Методичка (4) (1108721), страница 6
Текст из файла (страница 6)
55 POLU^AEM:r2p = c0 = a:sin = 1 c0 2 = 1 a2a+ 1 = p 21 = d0 ) Stg = cossin d0a +1III. iZ REZULXTATOW P. II WYTEKAET, ^TO FUNKCII TANGENS I KOTANGENS NEOGRANI^ENY NA SWOIH OBLASTQH OPREDELENIQ.77IV. iZ REZULXTATOW P. II WYTEKAET, ^TO FUNKCII TANGENS I KOTANGENS NEIME@T NAIBOLX[EGO I NAIMENX[EGO ZNA^ENIJ NA SWOIH OBLASTQH OPREDELENIQ.V. pRI ISSLEDOWANII ^ETNOSTI ILI NE^ETNOSTI FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS (SOGLASNO OPREDELENI@ \TIH SWOJSTW) SNA^ALA DOKAVEM, ^TO DLQL@BOGO 2 D[tg] ILI 2 D[ctg], TO ESTX 6= =2 + n 8 n 2 Z, SOOTWETSTWENNO 6= m 8m 2 Z ) TAKVE PRINADLEVIT SOOTWETSTWU@]EJOBLASTI OPREDELENIQ. 2 D[tg] , cos 6= 0, A TAK KAK 8 2 R cos( ) = cos , TO cos 6= 0 ,, cos( ) 6= 0, STALO BYTX, 2 D[tg].
aNALOGI^NO 2 D[ctg] , sin 6=6= 0, A TAK KAK 8 2 R sin( ) = sin , TO sin 6= 0 , sin( ) 6= 0, STALOBYTX, 2 D[ctg]. sLEDOWATELXNO, OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCIJ TANGENSI KOTANGENS SIMMETRI^NY OTNOSITELXNO 0 = 0.dALEE, NE^ETNOSTX FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS UVE NEPOSREDSTWENNO WYTEKAET IZ IH OPREDELENIJ, NE^ETNOSTI SINUSA I ^ETNOSTI KOSINUSASLEDU@]IM OBRAZOM:82sin( ) = sin = sin = tg ,D[tg] tg ( ) = cos() cos cos cos()cos = ctg .D[ctg] ctg ( ) = sin( ) = sin = cossin 2VI. pRI ISSLEDOWANII PERIODI^NOSTI FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS, SOGLASNO OPREDELENI@ \TOGO SWOJSTWA, SNA^ALA USTANOWIM, ^TO ESLI 2 D[tg]ILI 2 D[ctg], TO 8m 2 Z + m 2 D[tg], SOOTWETSTWENNO + m 2 D[ctg].
2 D[tg] , cos 6= 0, A TAK KAK 8 2 R I 8m 2 Z cos( + m) == ( 1)m cos (SM. FORMULY (32) P. 40 RAZDELA "tRIGONOMETRIQ"), TO Icos( + m) 6= 0 ) + m 2 D[tg]. aNALOGI^NO, 2 D[ctg] , sin 6= 0, ATAK KAK 8 2 R I 8m 2 Z sin( + m) = ( 1)m sin , TO I sin( + m) 6=6= 0 ) + m 2 D[ctg].8dALEE PERIODI^NOSTX TANGENSA I KOTANGENSA WYTEKAET IZ IH OPREDELENIJI FORMUL (32) P. 40 RAZDELA "tRIGONOMETRIQ" SLEDU@]IM OBRAZOM:sin( + n) = ( 1)n sin = tg ;tg ( + n) = cos(+ n) ( 1)n cos + n) = ( 1)n cos = ctg ctg ( + n) = cos(sin( + n) ( 1)n sin PRI L@BOM IZ OBLASTI OPREDELENIQ FUNKCII TANGENS ILI SOOTWETSTWENNOKOTANGENS I L@BOM CELOM ZNA^ENII ^ISLA n. a \TO I OZNA^AET PERIODI^NOSTX KAVDOJ IZ \TIH FUNKCIJ S PERIODAMI n; n = 1; 2; ::: .78VII. iZ REZULXTATOW P.
