Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 9
Текст из файла (страница 9)
В справедливости этого свойсiгва мы убеждаемся непосредственной проверкойnVa mk=VVa mk = VV(am)k = ~.Для доказательства свойства 5 возведем правую часть равенствав степеньи получимk((va )т) k = ( va) mk = (( va) k) mДля доказатеJ!ьства свойства 6аm.возведем левую часть равенствав степень nт и riримененим свойства 4 и 1 степеней с натуральнымпоказателем(va туа) nт = ( va) nт ( туа) nтуа)n) m(( туа)т) n = ата n= ((= ат+n .Свойство 7 можно доказать аналогично предыдущему, опираясьна свойства 5 и 1 степеней с натуральным показателем. Для этоговозведем левую часть равенства в степень nт и выполним следующиепреобразования:( vc )nтту'ё( VC)nm((VC)n)mту'ё)nт(( ту'ё)т((стСП=ст-nТеорема доказана.Замечание.пениn,Отметим, что кроме понятия арифметического корня стесуществует еще понятие алгебраического корня.
Алгебраический корень степениn из числа а - это корень уравнения х = а. Еслипоказатель степени число n нечетное число, то алгебраическийкорень опреде~н и для отрицательных чисел.n5218.Степени с рациональными показател.fIМИ18. СВОЙСТВА СТЕПЕНЕЙ С РАЦИОНАЛЬНЫМИ ПОКА3АТЕЛЯМИ Определение.Если аположительное деЙСТRительное число и х11'1n'где m ПРОИЗВШIьное рациональное число, представленное дробьюцелое, а 1'1 -натуральное числа, то рациональной степенью аХ числа аназЫRается арифметическиii корень степени 1'1 из числа аа.ХЕсли а=О и х -т, то естьvam.mаnрациона.1Iыюе и ПО.llожительное, то аХО.Покажем, что данное определение корректно, а именно, что результат возведения 'lисла апредставленияR рационалhНУЮстепень не за.RИСИТ от выборачисла х в видеДействительно, по определению Rсякое рациональное число можнопредставить единственным снособомMoi;f дроби ~, где рR виде обыкновенной несокра:гинатурадьное числа.
Все другиецелое, а q -обыкновенные дроби, представляющие это ра.циональное ЧИС.llО в виде отношения це.llОГО числа к натуральному, получаются из дробирqумножением ее ЧИС.Ilите.llЯ и знаменателя на ОДНо и то же натуральноечи('дотk"т. е. -1'1kp= -k,q . Следовательно,mаnТеорема.а=vV(ap)kt!..'{гaji = а q .Пусть а и Ь положительные действительные числа, а х и урациональные числа. Тогда выполнены следу~щие равенства:=1.аХа!!3.(аЬУ5.
(~)'~ == аХЬаХХ;= аХУ;2.(аХ)!!4.- = a,r:- y ;аХаУОтепени с рациональными показателнми18.Доказательство.53Доказательство свойства 1. Пусть даны рациональные числа х и у. Их можно представить в виде дробей-Рlqlи))2-.q2эти дроби всегда можпо привести к общему знаменателю, 'Т. е. записатьв виде ~~~~ и ~~~{' Поэтому сразу будем считать, что рациональные'lИсла х и у уже представлепы в виде двух дробей с одинаковыми знаменателями ~l и ~2.
Следовательно, по свойству 6 арифметическихкооней степениаХа Уnполучаемt11,1~а пап'{/аm'а т ,Vamz1nl+n".ifДоказатеЛЬСТI}О свойства1'11степениnm)!!!.:I.n,'----1.= (nаnраЦИОНa.lТьные числа х и у пред2.ставлены в виде двух дробейарифметических+'n2m'1а.nnи rn 2"2Тогда по свойствам 5 и 3.получаемnv(nwп,-) т,nwп,-) ';:~nln2~уа""""Дока.зательство свойства3.Пусть х-ml 2аn'n2 =аХ'У.тПРОИЗВOJlыюе рациональноечисло. Представим его в виде дроби ~~t, где mнатуральное чисщз..
Па основании свойствацелое, а nарифметических КUрtlt:и.1получаем(аЬ)Х=1~nm ='у (аь)т=mт=Доказательство свойстваРавенство4.аnЬn4аХЬ •Хследует из свойства1и определения1аХ=а-хСправедливость последнего опять же следует из свойстваaXa-':Доказательство свойства=5.= аО= 1.Используя доказанные свойстваполучаемСnХдоказана.(аЬ-1аХ(b-1)XаХЬХ '3и2,19. Свойства степенной функции и ее график54,uIuСВОИСТВА СТЕПЕННО И ФУНКЦИИ19.С ЦЕЛЫМ ПОКАЗАТЕЛЕМ И ЕЕ ГРАФИКОпределение.Функция вида у=хn, гдецелое число, называетсяnстепенной Функциеil с целым, nох:азаmелем"Отметим, что частными случаями степенной функции являютсяобратная пропорциональность уу=х при~ при n =1, линейная функция1, квадратичная функция уnприслучаи фактически были рассмотрены в вопросах5,10иn11.= 2.ПриЭтиnфункция совпадает с тождественной единицей, кроме точки х=О=О,в которой она не определена,Степенная фУНКЦИЯ об.lIадает свойствами, которьте зависят от значения показателя степениn.Рассмотрим четыре случая:положительное и четное;числоnnчислоnотрицате.lIьное инечетное;числоnотрицательное и четное.1.'IИСЛО2.3.4.1.положительное инечетное;Покааатель степениn положительный и четныйСтепенная функция в этом случае задается формулайчислоk -натуральное.
