Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 21
Текст из файла (страница 21)
рис.B149.2.Требуется доказать, что треугольники равны.B1всАА2Рис.49.2.Совместим 'греугольник АВС с 'греугольникому них совместились равные катеты ве ипрямых углов С ИCj,B1C j.B 1 C 1 таи, 9:тобыТог да, в силу равенствалуч еА совпадет с лучом С\ A j•При этомгипотенуза АВ должна совместиться с гипотенузой А 1ПреДПОJIОЖИМ противное.
Пусть гипотеНУ:Jа АВ не совпадает с гипотенузойA1B11 а занимает одно из дпух положений: ИJIИ A2B11 ИЛИАзВ 1 • ТогдаимеJIИСЬ бы две равные наклонные(A1B 1и А 2 В 1 или А 1И А з В 1 ), которые неодинаково удалены от основания перпеНДИКУJIяра,9:ТО невозможно.Это противоре9:ие доказывает, 9:ТО гипотенузы АВ и А 1 В 1 совпадают. Это, в свою очередь, означает,совпадают, поэтому опи равны.Теорема доказана.9:'1'0 'l'реУГОJIЬНИКИАВС и А 1 В 150.134Свойство серединного перпендикуляра к отрезку50. СВОЙСТВО СЕРЕДИННОГО ПЕРПЕНДИКУЛЯРА К ОТРЕЗКУ Определение.Середшшы,м, nерnендu'Х:ул.яро,м,котрезкуназываетсяпрямая, проходящая через середину отрезка и перпендикулярная к нему.Теорема.Каждая точка серединного перлендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.ДОКa.Jательство.мПуст/:> прямая М N- серединный перпендикуляр к отрезку АВ,J( т.
е. М N1-АВ и АО== ОВ.Требуетсядоказать, что АККВ (см. рис. 50.1).У ПРЯМОУГОJlЬНЫХ треугольников АКОи ВКО катет КО общий, а катеты АО иоАОН равны, по::пому эти треугольники раввны. Следовательно, равны их гипотенузы,Т.е. АКNРис.=КВ.Теорема доказана.50.1.Справедлива та.кже обратная теорема.Теорема.Каждая точка, равноудаленная от концов отрезка, лежит на егосерединном перпендикуляре.ДОКa.Jательство.Пусть точкака.
Проведем через 'l'очку](](равноудалена от концов А и В отрезпрямую МN перпендцкулярную прямой jАВ. Тогда получим два прямоугольных треугольника КАО и]( ВО, которые, имея общий катет КО и равные гипотенузы, равны. вательно, вторые их катеты тоже равны, т. е. АО=ОН. Это означает, что прямая М N, проведенная через точку К перпендикулнрно к АВ, делит отрезок АВ пополам, т.
е. является серединным перпендику.IIЯром O'l'резка АВ. Теорема доказана. Замечание.Гео ..«еmР1Jчес'lЩ,м, .MeCmOJlt rnоче'Х:, обладающих некоторымсвойством, называется такая СОВОКУПНОСТЬ точек, которЗJJ содержит всебе все точки, обладающие этим свойством, и не содержит ниточки, не обладающей им.Из дока:занных выше теорем следует,чтогеометрическое место точек, равноудаленных от двух данных точек, есть серединныйперпендикуляр, провсденныйJ(отрезку, соединяющему эти точки.51.51.СВОЙСТВО биссектрисы угла135СВОЙСТВО БИССЕКТРИСЫ УГЛАОпределение.Бuссек:тр'UСОЙ угла называется луч, исходящий из вершины угла и делящий его на два раВIIЫХ угла.Теорема.Каждая точка биссектрисы угла равноудалена от его сторон.Доказательство.ПустьлучОМбиссектриса угла АО В, т. е. делит этотугол пополам. Опустим из произвольной точки К, лежащей на луче01\1,перпендикуляры на стороны угла АОВ(см.
