Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Это равенство Bep~o для любых двухточек Х 1 и Y1 фигурыИ соответствующих им двух точек Х 1 И У!фигурыСледовательно, фигуры Р\и р'ра.вны, т. е. существует та.коедвижение, которое персводит фигуру Р1 В фигуру р'.Теорема доказана.68.Признаки подобия треугольников165Свойства подобияСвойство1.Подобие отрезок переводит в отрезок, луч в луч, прямую2.3.Подобие сохраняет величину угла. в прямую.СвойствоСвойствоПодобие переводиттреугольник в треугольник.
Соответственные стороны этих треугольников пропорциональны, а соответственные углыравны.Свойство4.В результате подобия с коэффициентомkплощадь фигурыумножается на k 2 •Свойство5.Композиция подобий с коэффициентами k\ ис коэффициентомСвойство6.k2есть подобиеk 1 . k2 ·Подобие обратимо, и отображение, обратное подобию с коэффициентом k, является, в свою очередь, подобием с коэффициентом68.f'ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВОтношением отрезков АВ и С D называется отношение длинэтих отрезков.Говорят, что отрезки АВ и С Dотрезкам А\В 1 и С 1 1)1 соответственно, если ;1Вlч в 1пропорциона..1IЬНЫ= c?DD.11Рассмотрим треугольники АВС и А\В 1 С 1 такие, что три углаодного треУГОJ1ЬНfIка соответственно равны трем углам другого треУГОJIьника.
В ЭТОl'j. случае стороны АВ и А\В 1 , ВС и В 1 С\, СА и С 1 А 1называются соо,:гветственными.Определение.Дпе фигуры называются nодобltы.мu, если они переводятсн друг в друга отображением подобин.Из свойств отображения подобин следует, что у подобных фигурсоответственныеуглыpa~HЫ,циопальны. В частности,rасоответственнныеотрезкипропорподобных треугольников АВС иВ 1 С1paBHbI, а стороны одного треугольникаЦИОН&1ЬНЫ cooTBeTcTBeHH~IM C'l'OpOHaM другогопропоругды соответственноLAАВLA\,ВСLBLB 1 ,САLC=LC1 ,k.А1 В19ислоk,которое l)авно отношению длин соответственных сторон треугольников, называется х;оэффu'ЦненmОJIt nодобня. Подобие треугольников АВС и А 1 В 1 С 1 обозначается так: 6АВС,....
6А 1 В 1 С 1 .68.166--------Признаки подобия треугольникрв!СФОРМУ.iIируем и докажем три признака ПО110бия треугольников.Теорема 1 (ПРИ.1Нак подоБИ.1l по двум углам). Если Ава угла одного треrугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такиетреугольники подобны.С2~CвАС1Рис.оДоказательство.Рассмотрим треугольники АВС ирых есть два равных углаLA = LA jAjBjC1 , уLBLB j , см. рис. 68.1.и A1f'1 С 1 подобны.kкотоиДокажем, что треугольники АВСБУКRОЙ68.1.обозначим отношение l1лин двух соответственных сторон этих треУГОЛЬНIШОR, k = A~~l . Подвергнем треугольникВ 1 С1какому-нибудь преобразованию подобия с КОЭффИlщентом подобиянапример гомотетии, см.
рис.68.1.лучим НСКОТОРЫЙ треугольникk,В результате преобразования поA 2 B 2 Cz.Докажем, что полученный треугольник А 2 В 2 С 2 равен треугольнику АВС.ДеЙСТRительно, поскольку преобра.зОRание подобия сохраняет углы,то LA 2=, LB 2:=LB 1 • Это означает, что у тр~уГО.iIьников АВСLA = LA z и LB :;:: LBz. Далее, дляИ А 2 В 2 С 2 есть ДЕа раЕНЫХ угласторон треугольников имеет место равенствоA 2Bz =В1Следова.тельно, треугольники АВС изна.КУ (по стороне и при.rrежащимI{Так как треугольники А 1 В 1 С 1 И=АВ.A zB ZC2ра.вны по второму принейAzB ZC 2гомотетичны и поэтому,как доказано выше, подобны, а.
треугольникиA 2 B zC zи АВС равныи поэтому тоже подобны, то, соотнетстненно, и треугольники А1В1Сlи АВС подобны.Теорсма. Доказа.на..68.,Теорема2Призна~и, подобия треугольников167(ПРИ.1нак подобия по двум сторонам и углу между ними).Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонамдругого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, тотакие треугольники подобны.IC' ~CА,~ОДока.lательство.Рис.68.2.Рассмотрим треугольники АВС и А 1 В 1 С1, у которых ес'гь равные углы,LC= LC1 , а стороны, составляющие эти углы,пропорциональны, то естьАС=иk·ПСДокажем, что треугольники АВС и А 1k· B 1 C 1 .С 1 подоБныI.Подвергнем треугольник А 1 В 1 С 1 какому-нибудь преобразованиюсрис.В результа'!'е получим неко'l'ОрЫЙ треугольник А 2 П 2 С2 .68.2.коэффициентомподобияk,подобиянапримергомотетии,см.Докажем, что полученный треугольник А 2 В 2 С2 равен треугольнику АВС.Действительно, так как преобразование подобия сохраняет углы,то углы С 1 И С2 равны.
