Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Болеетого, можно ДОI<аэать, что при этом обратная функция также является монотонной,/охпричем ее характер монотонности (позрастание или убывание)/такои же,какУ исходной функции.Рис.40.6.Графики взаимно обратных функцииобязательно симметричныбиссектрисы нерного 11 третьего координатных углоп-относительнопрямой у= х.На рис, 40.6 показан пример графиков пары взаимно обратных функцииу= о:" и уloga:1:(для случая а.> 1).40.Замечание.Основные свойства функций111МОНОТОННОСТЬ функции на области определения являетсядос'гаточным,нонеявляетсянеобходимымусловиемобратимостифункции.IIростейшим :(lримером функции, не являющейся монотонной навсей облас'l'И опj)еде.'Iения, но имеющей однозначно определеннуюобратную функцию, служит функция у = ~. Примечательно, чтообратной к ней функцией будет эта же функция.Другим примером функции, не янляющейся возрастающей иливающей на всей области определения, но имеющей однозначно определенную обра'l'НУЮ функцию, служит функцияIxlху=-е.хГрафик этой функции показан на рис.к ней.-на рис.40.
7, а график функции, обратной40.8.уу1у=г (х)1-1~х-11Рис.40.7.Рис.40.8.Сложная фуцкци.в:Пусть переменная у является функцией переменной и, а, в своюочередь, переменная и является функцией некоторой переменной х,т. е. у= Ли)и и ±:t,O(x).Тогда функция у= f(t,O(x))называется функцией от функции,или сложной функцией, если область определения функциижит множество значений функцииfназывается промежуточной переменной.В качестве прnмера рассмотрим функциюу= sin(2x +являющуюся сложной функцией; ее можно представить в виде=юnсодер10. Ilеременная и в этом случае, где и(х)= 2х +41. Производная ФУНКЦИИ11241. ПРОИЗВОДНАЯ ФУНКЦИИ. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯРассмотрим ФУНКЦИЮ у= ](х), определенную на некотором ин'гервале (а.; Ь).Пусть хо -произвольная то'{ка, прина.длежа.щая интервалу (а.; Ь).Определение.ность.6.хПрира.щение.м а.ргу.меюпа в точке хо называется разх-хо, г де Х -некоторая точка, принадлежащая интервалу (а.; Ь) и не совпадающая с то'шои Хо.
Разностьfназывается прира.щение.м функцииприра.щению .6.х, и обозначается .6.уОпределение.+ .6.2:) -f(xof(xo)mdчке Хо, соответствующим(J= .6.f(l!:o).Производной фУНКЦИИ у= f( х)в тqчке х называетсяпредел отношения приращения функции К приращ~нию аргумента вэтой точке при с'гремлении приращения аргумента к НУЛЮ, ссли такойнредел существуети конечен, то есть.lllnАх-+О .6.хв таблице.f(2; + .6.Х) = Ах-+Оllln .6.х-'(х).1 приведены произвоДные элементарцых функций, изучаемых в среднеи школе.Теорема (основные свойства производных).ЕслИ В точке х существуютпроизводные фУНКЦИЙу=И!llX)=Уто Б этой точке существуют также слеДующие ПРОИЗБодные:+1.2.
=11.и3. u'(:r;)!J(J:) -4. 5.(Следствие+==l(.'1:)vI+U(Х)1/(Х)1}2(х)3.) ==l()l1 (х),vl:;6(ПРИС-О);сопst.41.Производная фУНКЦИИ113Таблица1ПРОИЗВОДIiые элементарныхГ(х)f(x)уоуу'2ху1=-у'-=у'ax a -=у'суУ=1хаах=Ь+у'1у=lау' = зх 2:/:З,у = .,;хху. Tf~X)-лх)= аХ'1у= 2уГху'аХlnaI-~-уln ху' =-1ух= logaху'' = -1х lna~-~уу'::::sшхcosxуу'= cosx..-sшх-уу'tg х=1Ху=ху,1- siп 2 Х~-~У,= arcsin ху1= Л----:2У= arccosу'хarctg х--/~~~~~-у1уI=11+у,arcctg х~~~~у~~-~-~;:2~-11+~-~-11441.Замечание.Производная функцииЭти формулы i\ока:зываю'Г('.J{ непосредственно по определению производной функции с использова.нием свойств пре/\еJЮВ.Поскольку понятие предела.
