Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Рассмотрим треугQ.1тыlкии,г де точки Р иточекNQON Рисоответствуюти Н'. Эти треугольНИКИ равны, поскольку ONON' = 1,углы р и Q прямые, а. углы NOP и QON'ра.вны ка.к вертик альнме. Это озна.чает,Рис.29.1.чтолежитв8329. Формулы лриведенияполуплоскости,~ в левой, поэтому их абсциссы имеют противоa,Qположные знаки. 8'1'0 доказывае'l' формулу при ведения для косинуса.Для синуса доказательство проводится аналогично, а формулы длятангенса и КО'тангенса следуют из этих двухСледствием формул I иIII групп являются формулы = sino,+ 11') = - tg о,+ 11')sin+ 11')= - сов о , +11')-ctgo.для синуса запишем= sin(( -о) + 11')+ 11')IVsin( -о)= sin о.группа.
Эти формулы ПОЗIЮЛЯЮТ получить выражение функцииданного угла через функцию острого углаsin(% ± о) = сов о,о) =tg ( %±=F ctg11'2±cosо,= =F siп 0',= =F t!! 0'.Докажем, что справедливывт11'-+2=11'соваисов2+sina.доказываются аналогично. Для опредеJlешюсти предположим, что ОуголfJа+а<<I'в рассмотрениедля которого, соотве'I'ствепно, будет выполнено неравенство11''2<fЗ<1I'·Рассмотрим радиусы О N и О N', образующие углы о ис положительным наj'правлением оси 0з:рис.29.2.соответственно, см.Опустим из точекNиN'перпендикуляры на ось Ох. Полученные треугольникиOBNиOB'N'уравны, поскольку они прямоугольные, [В = [В' = ~.
ихгипотенузы равны, О N=1,и ониимею'г равные острьже углы11' -fJ11'_= -2 - о' = LBNO.Из равенства треугольников следуют равенства хРис.29.2.у' и х'= -у.8430.Функции суммы и разности двух угловСледовательно,случая,8in,8siп(~+С08,8соэ (~ + а) = х' = -укогда ау'= х = соэа.- sin а.не является острым углом,все рассужденияпро водятся аналогично.Д,I1Н тангенса и !,ота.нгенса.
эти формулы следуют из равенс'ГВt,g(~+ а)соэа-sin аСОБ= -ctgaи1гct,g(-2 +соэ C~ +-)СУ) = . (2!: + а)sш-sшасоэа2-t,l2:a.Формулы приведения можно обобщить одним правилам.Любая тригонометрическая функция угла а+по абсолютнойвеличине равна той же функции угла а, если числоnчетное, и ко-Теорема.функции этого же угла, еслиасположительна, когда+n ас -нечетное. При этом если функция углаострый положительный угол, то знакиобеих функций одинаковы; если отрицательна, то различны.30.ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ функцииСУММЫ И РАЗНОСТИ двух УГЛОВТеорема.Для любых двух углов а и2.3.4.со.'>- ,8)1.соэ(ас+=,8справедливы тождествасоэ ,8+ sil1 а sin ,8;сов ас сов,8- sil1 СУ SiIl ,8;G:-i- ,8) = Sill ас сов ,8 +sill а сов,8соэ ас sinсоэ аsin,8.ЗО, функции суммы и разности двух угловДОКЗ.1ателъство.85СнаЧaJIa докажем тождессгво 1.
В 'l'ригонометрическом круге сцентром в начале координат О проведемрадиусы ОМ иON,образующие с положительным направлением оси Ох данныеА.,'\Iуглы а: и ,8 соответственно. Кроме того,проведем радиусы ОА и ОР, образующиес осью0.1;и угол (йРис. 30.1.'jсоответственно угол в О радиан/3),см. рис.30.1.Рассмотрим треугольники OMN и ОАР.Эти треугольники являются равнобедренными, поскольку их боковыестороны являютсярадиусами тригонометрическогоKpYl'a;вершине в этих треугольниках по построению равны.углыприПоэтому этитреугольники равны, а значит, равны и их основания, т.