VII ISSLEDOWANIQ FUNKCIJ SINUS I KOSINUS IOPREDELENIJ FUNKCIJ TANGENS I KOTANGENS WYTEKAET, ^TOtg = 0 () sin = 0 () = n,ctg = 0 () cos = 0 () = =2 + n,n = 0; 1; 2; ::: .tg I ctg POLOVITELXNY (OTRICATELXNY) TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDAFUNKCII SINUS I KOSINUS PRINIMA@T ZNA^ENIQ ODNOGO ZNAKA (RAZNYH ZNAKOW).
sLEDOWATELXNO, FUNKCII TANGENS I KOTANGENS POLOVITELXNY NA KAVDOM IZ INTERWALOW (n; =2+n) I OTRICATELXNY NA KAVDOM IZ INTERWALOW( =2 + n; n) 8n 2 Z.VIII. tg WOZRASTAET NA ( =2+n; =2+n) 8n 2 Z, PRI^EM NA KAVDOMIZ \TIH INTERWALOW W OTDELXNOSTI, A ctg UBYWAET NA (n; + n) 8n 2 ZI TAKVE W OTDELXNOSTI NA KAVDOM IZ \TIH INTERWALOW.dOKAZATELXSTWA.
w SILU PERIODI^NOSTI TANGENSA I KOTANGENSA, UTWERVDENIQ 2, DOKAZANNOGO W WODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ", DOSTATO^NORASSMOTRETX SLU^AJ n = 0. fIKSIRUEM PROIZWOLXNYE x1 I x2 , GDE=2 < x1 < x2 < =2 W SLU^AE TANGENSA, I 0 < x1 < x2 < W SLU^AEKOTANGENSA, OTKUDA W SILU SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW W OBOIH SLU^AQH0 < x2 x1 < . pRIMENIM FORMULY RAZNOSTEJ TANGENSOW I KOTANGENSOWARGUMENTOW x2 I x1:x1) ; ctgx ctgx = sin(x2 x1) :2tg x2 tg x1 = sin(x21cos x cos xsin x sin x2121|TI FORMULY DOKAZANY WY[E, W P.
2:3 (FORMULA (7) I (8) DLQ ZNAKA" "). w SILU REZULXTATOW ISSLEDOWANIQ P.VII O PROMEVUTKAH ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCIJ SINUS I KOSINUS, MY I POLU^AEM, ^TOtgx2 tgx1 > 0 ; ctgx2 ctgx1 < 0:oTS@DA I WYTEKA@T DOKAZYWAEMYE UTWERVDENIQ.zAME^ANIE. uTWERVDENIQ \TOGO PUNKTA MOVNO DOKAZATX S POMO]X@ TEOREMY O ZNAKE PROIZWODNOJ.w SILU REZULXTATOW \TOGO PUNKTA, A TAKVE UTWERVDENIQ 5, DOKAZANNOGO W WWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ" WYTEKAET, ^TO | OSNOWNOJPERIOD RASSMATRIWAEMYH FUNKCIJ.
pRI \TOM W SLU^AE FUNKCII tg W KA^ESTWE c, FIGURIRU@]EGO W \TOM UTWERVDENII, BERETSQ =2, A W KA^ESTWEd BERETSQ =2, W SLU^AE FUNKCII ctg W KA^ESTWE c, BERETSQ 0, A W KA^ESTWEd BERETSQ .nA OSNOWE \TOGO FAKTA, PERIODI^NOSTI \TIH FUNKCIJ S PERIODAMI n,I UTWERVDENIQ 3, DOKAZANNOGO W WWODNOJ ^ASTI RAZDELA "tRIGONOMETRIQ",USTANAWLIWAETSQ, ^TO NIKAKIH DRUGIH PERIODOW, KROME n, FUNKCII tg x Ictg x NE IME@T.79IX. fUNKCIQ tgx STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA POLUOTREZKAH[n; =2+n) (( =2+n; n]) PRI L@BOM CELOM ZNA^ENII n, TO ESTX NA TEHOTREZKAH, GDE ONA PRINIMAET NEOTRICATELXNYE (NEPOLOVITELXNYE) ZNA^ENIQ.dOKAZATELXSTWO.
