Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 15
Текст из файла (страница 15)
сов "2ЧИС.1Iительизнаменатель~. Получим2sш аО'а"21 + t,g za'"2Аналогичным оьразом выводятся и остальныеТеорема доказана.Замечание.Выражение тригонометрических фУНКЦИТ1 через тангенсполовинного угла часто называют универсальной тригонометрическойIIодстановкоЙ.J;Iреобразован:ие произведен:ия в сумму34.34. 91ПРЕОБР А30ВАНИЕ ПРОИ3ВЕДЕНИЯ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ Функций В суммуТеорема.Для любых двух углов (~ и••. sш/-'(.1 = 2'1 ( сов ((}-1.юп а2.сов а .
сов (33.Вlll а.Дока.1ательство.доказанные всправедливы тождества:(3сов(а+= 2'1 (сов(а 2'1 (. cos (3+ сов(а + (3));(3)+ sin(Q +Запишем выражения для синусов суммы и ра.1НОСТИ,oTBfOTe на вопросsin( (~ + (3)sin( а= sin(3)30,Q•сов(3 +сов а . sin (3, sin Q.сов(3 -сов а. sin (3. Складывая почденно эти тождества и разделив на2,подучим искомое выражение для произведения синуса и косинусаsша· совТождество(3= _------'~~c::::...-=-!!J1 доказано.аНaJЮГИЧНО выпишем выражения для косинусов суммы и раэностиС08( а(3)сов асов( а+ (3)= сов а. сов (3 + sin а . sin (3, сов (3- sin а .
sin (3. Почленно складывая их, получим выражение2 для проиэведения косинусовсова(./. сов/-'сов( а+ (3) + cos( Q2а почленно вычитая, ПОJIУЧИМ выражениеsina. sin(3= сов(а3-(з)ДJIЯ произведения синусовсов(а + (3)(3)29235.Преобразование суммы и разности в ПРО,изведение35. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРО ИЗВЕДЕНИЕТеорема.Для любых двух углов О: и р справедливы тождества:.. а+ Вll1fJ2'о:+,Ва-,Ва+Р.а-р-2~;- 2 - сов -2-;1. sш а2. sш о:-3. СОБ а:+ СОБ Р = 2 COS - 2 - СОБ -2-;..При11"Q'::f '2 + 11"k5.cr::fа::f2::f+ ТikA~,и РДоказательство.Вll1 Х • сов уОбозначим(tх+у=sin(p - (};)ctg Р =.. а'-БJП а вт fJtga:-ctgp=10.3 вопроса= '12 (и ,Вctg (tЕ д:, справедливы тождества: 11"11., k, 11.Запишем.а-Вtg о: - tgp8.й+сtgр=::: ~-~\-.
{-'~,9..Е д:, верны равенства:6.+f.11а:+р11"11., k, 11. Е д:, справедливы Т9ждества:р=а+11" 11"::f '2 + 11"11.,и Р11"k.а-fЗР = - 2 Бll1 - 2 - sm -2-' .sil1( Q' + р);cos о: сов р+ tg Р =любых о:7.ир=::: 2 СОВ - 2 - SlIlа+рcos а: - cos4. РSJl1вт-у)34+ siп(х +а-х - у, тогда хипо.nучим.. р ::;:;; 2'8J11 -а+,Ввт о: + 81112 - COSАналогично доказываются формулыо:-р24-102-4.Теорема доказана.siJ1 сов Р + сов о: sin р= ---~---~(tсов2.проводится по другой схеме. Например,Sill (tsil1 Рtg (): + t.g Р =::: - - + - cos (tcos ,Ву::;:;;(tсов Р34. Рреобразование про изведения в сумму34.91ПРЕОБР АЗОВАНИЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В СУММУТеорема.Для любых двух углов а и(3 справедливы тождества:1.siпа .
sin (3::;::2(СОБ(а -2.СОБ а . СОБ(312 (СОБ(а - Ц) + СОБ(а3.Si11а . сов(3~(sin(a-(3)ДоказатeJIЪСТВО.доказанные вfJ) - сов(а +++sin(a+(3)).Запишем выражения для синусов суммы и разности,O'l'BC'l'Cна вопрос30,Islп(а + (3)siп а . cos (3 + сова . sil1 (3,8il1(asin а . СОВ (3 - сова . siп (3.(3)Складывая llочленно эти тождества.