рис.51.1). Требуется доказать,что точка К равноудалена от сторонугла АОВ, Т.С. КС= KD.ДЛЯ этого рассмотрим прямоугольАвные треугольники ОСК и ОЛК. Этитреугольникиравны,т. к.ониимеютобщую l'ипотепуз;у О К и равные углыпри вершине О. dледовате[IЬНО,RмРис.51.1.этих треугольниках равны и противолежащие катетыl КС и кп. Теорема доказан~. Справедлива и обратная теорема.Теорема.Каждая точка, лежащая внутри угла и равноудаленная от сторонугла, лежит на его биссектрисе.ДоказатеЛЬСТDО.Через точки О и f{ проведем луч ОМ (см.
рис. 51.1).Опустим из точки f{ перпен,п;икуляры КС и f{ D на стороны углаАО В, причем К СК п, поскольку точка f{ равноудалена от сторонэтого угла.Докажем, что луч01\1 -биссектриса угла ЛОЛ.Прямоугольные треугольники ОСК иобщую гипотенузу и равные катеты СК иODI< равны,DK, поэтомут. к. имеютравны углыпри вершине О. Этооэначает, что луч ОМ, прове,п;епный: через точку К,является биссектрисой угла ЛОВ.Теорема ,п;ока.зана.Замечание.ГеомеТРИ'lескоеместо точек, одинаково у,п;э,денных отсторон угла, есть биссектриса этого угла.13652.52. Теоремы о параллельных прямых на плоскостиТЕОРЕМЫ ОПАР АЛЛЕЛЬНЫХПРЯМЫХ НА ПЛОСКОСТИОпределение.Две прямые называются nара,lIлельными, если ОНИ лежатв одной плоскости и не имеют общих тоЧеК или совпадают.обозначения параллельности прямых используется символ11.Возможность существования несовпадающих пара.тrлельных прямыхобнаруживается следующей теоремой.Теорема.Два перпендикуляра к одной и той же прямой не могут пересекаться.Доказательство.ДеИСТВИ'гельно, если бы эти перпf')НДИКУЛЯРЫ пересеклись в какой-нибудь точке, то из этой точки на' прямую были быопущены два перпендикуляра, "1'1'0 невозможно.
Таким образом, дваперпендику.гнrра. к одной прямой параллельны между собой.Теорема дока;зана.Аксиома параллельных прямых.Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной, и притом только одну.Следствие1. Если две прямые СЕ и АВ параллельны (см.
рис. 52.1)и какая-нибудь третья прямая С D пересекается с одной ИЗ этих двухпараллельных, то она пересекается и с другой.В противном случае через одну и ту же точку С проходили бы дверазличные прямые С Е и С D, параллельные АВ, что невозможно.~~cЕаьАсАв Рис.Следствие 2.52.1.Рис.52.2. Если какая-нибудь из двух прямых а и Ь (см. рис. 52.2)паралле.lIьна одной и той же третьей прямой С, ТО они параллельнымежду собой.Деиствительно, если предположить, что прямые а и Ь пересекаю'гсяв некоторои точке11;[,то тог да через эту точку проходили бы дверазличные прямые, пара.лле.'Iьные С, что невозможно.52.Теоремы о параллельных прямых на плоскостиРис.52.3.Пусть две прямые АВ иРис.CD(см. рис.52.3)13752.4.пересечены третьей прямойМ N. Тогда получаются восемь углов, которые обозначены на рис.52.3цифрами и которые попарно носят следующие названия:нах:рест[3илежащие углы:[5, [1и[6(внутренние);п и п,L2и[8[8, [2и[7од1l0стОРО1lние углы:[4и[5, [3и[6(внутренние);п и(внешние);соответственные углы:п и[5,[4и[8,[2и[6,[3и п.Признаки параллельности двух ПР.llмыхТеорема.Если при пересечении двух прямых а и Ь третьей прямой с окажется, что:1)какие-нибудь соответственные углы равны, или2)какие-нибудь накрест лежащие углы равны, или3)сумма каких-нибудь двух внутренних или каких-нибудь двух внешниходносторонних углов равна1800,то эти прямые параллельны.Доказательство.1) Пусть, например, дано, что образовавшиеся приJlересечении прямых соответственные углыI2 и 6 раины (см.