w SILU PERIODI^NOSTI FUNKCII tgx S PERIODAMI m8m 2 Z; m 6= 0 DOSTATO^NO RASSMOTRETX LI[X SLU^AJ n = 0. fIKSIRUEMPROIZWOLXNYE DEJSTWITELXNYE x1 I x2 2 [0; =2),x1 6= x2. sRAWNIMRAZNOSTXf(x1 ) + f(x2 ) S ^ISLOM 0 :f x1 +2 x22pRIMENQQ FORMULY SUMMY TANGENSOW I TANGENSA POLOWINNOGO ARGUMENTA(SM. PP. 30 I 40 RAZDELA "tRIGONOMETRIQ", FORMULY (7) I (15)), A ZATEM IFORMULU KOSINUSASUMMYI RAZNOSTI DWUH ARGUMENTOW, MY POLU^IM:xf(x1 + x21 ) + f(x2 )f= tg x1 +2 x2 tgx1 +2 tgx2 =22sin(x1 + x2 ) =1 + x2 )= 1 +sin(xcos(x1 + x2 ) 2 cos x1 cos x2= sin(x1 + x2) 1 + cos x cos x1 sin x sin x 2 cos x1 cos x =121212(sin(x+x))(cosxcosx+sinxsinx1)121212==2(1 + cos(x1 + x2 )) cos x1 cos x2x2) 1)1 + x2 ))(cos(x1= (sin(x2(1 + cos(x1 + x2)) cos x1 cos x2 < 0 :pOSLEDNEE NERAWENSTWO WYTEKAET IZ SWOJSTW ^ISLOWYH NERAWENSTW, PROMEVUTKOW ZNAKOPOSTOQNSTWA FUNKCIJ SINUS I KOSINUS, OBLASTI IZMENENIQFUNKCII KOSINUS SLEDU@]IM OBRAZOM:0 6 x1 < 2 ;(9)(10)0 6 x2 < 2 ;m < x 6 0;(11)22TAK KAK x1 I x2 IZ POLUOTREZKA [0; =2) RAZLI^NY, TO ONI NE MOGUT ODNOWREMENNO RAWNQTXSQ NUL@, A POTOMU, SKLADYWAQ PO^LENNO NERAWENSTWA (9)I (10); (9) I (11), MY POLU^IM:0 < x1 + x2 < ;(12) < x x < 0;(13)2 1 280ILIOTKUDA I IMEEM:0 < x1 x2 < 2 ;(14)cos x1 > 0 ; cos x2 > 0 ; cos(x1 x2 ) < 1 ; sin(x1+x2 ) > 0 I 1+cos(x1 +x2) > 0 :iTAK, STROGAQ WYPUKLOSTX WNIZ FUNKCII tgx NA POLUINTERWALE [0; =2)DOKAZANA.
w SILU NE^ETNOSTI FUNKCII tgx I UTWERVDENIQ 2 WYTEKAET EESTROGAQ WYPUKLOSTX WWERH NA POLUINTERWALE ( =2; 0]; ^TO I TREBOWALOSXDOKAZATX.fUNKCIQ ctgx STROGO WYPUKLA WNIZ (WWERH) NA POLUOTREZKAH(n; =2 + n] ([=2 + n; + n)) PRI L@BOM CELOM ZNA^ENII n, TO ESTX NATEH POLUOTREZKAH, GDE ONA PRINIMAET NEOTRICATELXNYE (NEPOLOVITELXNYE)ZNA^ENIQ.|TO UTWERVDENIE UVE WYTEKAET IZ USTANOWLENNYH PROMEVUTKOW STROGOJWYPUKLOSTI FUNKCII tgx; FORMULY ctgx = tg(=2 + x).mOVNO, ODNAKO, ISSLEDOWATX NA WYPUKLOSTX FUNKCI@ ctgx; NE OPIRAQSXNA WYPUKLOSTX FUNKCII tgx; PO ANALOGI^NOJ, ^TO I tgx SHEME.
