, RAWENSTWO f(x + t) = f(x)NE WYPOLNQETSQ. pRI[LI K PROTIWORE^I@, KOTOROE POLNOSTX@ DOKAZYWAET\TO UTWERVDENIE.sFORMULIRUEM OPREDELENIQ sin ; cos ; tg ; ctg c POMO]X@ OKRUVNOSTI S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT RADIUSA R > 0, GDE | MERA UGLAAOM S NA^ALOM | LU^OM OA, A | A(R; 0) I KONCOM | LU^OM OM;M | M(x; y) TO^KA UKAZANNOJ OKRUVNOSTI (SM. NIVE RIS. 2.2 A),51= Rx ;sin def= Ry ; cos defsin (cos 6= 0) ; ctg defcos (sin 6= 0) :tg def= cos=sin tg NE OPREDELEN PRI cos = 0 ; ctg NE OPREDELEN PRI sin = 0 .dOKAVEM UTWERVDENIE O TOM, ^TO OPREDELENNYE TAKIM OBRAZOM TRIGONOMETRI^ESKIE FUNKCII QWLQ@TSQ FUNKCIQMI TOLXKO WELI^INY UGLA , INIKAK NE ZAWISQT OT RADIUSA OKRUVNOSTI R > 0.RIS.
2.2 ARIS. 2.2 BrASSMOTRIM DWE KONCENTRI^ESKIEOKRUVNOSTI, CENTR KOTORYH W TO^KEO(0; 0) I RADIUSY RAWNY R I R0 SOOTWETSTWENNO. eSLI, NAPRIMER,\(OA; OM) OKAN^IWAETSQ NA OTRICATELXNOJ POLUOSI ORDINAT, TO TO^KAM(x; y) D(0; R), A PRINADLEVA]AQ TOMU VE LU^U OM S TOJ VE NA^ALXNOJ TO^KOJ O TO^KA M 0(x0 ; y0 ) D0 (0; R0), TOGDA y : R = R : R == R0 : R0 = y0 : R0 = 1, x : R = 0 : R = 0 : R0 = x0 : R0 = 0,\\SLEDOWATELXNO, sin (OA;OM) = 1; cos (OA;OM) = 0, TO ESTX NE ZAWISQT OT RADIUSA OKRUVNOSTI. aNALOGI^NO RASSMATRIWA@TSQ SLU^AI, KOGDA\(OA; OM) OKAN^IWAETSQ NA DRUGIH KOORDINATNYH POLUOSQH.\eSLI \(OA; OM1) OKAN^IWAETSQ W PERWOJ ^ETWERTI, (OA;OM1) = 1(SM. RIS.
2.2 B), TO POSKOLXKU PERWAQ KOORDINATNAQ ^ETWERTX | PERESE^ENIEWERHNEJ OTNOSITELXNO OSI ABSCISS POLUPLOSKOSTI I PRAWOJ OTNOSITELXNOOSI ORDINAT POLUPLOSKOSTI, TO WSE TO^KI LU^A OM1 (W ^ASTNOSTI, TO^KIM1 I M10 ) BUDUT RASPOLOVENY W \TOJ VE ^ETWERTI, A POTOMU ZNAKI ABSCISSI ORDINAT TO^EK M1 I M10 BUDUT SOWPADATX (W PERWOJ ^ETWERTI KOORDINATY TO^EK POLOVITELXNY), M1 (x; y) I M10 (x0; y0 ) | TO^KI PERESE^ENIQ LU^A52OM1 I OKRUVNOSTEJ RADIUSOW R I R0 * 3 SOOTWETSTWENNO; PRQMOUGOLXNYETREUGOLXNIKI OM1xM1 I OM10 xM10 , KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ UGOL, PODOBNY, SLEDOWATELXNO,jM1xM1 jjM10 xM10 jjy1jjy10 jy1 = y10 def=,=,jOM1jjOM10 jR R0R R0 = sin 1;jOM1xjjOM10 xjjx1jjx01jx1 = x01 def=,=,jOM1jjOM10 jRR0R R0 = cos 1:aNALOGI^NO, ESLI \(OA; OM2) OKAN^IWAETSQ WO WTOROJ ^ETWERTI,\(OA; OM2) = 2 (SM.