е.MN= АР.По определению тригонометрических функций координаты рассматриваемых точек таковы:A(l;O), M(cosa:;sina:), N(cossin{i),Р(соэ(а:-- ,8)).Если известнь! координаты концов отрезка, то через них можновыразИТЬ квадрат ДЛИНЫ этого отрезка. Тогда+ (sill(CX-(cos( а:2 cos( а:и,_ 0)2 =+ 1 + Sill 2 (сх -= 2 - 2 сов(йаналогично,+ (sin сх - sinа: - 2 cos а: cos ,8 +,8 + sin 2 а: 2( cos сх сов,8 + sin а: sin ;3).(соэ сх= соэ= 22Как уже-СОВ ,8):г2 sin сх siп ,8 + sin 2 ,8=длины М N и АР равны, следоватсльно, равны и ихквадраты, поэтому имеет место равенство2 - 2cos(cx=22( cos а: соэ {i + sin а: sinИз этого равенства вытекает утверждение теоремы.Замечание.Приведенное доказательство небсзунречно, поскольку мыне выяснили, что произойдет, если рассматриваемые треугольники несуществуют, т. е. если разность углов сх иследует рассмотреть отдельно.{iкратна ?г.
Этот30. Функции суммы и разности двух у~лов86пусть а{З+ 1т,n Е /l. При этом доказываемое тождеСТllOпринимает вид++ 1Г7/.) sin+сов (ЗПользуясь формулами приведения+ 1Гn) =siп({З + 1Гn) = (-СОБsiп {З,его можно переписать в виде= (-JУ'сов1)Пт. е.дляданногослучая{З+(-1У'доказываемоезаписиносильнаfJ2тождествоестьПрОС'l'Орав-основного тригонометрического тождества,следовательно, рассматриваемое тождество справедливо.1доказано.--~. --~~~ тождества 2. Представим cYMIvfY (r):+ (З)В видеи применим только что доказа~ное тождествоа. такжевоспользуемся свойстваминечетностисинусаИ1,четностикосинуса.сов(а=+соэ а сов( - f'З)= СОБ о: сов !з+ sin аsin а siпТождество 2 доказано.тождества3.
Пользуясь формулами при веденияи формулой косинуса разности, получим+ (З)(% - а - (З) = соя ( (%= сов (% - а ) соэ {З + sia (~соэ=siп а соэ {За)(З) ==а) sin {З+ соэ а siп {З.Тождество 3 доказано.тождестваи4.применимсинусасуммы,воспользуемся свойствами нечетности синуса и(З)siп(аsil1 а СОА( -/1)Тождество4доказано.+ (-(З)) =+ сов а: sil1( -(З)= sil1 а соэ {Зави-та.кжекосинуса.ПОЛУЧИМsiп(о·вразностьформулусов а sil1Функции суммы и разности ДВУХ УГЛОВ30.Теорема.Для любых двух углов й и11'й =/:- 2 +11'k,(387таких, что11'k, nЕ /Z,(3=/:- 2+11'n,справедливы тождества1г+ fj) 5.tg(aG.tg(a -tga tg ()1 + tg й tg,8 =при(Й+(3)=/:-2+ 1Гm ,при(й - (3) =/:-Аналогично, для любых двух углов й иЙ=/:-11'k,(3=/:-1ГI1,(31г2 + 11'1n,'т Е/Z;т Е/Z.таких, что k,nE/Z, справедливы тождества=7.+8.- (3) при+1Доказательство.(о'+притождество5.=/:-11'ТП,тЕ=/:- 1Гт,mЕ/Z.Воспользуемся формуламисинуса и косинуса суммы и определением тангенса и для допустимыхзначений й и ,8 запишемtg( й + (3)Bin( йсов( й+ (3)+ сов Q sin (3cos й сов,8 - Si11 й 8i11 (38in й сов (3+ (3)sin о' СОБsinO'СОSЙСОSСОБО'cos sinO'cos о'+ sin (3 СОБ (3sin (З1_сов О'СОБsiп о' SillСОБ о'СОSО'СоSCOStg о' + tg,8 1 - tg atg (3' СОБО' сов (З В силу на.тюженых на углы й и(3ограничений все проделанные 11реобразования имеIQТ смысл.ТождестваЗамечание.6-8доказываются аналогично.Обратите внимание на то, Ч'1'О правые и левые частичетырех последних тождеств имеют 1JQзл'u'Ч/l-tые области определения,поэтомупри hear-шураТI!ОМ~~"~h"л~м,,,= корней!ихиспользованиивозможныпотеряили8831.Тригонометрические ФУНКЦJ;lИ двойного углаТРИГОНОМЕТРWIЕСКИЕ Функции31.