pREDOSTAWLQETSQ \TO SDELATX SAMOSTOQTELXNO.X. gRAFIKI:RIS. 2.8 ARIS. 2.8 BoTMETIM, ^TO PRI x ! 2 +n 0 tg x ! 1, A PRI x ! n 0 ctg x ! 1(FORMULIROWKI SOOTWETSTWU@]IH OPREDELENIJ I DOKAZATELXSTWA DA@TSQ WKURSE MATEMATI^ESKOGO ANALIZA).81dOPOLNITELXNYJ MATERIAL K RAZDELU "tRIGONOMETRIQ"mATERIAL \TOGO DOPOLNENIQ WESXMA POLEZNO I WAVNO ZNATX, POSKOLXKUON DOWOLXNO ^ASTO ISPOLXZUETSQ PRI RE[ENII ZADA^. rE^X POJDET O PONQTII OBRATNOJ FUNKCII, BUDET DOKAZANA TEOREMA O SU]ESTWOWANII OBRATNOJFUNKCIJ, TEOREMA O GRAFIKAH WZAIMNO OBRATNYH FUNKCIJ, RASSMOTRENYPRIMERY SU]ESTWOWANIQ I NE SU]ESTWOWANIQ OBRATNYH FUNKCIJ, PRIWEDENY RAZLI^NYE PRIMERY.oPREDELENIE OBRATNOJ FUNKCII. pUSTX FUNKCIQ y = f(x) OPREDELENA NANEKOTOROM MNOVESTWE X, KOTOROE (ILI, BYTX MOVET, ^ASTX EGO, MNOVESTWOX 0 X) OBLADAET TEM SWOJSTWOM, ^TO DLQ KAVDOGO \LEMENTA y0 2 Y 0(Y 0 | OBLASTX ZNA^ENIJ FUNKCII y = f(x), GDE x | PROIZWOLXNOE ZNA^ENIEMNOVESTWA X 0 ) SU]ESTWUET EDINSTWENNOE x0 2 X 0 TAKOE, ^TO y0 = f(x0 ).tOGDA NA MNOVESTWE Y 0 MOVNO OPREDELITX FUNKCI@, OBOZNA^AEMU@x = f 1 (y), (PRI \TOM y = f(x)), KOTORAQ I NAZYWAETSQ OBRATNOJ FUNKCIEJDLQ FUNKCII y = f(x), RASSMATRIWAEMOJ NA MNOVESTWE X 0 .iZ \TOGO OPREDELENIQ NETRUDNO WIDETX, ^TO OBRATNAQ FUNKCIQ SU]ESTWUET TOGDA I TOLXKO TOGDA, KOGDA MEVDU OBLASTX@, GDE RASSMATRIWAETSQFUNKCIQ y = f(x), I MNOVESTWOM EE SOOTWETSTWU@]IH ZNA^ENIJ USTANOWLENO WZAIMNO ODNOZNA^NOE SOOTWETSTWIE (TAKIE MNOVESTWA NAZYWA@TSQ \KWIWALENTNYMI, OBOZN.
X 0 Y 0, GDE | ZNAK \KWIWALENTNOSTI MNOVESTW).tAKVE OTMETIM, ^TO W SLU^AE SU]ESTWOWANIQ DLQ FUNKCII y = f(x)OBRATNOJ FUNKCII x = f 1 (y) FUNKCIQ y = f(x) W SWO@ O^EREDX BUDETOBRATNOJ DLQ FUNKCII x = f 1 (y). sLEDOWATELXNO, MOVNO GOWORITX O PAREWZAIMNO OBRATNYH FUNKCIJ: y = f(x) I x = f 1 (y).eSLI DLQ FUNKCII y = f(x), OPREDELENNOJ NA MNOVESTWE X (TO ESTXX = D[f]), SU]ESTWUET OBRATNAQ FUNKCIQ x = f 1 (y), TO D[f] = E[f 1 ], AE[f] = D[f 1 ], IME@T MESTO RAWENSTWA f(f 1 (y)) = f(x) = y I f 1 (f(x)) == f 1 (y) = x. tAKIM OBRAZOM, POSLEDOWATELXNO PRIMENENNYE W L@BOM PORQDKE OPRERACII f I f 1 DRUG DRUGA WZAIMNO UNI^TOVA@T.w DALXNEJ[EM MY ^ASTO BUDEM MENQTX OBOZNA^ENIQMI x I y W WYRAVENIIDLQ OBRATNOJ FUNKCII, TO ESTX OBOZNA^ATX y = f 1 (x).sLEDUET TAKVE OTMETITX, ^TO OBOZNA^ENIE f 1 (y) NE SLEDUET PUTATX SWOZWEDENIEM W ( 1) - @ STEPENX, TO ESTX, WOOB]E GOWORQ, f 1 (y) 6= (f(y)) 1 == 1=f(y).pRIMERY: 10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