Ниже буквойkнатуральные числа. Квадратичная функция узначениюk1,11= xи~, Г демы будем обозначаТh только,соответствующаяотносится к этому случа,ю, ее основные свойства.сохраняются у функции вида у= x 2kпри k> 1.1. Область определения функции. Значение выраженияопределенооднозначно для любого числа. х, поэтому облаСТh определения степенной фУНКЦИИ с показателем степенидействительных чисел, т.
е.n = 2k ест!> множество всехD(x 2k ) = IR.2, Область значений функции. Областью значении функции являе1'('Япромежуток [О;Докааательство.X2k= у,k Е N, при всех положительныхзначениях у имеет два КОРНЯ, которые за.писываются в виде Х]И Х2- 2Vfj.Если у:::::О, то корень один-х=2Vfj= О, При отрицательныхзнаТ-Iениях у уравнение корнеи не имеет. Это ка,ки озна.чает, чтообла.сть зна.чениЙ степенной Функuии есть промежуток [О;3. Периодичность. Функция у=не является периодической. На.пример, она.
принима.ет значение нуль только при единственном значенииременной х, а. именно в точке .Т= О.СJ;30йства степенной функции и ее график19.4. Четность или нечетность. Функция у55x 2k является 'Iе'l'НОЙпосколькуу(-х)= (_x)2k = (_1)2k;r,-. ==5. Точки пересечения графика с осями координат. Уравнение X2kОпри любом натура.л:ыlмM k имеет единственный корень он равеннулю, поэтому график функции упересечения с осяkи координатx 2k имее'Г только одну точкуточку (О; О).б. Промежутки знакопостоянства функции.
Функция ует положительные значения при х Е7.(-00;=принима-u (О; +00).О)Наибольшее и наименьшее значения. Функция=упринимае'гсвое наименьшее значение, равное нулю, в точке нуль. НаиБОJIыпего значенияIне существует,т. к. она может принимать сколь угоднобольшие положительные ЗIfачения.8. Интервалы возрастания ~ убывания. Функция упромежуткеО] и возЬастает на нромежуткеДоказательство.Пусть 0< Х],<Х2.
Тогда) - Y(Xj)Xfk (=убываетна+00).>1иXzХIС:) 2k -1).Первый сомножитель в правой части равенства положителен, посколькучисло Хlотлично от нуля, а второй положителен по следствию изсвойства 10 числовых неравенств (см. вопрос3).Поэтому выполненонеравенство У(Х2)У(Хl) > О, что и озна'Iает возрастание функции наинтервале (О; +00). Аналогично доказывается убывание функции паинтервале (-00; О). Так как 0= 02k < x 2k для любого ХО, то точкаfнуль включается в обоих случаях в нромежутки монотонности.9. Асимптоты. График функции у =Как было отмечено,парабола у=х2X2kасимптот не имеет.частным случаем такой функции являетсяИ ее основные свойства сохраняются при произiюльномположительном показателестепениn= 2k.Поэтому график такойфункции напоминает параболу, только ветви графика прибыстрее прижимаются к оси .1~, чем большеKpYQe идут вверх, чем большеn.ПриIxl >1IxI < 1 темветви темn.
График функции показан на рис. 19.1.Свойства степенной функции в оставшихся случаях доказываютсяаналогично рассмотренному выше. Перечисдим их.19.562.Свойства степенной функции и ее графикПока.затель степени 11. положительный и нечетныйФункция в этом случае задается формулой у= x 2k + 1 ,где kнатуральное ЧИС.IIO. Важным представителем этого случая являетсяфункция у = х З • Ее основные свойства сохраняются У степеннойфункции и при других эначенияхk > 1.1. Область определения функции.
Все деЙствите.IIЫlые ЧИСJIa..2. Область значений функции. Все деЙСТВИТe.lIьные числа.З. Периодичность.ФУНКЦИЯ Н.епериодическая.4. Четность и ли нечетность. Функция нечетная.5. Точки пересечения графика с осями координат. График функции пересекает оси координат в единственной точке (О; О).б.