а.ккура.тно не вводится в ра.мка.х школьнойпрограммы, дока.затедьство опустим.Теорема (достаточное условие монотонности функции).Есди в каждой точке интервала (а; Ь) выполнено неравенство.f' (х) >то функция у= f(.1:)О,возрастает на интервале (а; Ь).Аналогично, если в каждой точке интервала (а; Ь) выполнено неравенст/Ю1'(х)то у= f(x)<О,убывает на интервале (а; Ь).Теорема (необходимое условие :жстремума функции).Если некотораяточка х о является точкой экстремума функции уи в этой точке= f (х)существует производная ,(' (х о), то она равна нулюТеорема (признак максимума функции).Если фУНКf{,ия У=Нх) непрерывна на интервале (а; Ь), содержащем точку ха, и имkт положительнуюпроизводную .f' (х) > о на интервале (а; х о) и отрицательную производную,('(х)<О на интервалефункции у=(.1:0; Ь), то точка ХО является точкой максимума=Теорема (при.1Нак минимума функции). Если функция улх) непрерывна на интервале (а; Ь), содержащем точку ха, и имеет отрицательнуюпроизводную f'(.1:) < О на интервале (а; хо) и полож~тельную ПРОИ3/ЮДную ,('(х)>Офункции у=на интервале (ха; 1)), то точка хо являетdk точкой минимумаПра.вило ОТLТСК8,JI/IЯ наибольшего и наименьшего зна8ений Ф.УНКЦИИ.
Чтобы на.Йти наибольшее и наименьшее значения нспрерывной 3фУНКЦИИ на отрезке [а; Ь], имеющей на :этом отрсзке конечное числокритических точек (точек, в КО'горых ПРОИЗЕоднан функции обращается в нудь или не существует), нужно вычислить значения функции вовсех критических точках и па концах отрезка и выбрать наибольшееинаименьшее изполученных чисел.Понятие НСI1РСРЫ13НОСТИ функции также не ввоДитс.1I в рамках ШКО.JJЬИнтуитивно можно представ.JJЯТЬ, что функция непрерывна,IIoJ,I программы.ссли ее график можно изобразить, не отрьшая карандаша от БУМaI·И.11541. ПРОИЗВОДНaJI функцииПроизводные сложной и обратной функцийТеорема (произво днм сложной функции).ет ПРОИЗ80ДНУЮ 8 точке Ха, а функция уиа= f(хо), то сложная функция Чх) =Если функция u = Н х J име= у(и) имеет производную 8 точкеуи(х)) также имеет производнуюв точке Ха, причем= g' и(хо)) .
гЭта теорема припимается в школе без доказаТfщьства.Как следствие формулы производной сложной функции нетруднополучить формулу производной обратной функции.дана пара взаимно обратныхуЛХ)иуБудем предполагать, что функция у::::!lз:) задана на некотороммножестве Х и ,цифференцируема в точке Ха, принадлежащей множеству Х, а функция у =g(x),цифференцируема в точке Уапричем ее ПРОИЗВ0ДНая не равна нулю, 'Г.По определениюИ'(УО)f.Л;г,о) ,О.функции для всякого значения пере менной х из множества Х выполнено равенствоХ.Поскольку две функции равны при всех значениях переменной х изнекоторогомножества,то,цОЛЖНЫ быть равныи ихпроизво,цные.Вычислим производные от правой и левой частей этого тож,цествав точке Ха. При 'Е\ычислении производной от правой части применимформулу производной сложной функции.1'(g(f(x)))'а при вычислении производной от правой части учтем, что (х)'1.Таким образом, мы приходим к следующему равенству:)) .
f'(xo)производнаяприхо,цим кg'(yo)1.в точке Уа не равна нулю,О том, ,9:то при указанных выше условиях обратнаядифференцируема в точке Ха и ее производная вычисляетсяl'g'(f(xa)) .42.116Уравнение касательной к графику функцииУРАВНЕНИЕ КАСАТЕЛЬНОЙ К ГРАФИКУ ФУНКЦИИ42.Определение.j( асаmель ной к графику фУНКЦИИ )1в точке Мо(хо;f(xo))I= f (х), проведеннойназывается предельное положение секущей МоМ(если оно существует и единственно!), когда точка М стремитсяк точке Мn, см.