Следовательно, у треугольников АНС и А2В2С2углы С Иравны. Далее,А 2 С2= k·АСиB ZC2=kB 1 C1ВС.треугольники АВС и А 2 В 2 С2 равны по первому признаку (по двум сторонам и угпу междуТаким образом, треугольники А 1и А 2 В 2 С 2 по построениюгомотетичны и поэтому, как доказано выше, подобны; а также доказано, "1'1'0 треугольникиA 2 B Z C2и АВС равпыI и поэтому тоже подобны.Это означает, что треугольники А 1 В 1 С 1 И АВС подобны.Теорема доказана.68.168Теорема3Признаки подобия треугольникрв(при;шак подобии по трем сторонам).Ерли стороны одноготреугольника пропорциональны сторонам другого треугольника,то такиетреугольники подобны.С2~CВАРис.Доказательство.68.3.Рассмотрим треугольники АВС И А! 8 1 С;I, у которых стороны пропопрциональны, то есть имеют место равенстваАВ= k·А1АСиk·ВСДокажем, "Что треугольники АВС иподобны.какому- нибудь преобраэтого подвергнем треугольникk,зованию подобия с коэффициентомкак пока:зано на рис.= ~~ .
В 1 С] .например гомотетии,68.3.В результате получим некоторый треугольник А 2 В 2 С2. Докажем,что полученный треугольник А 2 В 2 С2 равен треугольнику АВС.Действительно, у этих треугольников соответствующие стороныравны, поскольку можно записать равенстваА 2 В2= k . А1А 2 С2= k . А 1 С1 = АС,k· В 1 С 1 = ВС.В2С2Следовательно, треугольникиАВС и=А В,А 2 В 2 С2равныпо третьемупризнаку (по трем сторонам).Таким обраэом, треугольники А 1 В 1 Сl И A z B 2 C 2 по построениюгомотетичны и поэтому, как дока.,ано выше, подобн~r; а та.кже докаэа.но, что треугольникиA 2 B ZC 2и АВС равны и ноэтdму тоже подобны.Это означает, что треугольникиТеорема доказана.В 1 С! и АВС подобны.69.69.Подобие прямоугольных треугольников169ПОДОБИЕ ПРЯМО УГОЛЬНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВТеорема1.Прямоугольные треугольники подобны, если острый угол одного треугольника равен острому углу другого.Доказательство.У прямоугольных треугольников один угол нрямойПо::>тому если у них имеется по равному острому углу, то прямоугольные треугольники подобныnсилу признака подобия по двум углам.Теорема доказана.Теорема2.Прямоугольные треугольники подобны, если два катета одного треугольника пропорциональны двум катетам другого.ДОК8.1flТельство.У прямоугольных треугольников углы, образованные катетами, равны, потому что это прямые углы.
Поэтому еслиу треугольников пропорциональны катеты, то они подобны в силупризнака подобия по двум сторонам и УГЛУ между ними.Теорема доказана.Теорема3.Прямоугольные треугольники подобны, если гипотенуза и катет одного треугольника пропорциональны гипотенузе и катету другого.ДОК8.1flТельство.Рассмотрим треугольники АВС ирых углы С и С 1 равны и составляют90"В 1 С 1 , У котокаждый; кроме того, ихгипотенузы и катеты пропорциональны, то естьАВ= k·А1 В1ИАСk·Докажем, что треУl'ОЛЬНИКИ АВС и А] В 1::>того подвергнем треугольниккакому-нибудь преA 1 B 1 C]образованию подобия с коэффициен'гом подобияk,например гомотетии.
Получим некоторый треугольник А 2 В 2 С2 , который будет равентреугольнику АВС. Докажем ::>'1'0. Так как преобразование подобиясохраняет углы, то LC211A 2 B ZC2ILC\= 90". Поэтому утреугольников АВСуглы С И С 2 равны и составляют по90".Далее, у этихтреугольников равны гипотенуза и катет, так как верны равенстваА2В2k . А 1 В]= АВ11А 2 С2=k .С\= АС.Следовательно, прямоугольные треугольники АВС и А 2 В 2 С2 равныпо гипотенузе и катету.Так как треУГОJIЬНИКИAIB 1 C 1и А2В2С2гомотетичны и, какдоказано выше, подобны, а треугольники А2В2С2 и АВС равны и поэтому тоже подобны, то прямоугольные треугольники А 1 В 1 С, И АВСподобны.Теорема доказана.70. Свойство биссектрисы угла треугольника17070.СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛА ТРЕУГОЛЬНИКАТеорема.Биссектриса любого угла треугольника делит противоположнуюсторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника.Доказательство.Пусть впбиссектриса.
угла В 'греугqльника АВ С, см.рис.70.1.Необходимо доказать, чтоАпАВ= ВС'Проведем прямую СЕ,прямойАDРис.с70.1.вп,параллеllЬНУЮдо пересеченияв точкеЕ с продолжением с'гороны АВ; крометого, проведем прямуюBF,параллельную прямой АС, дО пересечения в точкеF с прямой СЕ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