и разделив навыражение для нроизведснияsil1а.сов(32, получим искомоесинуса и косинуса----,-,гJ-----,-г J2Тождество1доказано.Далее, аналогично выпишем выражения для косинусов суммы и разности+СОБ а. сов (3 + sin а . sil1 (3,сов а. cos (3 - sil1 а . sin {1.Почлснно складьrвая их, llОЛУЧИМ выражение2 для произведения косинусовСО8 а. сов (3СОБ((~+ (3) + cos(a - (3)2а почленно ВЫЧИ'l'ая, получим выражение8inТеорема доказана.О:. sin (33для произведения синусов9235.Преобразование суммы и разности в произведениеПРЕОБР АЗОВАНИЕ СУММЫ И РАЗНОСТИ 35.
ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ В ПРОИЗВЕДЕНИЕТеорема.Для любых двух углов о: и.1. Бll1 о:2. 81113. СОБ СУ.1т+ 1ТkПри о:#:5. tg о: +2Для любых о:"#и (3. (3. 0:+2. (3ВШ= 2 совСОБ1т2#: 1Тkи(37. 2о:"# '2 + 1Тkи(3-+ 1Тn,n Е.- tg(3=ctg о: - ct,g (3вiп(jЗ.0:). (3'S!ПО: SШ3() =t,g о:10.вопроса.34= ~ (sil1(X - у) + siп(х +й и рх-. (3+ sш=0'+/"-2-'-:Ч, тогда. хПО.iТУ'IИМsш СУ21Тn, k, n Е Z, справедливы тождества::Запишем формулу+уСУсправедливы тождества:8.сов СУ Бll1 jЗ:1;о:6.#: 1Гn, k,+sil1 х . cos уОбоэна.'IИМ о:2 SШ -2- sш2'k, n Е д::, верны равенства:cos(o: - (3).,tg СУ + ctg (3Дока.1ательство.#:о:-Д~..
0:+(3 .(3{320:+. 0:2 БШ 22 СОБ - - ' сов--"----'-1то:СОБо:+В+ СОБ /3sil1( о: + (3)СОВ о: COS (3 ;(3справедливы тождества:(3+ sш = 2 8ШСУСОБ о:4. 9.. 0:+(32 Б111 -2- совАна.гюги'IНО ДОКaJьшаются формулы2-4.о:и уСУ - jЗ22'РоЛНС'l'FЮ формул4-10проводится ПО другои схеме.t,g СУ+(Jsil1 СУ11--,~o:доказана.sil1 jЗ +-~jЗsil1 (су+ jЗ)~0:~(3.36.36.Введение вспомогательного аргумента93ПРЕОБРА30ВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЯаsin х+ Ь cos хс ПОМОЩЬЮ ВВЕДЕНИЯПСПОМОГ АТЕЛЬНОГО АРГУМЕНТАРассмотрим выражение, линейное относите..JIЬНОо.sin аsin аиcos а,вида+ bcos а.Это выражение можно I1реобразовать, пользуясь методом введениявспомогательного аргумента.Егоидеязаключаетсяэтого выражения к синусу суммы, см.