ДВОЙНОГО УГЛА Тсорема.Для любого угла о: справедливы тождестваsin 20: = 2 sin о: cos о:ио:cos 20:0:;-кроме того, имеют место тождества2 t.g о:=1_tg 20~tg 2 о:прио:ctg 2 о: - 1r:tg 20: = 2 cte: о:Доказательство.1т#2+ 1Тn,прио:о:#1т4+1ТnnЕ2 '1Тn # 2'Z. nЧтобы получить выражения для тригонометрических функций двойного угла, следует в формулах синуr:а, косинуса,тангенса и котангенса суммы положить о:ЗаМС'Iанис.вниманиенато,=см.
вопросчтоправыеи30.левыечастиугла имеют раз.tlU 1mые области опредевления, поэтому при не аккуратном ее использовании возможны потеряили приобретение тЕ,",,""""':;'Замечание.Воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством, формулу косинуса двойного угла. МОЖНО переписать в видесоs2о:=соs 2 а-siп 2 о:=2соs 2 йЗамечание.1=1й.2Часто бывают полезны формулы для тригонометрическихуг ла. Эти формулы могут быть получены с помощьюсинуса, косинуса, та.нгенса. 11 котангенса. суммы и приводятсяэдесь без доказательства.Теорема.Для любого угла о: справедливы тождестваsiпЗо:=3siпа-4siп 3 0:иCOB30:=4COB3(~3СОБО:;кроме того, имеют место тождества3t.g 30: = 3 tg а - tg о:1 - 3 tg 2 о:ct.g 30:ctg3о' 2':> ,J7г приctg о:Зr:t.g а - 17Гn0:#'6+з'при йf.1Тnз'nЕnZ.32.
'Григонометри'Ч:еские функции ПОЛОВИННОГО углаТРИГО~ОМЕТРИЧЕСКИЕ Функции32. 89ПОЛОВЦННОГО УГЛА Теорема.Для любого угла а справедливы тождестваv] -. а:Бт1.СОБ а:=± .22;СОБ2.а:2=кроме того, имеют место тождестваtg3.а:1- СОБа1 + СОБ а±2Q']ctg -24..1+ СОБприQ'fа:приСО8 а+7ifа:11 ЕZ;n Е Z.27in,В этих формулах знаки перед радикалами следует брать в зависимости отзнака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.Тангенс и котангенс половинного угла выражаются также с помощьюрационального выражения. Например,5.tgаsша'2Доказательство.приаf7i+Z.nЗапишем формулу косинуса ДВОЙНОГО углаСОБ 2fЗи введем обозначение а== СОБ 2 j3 -sill2j32fЗ, тогда эта формула приобретае'Г ВИДСОВ а:=а: -2-.")а:SJl1~2'к роме того, справедливо основное тригонометрическое тождество1 = cos2 а"2 + sin2 а:2'Складывая почленно эти два тождества, а также вычитая почленно,получим1 + СОБ а:Так как1 + cos Q'И= 2 СОБ1-2а-2И1СОБ а.ry а= 2 sш- -.2СОБ а неотрицательны, можно извлекать квадратный корень из правых и JIeBbIX частей ЭТИХ тождеств, получим, а:sш_ _2 --СОБ а2иСОБ а2= ± / 1 + сов а:Таким образом, соотношения 1 и 2 дока;заны,V2.ЗЗ.
Выражение через тангенс ПОЛОВИННОГО угла90При выписанных выше ограничениях на угол а эти тождестваможно ПОЧ.1Iенно разделить одно на другое и таким ?бразом получитьвыраженияи3РавенствоД.1Iя тангенса и I{OTaHreHca половинного угла.4следует из цепочки равенств5tg.о'· о' . сов "22 SШ"2о'ос 8111 "22СО8вт9'1 + СЬВ а'2Теорема доказана.33. ВЫРАЖЕНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ТАНГЕНС ПОЛОВИННОГО УГЛАТеорема.Для любого угла а21. -# rг + 2rгk,2о' справедливы тождества:аtg"2совао'2 "24. t,g а -- 1 _ tg 2 "2о'аДоказательство.Z,2.1- tg "2 3.Е1-"2 о' '1 + t,g 2 "2SlП аkо' Пользуясь ГJ,,...~,,,,а'-#rг2+ rгn.синуса двойного угла и основ-IIЫМ тригонометрrГlеским тождеством.sш а=2 .sш'2а . сов '2аи.sшзапитпем.Вll1 авыписа.нныха.'2a + сов z 2"о' = 1,2•аIвт2 8111 2 . сов 2ограниченияхдроби можно разделить нана угол ао'"2 .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