RIS. 2.2 B), TO POSKOLXKU WTORAQ KOORDINATNAQ ^ETWERTX | PERESE^ENIE WERHNEJ OTNOSITELXNO OSI ABSCISS POLUPLOSKOSTI ILEWOJ OTNOSITELXNO OSI ORDINAT POLUPLOSKOSTI, TO WSE TO^KI LU^A OM2(W ^ASTNOSTI, TO^KI M2 I M20 ) BUDUT RASPOLOVENY W \TOJ VE ^ETWERTI, A POTOMU ZNAKI ABSCISS I ORDINAT TO^EK M2 I M20 BUDUT SOWPADATX (WO WTOROJ^ETWERTI ORDINATY TO^EK POLOVITELXNY, A ABSCISSY | OTRICATELXNY),M2 (x; y) I M20 (x0; y0 ) | TO^KI PERESE^ENIQ LU^A OM2 I OKRUVNOSTEJ RADIUSOW R I R0 SOOTWETSTWENNO; PRQMOUGOLXNYE TREUGOLXNIKI OM2xM2 IOM20 x M20 KAK IME@]IE OB]IJ OSTRYJ UGOL PODOBNY, SLEDOWATELXNO,jM2xM2 jjM20 xM20 jjy2jjy20 jy2 = y20 def=,=,jOM2jjOM20 jR R0R R0 = sin 2;jOM2xjjOM20 xjjx2jjx02jx2 = x02 , x2 = x02 def=,=,0jOM2 jjOM2 jRR0RR0R R0 = cos 2:tO^NO TAKIM VE OBRAZOM RASSMATRIWA@TSQ SLU^AI, KOGDA UGOL OKAN^IWAETSQ KAK W TRETXEJ, TAK I W ^ETWERTOJ ^ETWERTQH.
iTAK, MY POLU^ILINEZAWISIMOSTX OPREDELENNYH ZNA^ENIJ FUNKCIJ SINUS I KOSINUS OT RADIUSA OKRUVNOSTI S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT. nEZAWISIMOSTX OT RADIUSAFUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS SLEDUET IZ IH OPREDELENIJ KAK REZULXTATOWDELENIQ FUNKCIJ SINUS NA KOSINUS I SOOTWETSTWENNO | KOSINUS NA SINUS.uTWERVDENIE POLNOSTX@ DOKAZANO.w SOOTWETSTWIE S DOKAZANNYM UTWERVDENIEM WPREDX MY MOVEM RASSMATRIWATX OPREDELENIQ TRIGONOMETRI^ESKIH FUNKCIJ WELI^IN UGLOW S POMO]X@ OKRUVNOSTI S CENTROM W NA^ALE KOORDINAT RADIUSA 1 , TAKU@ OKRUVNOSTX NAZYWA@T EDINI^NOJ.3 * sU]ESTWOWANIE I EDINSTWENNOSTX TAKIH TO^EK WYTEKAET IZ TEOREMY O SU]ESTWOWANII I EDINSTWENNOSTI TO^KI M NA DANNOM LU^E S DANNOJ NA^ALXNOJ TO^KOJ (WER[INOJ) OTAKOJ, ^TO RASSTOQNIE OT TO^KI M DO TO^KI O (jOM j) RAWNO ZADANNOMU POLOVITELXNOMU^ISLU a .53sFORMULIRUEM OPREDELENIQ sin ; cos; tg; ctg c POMO]X@ EDINI^NOJ OKRUVNOSTI, GDE | MERA UGLA AOM S NA^ALOM | LU^OM OA;A | A(1; 0) I KONCOM | LU^OM OM; M | M(x; y) TO^KA EDINI^NOJOKRUVNOSTI (SM.
NIVE RIS. 2.2 W), sin def= y ; cos def= x;sin (cos 6= 0) ; ctg defcos (sin 6= 0);tg def= cos=sin PO OPREDELENI@ tg NE OPREDELEN PRI cos = 0 ; ctg NE OPREDELEN PRIsin = 0.w SILU UKAZANNOGO WY[E FAKTA O TOM, KAKIE MERY IME@T UGLY, OTWE^A@]IE TO^KE M NA OKRUVNOSTI c CENTROM W TO^KE O(0; 0) RADIUSA R > 0,W ^ASTNOSTI, OTWE^A@]IE TO^KE M NA EDINI^NOJ OKRUVNOSTI, KOTORAQ WSWO@ O^EREDX OTWE^AET UGLU RADIANNOJ MERY , SPRAWEDLIWY FORMULY PE-RIODI^NOSTI DLQ SINUSA I KOSINUSAsin( + 2n) = sin ; cos( + 2n) = cos ; n = 0 ; 1 ; 2 ; : : : :2:1. oSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO. sOOTNO[ENIQ MEVDU TRIGONOMETRI^ESKIMI FUNKCIQMI ODNOGO I TOGO VE ARGUMENTARIS. 2.2 WRIS.