формулувприведениивопроса330.Предполагая, что числа а и Ь не равны нулю одновременно, перепишем рассматриваемое выражение в видеJa 2 +b 2 (o.SiIlCY+bcosaаsiIla+..ja 2 + Ь 2Ьсова) .Поскольку выполнено очевидное тож,цество+2(Ja 2b+ bJ2то, как ,цоказано ранее, см. вопросCOS'Pсуществует угол 'Р такой, чтоьа=27,1,г===--иsin 'Р = ---;===в качестве угла 'Р можно, например, выбрать угол~ {аarccos..j0.2+ Ь2 'аесли Ь ~ О;- ыссов -===-;,0.2 + Ь2если Ь= ..jo. 2 + b2 (sin а СОfЗ 'Р +СОfЗ а sil1J< О.Следовательно,а SiIl а + Ь cos а= csil1(r} +где обозначено с = vo. 2 + Ь 2наоснованиипро,цеJIаllНЫХВЫКJШДОКможноутверждать,что при любых значениях 'lисеJI а и Ь, не равных НУJIЮ о,цновременно,имеет место равенствоаsil1а+Ь СОfз аcsil1(a +'Р).9437.37.Простейшие тригонометрические уравненияПРОСТЕЙШИЕ ТРИГОНОМЕТРИ"t-IEСКИЕ УРАВНЕНИЯПростеишими тригонометрическими уравнениями называют уравнения вида siп о,1.== n, tg а =сов а0"Решение уравненияsil1 О,о, иctg а = а..0,.Синусом угла а называе'Тся ордината конца, радиуса единичноиокружности, угод между которым и осью Охрешения уравненияsil1 аpaBej1 а.
llоэтому дляа, надо найти на окружности все точки,имеющие ординату а, т, е. лежащие на прямой ууа>1иокружностиключаем, что прив Iу= аа, см. рис.37.1.По теореме о взаJ!.[IIЦЮМ расrIO.IIOжениина10,1 > 1плоскостизапрямая и окружность общих точек не ffмеют, поэтому иАра,ссматриваемоешениЙ.хнеимеетреЕсликасается окружности, т. е. имеет с неировно одну общую точку, например, точку С при а =с1.
Наконец, если 10.1<1,то имеются две точки пересечения А и В,Рис.они37.1.располагаютсятельно оси Оу.симметричноотносиОстается заметить, чтоточке соответствует на чИСЛОВОЙ прямой бесконечное множество точек, отстоящих друг от друга на расстояние 21Г.Все они и являются решениями рассматриваемого уравнения.д.ая записи решения уравненияsil1 аа вводят понятие арксинусачисла а. Для того чтобы однозначно определить угол О', соответствующий числу 0"приходится требовать ВЬШО.lIнения дополнительногоусловия: этот угол ДО.lIжеll принадлежать отрезкучисла 0., а.
ЕОпределение. '2;"обозначают"17J ,]; 1],назьшается число СУ,синус которого равен аа)=аиS1J1 аa-rcsil1 а..=1f'22- - ( arcsIIl о. ( -'1f'аи10.1 ( 1,1f'.и наоборот, если выполнены УСЛОВИЯ(l :::;::..~.::ПОчислоarcsill о,.Из опрсделсния следует, что ДЛЯ любого числа а,тоi; i]·:::2'а:::::1f''2,выполнено37.Пр?стейшие тригономеТРИ'iеские уравнения95Используя введенное определение, удобно записать решение уравнения:sil1a = а.alПо этому определению точкествует уголзапишемоднусм. рис.37,1,соответarcsil1 а, Учитывая периодичность функции у = siп <х,сериюа= at'csil1 а + 27Гn,nЕ а':.Точка В, как уже отмечалось, симметрична точке А относительнооси Оу, поэтому ей соответствует угол <Х2= 1!' аrсsiп а, следоватеJIЬНО,можно записать В~l'орую серию решенийа1!' - al'csin а+ 21!'n,n Е а':.Других решений рассматриваемое уравнение иметь не может, по скольIку противное озцачало бы, что окружность и прямая пересекаютсяболее чем в двух [Гочках.ДJIЯ сокращенЙя записи в школьных учебниках любят две полученные серии решений объединять в одну сериюа(_1)" at'csil1a+ 1!'n,n Е а':,убедиться, что при четных значенияхсерии решений; при нечетныхствует2.Решение уравнении сов а--n эта запись соответвторой.а.Косинусом угла а называется абсцисса конца радиуса единичной окружности,угол между которым и осью Ох равен а.llоэтому для решения уравнения сов ау.----t--.L А=анадо найти на окружности все точки, имеющие абсциссу а, т, е.