рис. 52.4).Требуется доказать, что в таком случае прямые а и Ь параллельны.Предположим противное, т. е. что прямые а и Ь не параллсльпы.эти прямые пересскаются или в какой-нибу дь точке К, лежащей!52. Теоремы о параллельных пр~мых на п~оскости138направо от с, или в какой-нибудь точке К', JIежащей надеlЮ от с.Если пересечение будет в К, то образуется треугольник, в которомугол2 будет внешним, а угол 6внутренним, не смежным с внешним2. Следовательно, угол 2 должен быть больше угла 6 (см.вопрос 48), что противоречит условию. Следопательно, прямые а И Ьугломне могут пересекаться н какой- нибу дь точке К, лежащей направо от.прямой с.",Если мы теперь предположим, что пересечение будет в точке J\ ,то тогда образуется треугольник, у которого угол 4, равный углу 2,будст внутренним, а уголуглом4.Тогда уголбольше угла2,66внешним, не смежным с внутреннимдолжен быть больше угла4и, следовательно,что противоречит условию.
Следовательно, прямые аи Ь не могут нересечься и в точке, лсжащей налево от прямой с.Сдедовательно, эти прямые нигде не перссеl<аются, т. е. они па.раJlлельны.Подобным жеесли выподнено одно изL12)доказывается, что прямые а и Ь llара.IIж:дыf,'равенствилиL4== L8,ИЛИL3L7.Случай равенства наr<рестлежащих углов сводится к предыдущему признаку.Действитсльно, пусть имеет место равенствоL3L5.Посколькууглы3 и 1 вертикальные, то они равны, а сдедоватедьно, равны иуглы 1 и 5. Это означает, что по первому признаку прямые а и Ьпарадлельны.3)L4==Пусть дано, что L4 + L5 == 1800. Тогда можНо заключить, чтоL6, так как угол 6 в сумме с углом 5 тоже составляет 1800. Носсди накрест лежащие углы1и6равны, то прямые а и Ь параллельныпо второму признаку.Теорема доказана.Справедлива и обратная теорема.Теорема.Если две параллельные прямые а и Ь пересечены какой-нибудьтретьей прямой с, то:1)соответственные углы равны; 2)накрест лежащие углы равны; 3)сумма внутренних односторонних углов равна]4)сумма внешних односторонних углов равна800; 1800.
52.Теоремы о параллельных прямых на плоскостиДоказательство.жем, что еслиДляпримера докапрямые а иЬ парал1лельны, то соответственные углы2равны, см. рис.139а' и 52.5. аПредположим противное, т. е. чтоэтиуглынеравны.определенностиугол31будембольше угларавный углу2.Например,длясчитать,чтоьПостроив уголllOЛУ'ТИМ прямую а'2,Рис.не совпадающую с а. Следовательно,52.5.имеются две различные прямые, проходящие через 'точку О и параллельные одной и той же прямой Ь.
Это прямая а, параллельнаяпрямой Ь ПО условию 'георемы, и прямаяal ,вследствие равенства соответственных угловпараjjлельная прямой Ь3и2.Но существованиедвух различных параллеJlЬ~ЫХ прямых, проходящих через одну точку,противоречи'Г аксиоме парМлельных прямых. Поэтому предположениео том, что углы1и2Iне равны, ошибочно.
Следовательно, Уl'ЛЫ1И 2равны.Так же можно доказать остальные утверждения теоремы.Теорема доказана:.При;,\наки непараллf'JIЪНОСТИ прямыхИз двух доказанных выше теорем, прямой и обратной, следует, чтопротивоположные теоремы таКже верны.Теорема1.Если при пересечении двух прямых третьей окажется, что1)какие-нибудь соответственные углы не равны, или2)какие-нибудь накрест лежащие углы не равны, или3) сумма каких-нибудь двух внутренних или каких-нибудь двух внешниходносторонних углов не равна1800,то эти две прямые не параллельны.Теорема2.Если две прямые не параллельны, то при пересечении их какой-нибудь третьеЙ прямой окажется, чтоуглы не равны;1)cOOTBeTcTBeHHbIJ2)накрест лежащие углы не равны; 3) сумма любых двух внутренних односторонних углов не равна 180°; 4) сумма любых двух внешних односторонних углов не равна 1800.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