2.2 G8 2 R sin +cos = 1(1)| OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO.dOKAZATELXSTWO. oNO WYTEKAET IZ TOGO, ^TO KOORDINATY TO^KI M(x; y)(b(OA; OM) = ), LEVA]EJ NA OKRUVNOSTI S CENTROM W TO^KE O(0; 0) I RADIUSA R = 1, UDOWLETWORQ@T URAWNENI@ x2 + y2 = 1, GDE x = cos ; y = sin .tEOREMA 1.tEOREMA222.12cos2 = tg + 1 , cos 6= 0 , 6= 2 + k 8k 2 Z;1 = ctg2 + 1 , sin 6= 0 , 6= k 8k 2 Z:sin2 54(2)(3)|TI FORMULY POLU^A@TSQ, ESLI W OSNOWNOM TRIGONOMETRI^ESKOM TOVDESTWE PROIZWESTI PO^LENNOE DELENIE NA cos2 I sin2 SOOTWETSTWENNO.sLEDSTWIQ.
iZ FORMUL, USTANOWLENNYH W TEOREME 2, SLEDU@T:1 = ptg2 + 1 ; ESLI cos 6= 0 ;j cos j1 = pctg2 + 1 ; ESLI sin 6= 0 ;j sin j1; ESLI cos > 0tg+1cos = >;1>p;ESLIcos<0:tg2 + 18=)1>>; ESLI sin > 0< p2ctg+1;sin = >1>p;ESLIsin<0:ctg2 + 18tg ; ESLI cos > 0>>< p 2=) sin = cos tg = > tg tg+ 1;>p;ESLIcos<0:tg2 + 18>>< p2ctg ; ESLI sin > 0ctg2 + 1ctg ; ESLI sin < 0 ;pctg2 + 18>>< p=) cos = sin ctg = >>:j sin j =j cos j =p1 cos2 ) sin =p1 sin ) cos =2>>:(5)(6)(7)(8)(9)p1pcos2 ; ESLI sin > 0 ; (10)1 cos2 ; ESLI sin 6 0( p1 sin2 ; ESLI cos > 0 ; (11)1 sin2 ; ESLI cos 6 0psin ; ESLI cos > 01 sin2 sin ; ESLI cos < 0 ;p1 sin2 8>>p><sin =tg = cos >(4)55(12)8>><p1 cos2 ; ESLI 0 6 sin < 1pcos ;1 cos2 ; ESLI 1 < sin 6 0cos 8cos ; ESLI sin > 0>< p=1 cos2 ctg = coscos ; ESLI sin < 0 ;sin >:p1 cos2 sin =tg = cos >>:8 p>><ctg = cossin = >>:8>><tg = >>:1 sin2 ; ESLI 0 6 cos < 1sin ;p1 sin2 ; ESLI 1 < cos 6 0sin r11; ESLI tg > 02cos;r1cos2 1 ; ESLI tg 6 08 r>><11 ; ESLI ctg > 02sin;ctg = > r 1>:1 ; ESLI ctg 6 0sin2 tg ctg = 1 ; 6= n2 8n 2 Z :(13)(14)(15)(16)(17)(18)oBRATITX WNIMANIE NAp NEKORREKTNOSTX ZAPISEJ WIDAsin = 1 cos2 ; cos = p 21tg + 1BEZ UKAZANIQ, PRI KAKIH ZNAK " + ", A PRI KAKIH " ", TAK KAK SO-GLASNO TAKOJ ZAPISI POLU^AETSQ NEODNOZNA^NAQ OPREDELENNOSTX SINUSA ILIKOSINUSA PO DANNOMU ZNA^ENI@ ARGUMENTA, ^TO NEWERNO.2:2.
fORMULY SLOVENIQ:cos( ); sin( ); tg( ); ctg( ).oBRATIM WNIMANIE NA PODROBNYJ WYWOD ODNOJ IZ \TIH FORMUL,NAPRIMER,8; 2 R cos( ) = cos cos + sin sin ;(1)rASSMOTRIM SLU^AJ 0 6 6 < 2, PUSTX M | M(cos ; sin ),N | N(cos ; sin ), ZAPI[EM FORMULU DLQ jMN j2 (SM. WY[E RIS. 2.2 G)56jMN j2 = (cos cos )2 + (sin sin )2 ;ZATEM W NOWOJ SISTEME KOORDINAT, POWERNUTOJ NA UGOL WELI^INY WOKRUGTO^KI O(0; 0), UVE N | N(1; 0), A M | M(cos( ) ; sin( ))(SM. WY[E RIS. 2.2 G), PO\TOMUjMN j2 = (cos( ) 1)2 + (sin( ) 0)2:pRIRAWNIWAQ WYRAVENIQ DLQ jMN j2, ISPOLXZUQ OSNOWNOE TRIGONOMETRI^ESKOE TOVDESTWO, MY I POLU^AEM FORMULU DLQ cos( ) PRI UKAZANNYH I .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