JIежащие одновре- Сменно и на прямой х = а, см, рис. 37,2.По теореме о взаи~.нюм расположении пряхмой и окружности на плоскости заключаем, что приlal >1 прямая и окружностьобщих точек не имеют, поэ'тому не имеет решений и рассматриваемое уравнение.Еслиlal1, то прямая хРис.а касается окружности, т. е. имеет с нейровно одну общую точку, например, точку С при аеслиlal <1,37.2,то имеются две точки пересечения: А и-1. Наконец,они располагаются: симметрично относительно оси Ох. Остается: заметить, чтополученнЬй точке соответствуесl' на числовой прямой бесконечное множество точек, отстоящих друг от друга на расстояние 21!'.Все они и явля:ются: решениями рассма'l'ринаемого уранвения.37.96Простейшие тригонометрические уравненияДля записи решения уравнения сов аа вводят понятие арккосинуса числа а. Чтобы однозначно определить угод а, соответствуюш;ий'ПIСЛУ а, приходится требова.ть выполнения дополнительного условия:этот угод должен принадлежать отрезку [О; 1Т'].Определение.Арккосшщсо"и, числа а, где а1; 1] Iназывается такоечисло а, принадлежащее отрезку [О; 1Т'], КОСИНУС которого рален а.
ЭТО'IИСЛО обозначаютarccos а.Из определения арккосинуса следует, что для каждого числа а,10,1 ~ 1. выполнены соотношениясов( агссов а) = аиО ~arccos а ~ 11';если для произвольного числа а выполнены два условияИсоа а=аиО ~ а ~ 1Т',то это число а является арккосинусом числа а, а= arccos а.введенное определение, удобно записать решение уравнения С08 а=а. По определению аРЮ<ОСИllуса точке А, см. рис.соответствует угол а1arccos а.37.2,Поскольку при ПО\30роте на угол 21Т'конец радиус окружности будет вновь понадать в TO!iKY А, заключаем,'!ТО уравнение имеет одну серию решенийаТОЧI<а= arccosa +nЕLZ.как отме'iалось, симметрична точке А относительно оси Ох,поэтому ей соответствует уголarccos а.0:2t'ассуждая аналогично,заключаем, ,{то в силу периодичности функции у= С08 ХточкеRсоответствует RТОРая серия решеllиiiа- arccosа+ 21Т'n,nЕ Жрешений рассматриваемое уравнение иметь не может, посколькупротивноеозна.'!алочтоокружностьипрямая пересека.ютсядвеполученныесерииболее чем в двух точках.сокращенияffTJrUcrT.i"\r'Т'\ВзаписиобычнооднуОс= ± arccosа+ 21Т'n,Б этоi1 записи очевидно, что знакрешений, а знак«-»«+»nЕLZ.соответствуетсоответствует второй серии.серии37.Простейшие тригонометрические уравненияРешение уравнении3.а.tg QТангенсом угла наэывается отношениесинусаэтогоуглак97егоу=ахукосинусу,т.
е, отношение ОJ~динаты к абсциссе конца радиуса единичной окружности, уголмежду которым и осью Ох равен а. Позтомудш!решенияуравненияаQхнадо най,:ги на окружности все точки, длякоторых отношение ординаты к абсциссеявляе'l'СЯ заданнымчислома,т. е.щие одновременно.И на прямой усм. рис.лежа==ах,Рис.37.3. По теореме о взаимном рас37.3.положении прямой и окружности на плоскости заключаем, что прямаяу=ноахnпри всех воэможных значениях а пересекает ОКРУЖНОСТЬ ров,дВУХ точках (так как эта прямая прохо,дит черезTO'iKYОначало координат, центр окружности).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