рис.42.1.Можно дать другое определение.Определение.j(асаmеЛЫIOi1 к графику 1\ифференцируемой в точке ХаФУНКЦИИ лх) называется прямая, проходяrp.ая через точкуи имеющая угловой коэффициент.У.у1(х)//f'(XO)'Существование Р-РОИЗВО!\IЮЙ функции Лх)в точке ха равносильно существованию не"."'фвертикальнои ка,сателыlrr к гра ику!(хо+дх)ции11 точке (ха; лхо)). Геометрическийсмысл ПРОИЗRО1\НОЙ состqит В том, что значение ПРОИЗRОДНОЙ в точке Ха равно тангенх +дхОсу угла наклона касательной (угла междухvкасательнои и положительным на.правлениРис.
42.1.ем оси абсцисс), проведенной в :этой TO<IKe.нывода уравнения касательной запишем уравнение секущей,проходящей через точки Мо(хо;рис.f(xo))и М (а.:а+ ь.х;f(xa+ ~x))(см.42.1))1 -л:со)=Если в точке Ха существует производная.f' (Ха),'Го при стремленииточки А! к точке М О (при ь.х -t О) уравнение секущей в пределе станетуравнением касате.IIЫЮЙ)I[{асf''(Х-Хо)+Уравнение касательной, ПРОХОi\ящей через заданную 'Гочку, такжеудобно записывать в видеу- Уа = .f'(xo)(x - хо).В тех точках области определения функции, в которых ПрОИЗВО1\иая не существует, не.IIЬЗ.fI провести касательную.
Верно иутверждение. Например, функция уке х= Ixlне имеет касательнойR точО. Эта функция служит примером того, что непрерьшностьфункции во всех TO'iKax области определения не является достаточнымУСJювием существования производной во всех точках этой области l117Первообразная и интеграл43.ПЕРВООВР А3НАЯ И НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ43.Определение.Функция уции у =на данном промежутке (а; Ь), если для всех значений1(:1:)=:= Р(х) называется nервообразноi1 Аля функпеременной х из этого промежутка выполняется равенстпо1(х).Например, функция у = з;2 является первообразной АЛЯ функцииу2х на всей числовой прямой, так как АДЯ всех значений х справе,цливо равенствоНапротив, функция у=vx= 2х.является первообразной АЛЯ11 = 2Fx лишь при положительных значсниях Х, поскодьку АЛЯ всехположитсльных х (и тодько АЛЯ них) верно равенс'Гво1- 2VX'Теорема.Пусть функция Р(х)первообразная ДЛЯ функции лх) нанекотором промежrтке.
Тогда:,11) функция вида 1f(x)+где Сляется первообразной для функции12)любая первообразная функции+ С.ставлена' в видеДока."\8тельство.-ПРОИЗВOJlьная постоянная, также яв1(х)1(х)на этом промежутке;на этом промежутке может быть пред1) По формуле производнои суммы получим(F(x)++о+С'1(х),"[то И Аоказывает первое утвеРЖАсние теоремы.2)Сформулируем и примем без Аоказательства вспомогательноеУ'l'веРЖАение.Лемма (признак :qостоянства фУНIЩИИ).Если для любого значения переменной х, принадлежащей заданному промежутку (а; Ь), выполнено равенствоF'(x)О, то функция Р(х)постоянная на этом промежутке.Поясним у'Гверждение Э'ГОЙ деммы с помощью геометрическогосмысла ПРОИЗВОАНОЙ. РавеllСТПО нулю производнойпромежутка означаст,F'что касатсльная к графику функцииi'lx)вкаждой точке рассматриваемого промежутка параллсльна оси абсцисс.
Тогдафункции на этом промежутке представляет собойотрезок прямой, параJIлельной осиэтом промежу'гке ПОСТОЯННaJi.'Го есть функция F(x) на118Первообразная и интеграл43.Доказательство второй части теоремы основано на сформулированной выше лемме.ПустьF1(x)и Р2 (х)две первообразные для функции-t'xJнаданном промежутке.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