Промежутки знакопостоянства функции. Значения ,iп!цт;ттительны при х<О и положительны при х>отрицаО.7. Наибольшее и наименьшее значения. Функция не имеет ни наибольшсго, ни наименьшего значении.8. Интервалы возрастания и убывания. ФУНКЦИЯ являетсявозрастаюпа всей числовой оси.9. АсимптотыГрафик функции уфункции показан на рис.асимптот не имеет.19.2и напоминает кубическуюпарабо.IIУ, являющуюся 'IacTHbIM случаем степенной функции с положите.IIЬНЫМ нечетным пока.зателем.
Зависимость от 11. состоит В том,что ветви графика круче идут вверх с poc1iOM n, а на интервале (О;медленнее ОТК.lIоняется от оси абсцисс.=х3хо1х/Рис.19.1. Рис.19.2.1)5719, СJ;юйства степенной функции и ее график3.Показатель степениnотрицательный инечетныйФункция в этом случае задаетс}! формулой у, где k -Itатуралыюе число. Важным представителем этого случая являетсяфункция у= 1 при k = 1. Степенная функция сохраняет все основныехсвойства и при других значенияхk > 1.1. Область определения ФУНКЦИИ. Все числа, кроме нуля.2.Область зна'iеНIi1И фУНКЦИИ.4.5.Все 'lИсла, кроме нуля.IЗ.
Периоди'iНОСТЬ.Функция непериодическая.Четность или H~'ieTHocTb.Функция нечетная.ТО'iки пересе'iения графика с осями координат. График функции непересекает оси координат.б. Промежутки знакопостоянства ФУНКЦИИ. Значения функции отрицаTeJIbHbI при х7.<Ои положительны при х> О.Наибольшее и наименьшее зна'iения.
Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.8. Интервалы возрастания и убывания. Функция является убывающейна интервалах9.(-00;О) и (О;+00).Асимптоты. Асимптотами графика функции являются прямые хи у=ОО.График такой функции показан на рис.19.3 инапоминает гиперболу, явдяющуюся частным СЛУ"Iаем степенной функции с отрицательнымнечетным показателем. Зависимость отграфика сильнее прижимаются с ростом4.Показатещ, степениnnnсостоит в том, что веТllИк осям координат.отрицательный и четный Функция в этом СJlучае ::Jадается формулой у1:z:2k'гдеkнатуральное ЧИС.'lо.1.
Область определения функции. Все числа, кроме нудя.2.Область зна'iении ФУНКЦИИ. Все положительные числа.З. Периоди'iНОСТЬ.Функция непериодическая.4.Четность или5.ТО'iки пересе'iения графика с осями координат. График функции неHe'ieTHoCTb.Функция четная.пересекает оси координат.б. Промежутки знакопостоянства функции.
Значения функции ПОJЮЖИтедьны при а:f::О,Свойства покаэателъной функции и ее график20.587. Наибольшее и наименьшее зна"lения. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.8. Интервалы воз'растания и убывания. ФУНI~ция является возрастающей на интервале (-ею; О) и убывающей на: интерва.llе (О; +ею).9. Асимптоты. Асимптотами графика фУНIщии умые х==О и у==являются пряО.График такой функции показан на рис.19.4и цапоминает гипертолько обе ветви лежат выше оси абсцисс. Зависимость отсостоит в 'гам, что с ростомnnветви графика, сильнее прижимаютсяк осям координат.Y'\y=ilj_~-11i L - _1\20.х1оРис.Рис.19,3.х19.4.СВОЙСТВА ПОКА3АТЕЛЬНОЙФункции И ЕЕ ГРАФИКв вопросе18для произвольного ПО.тюжите.ТIЬНОГО действителыюгочисла а БЫ.,I]:а определена операция возведения в рациона.ТIЬНУЮ степень х. Эта операция может быть доопределена, для произвольнойдействительной степени х, например, следующим образом,Если число а= 1,то С"LИтают, что а:"= 1для любого действительного числа х.
Это правило Вполне согласуется с введеными ранее, т, к,единица в любой рациональной степени равна единице. В этом слутше функция тождественно равна. единице, ее свойства были описаныв вопросе5,поэтому ниже будем считать, что а ::j::.а> О и а ::j::.1.1.Д.IIЯ любого действительного числа, х можноуказать два рациона,льных 'Jисла р ир ~ х ~qтаких, чтоq,(1 )20.Свойства Показательной функции и ее график59Тог да по определению действительной степенью аХ числа а называется'1'1'0 для всевозможных(1), выполнено'iисло у такое)неравенствуаР ~ у:::: аХ ~q{a~ учисел р иесли а>= аХ ~ аР,если Оq,у доветворяющих1,< а < 1.СФОРМУJlируем теперь три важных утверждения, которыс Jlежат воснове опредеJlения показатеJlЬНОЙ ,.j.",уттпmпТеорема.Пусть число а ПО!IOжительно и не равно единице.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
