Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Утверждение этой теоремы можно было бы принять заопределение операции сравнения двух чисел. Мы же дали определение,основанное па геометрической интерпретации чисел с помощью числовои прямой, кщ{ это делается в школьномтеоремы очень важно, оно используется при сравнении чисел.Замечание2.Здесь и ниже при дока:зательстве числовых нера.венстписпользуются «очевидные» свойства арифметических операций, обоснование которых требует построения строгой теории действительного числа.
К таким свой.СТ13ам относится, например, коммутативностьоперации сложения. Коммутативность сложения в начальных классах школы формулируется с помощью всем известной фразы: «Отперемены мест слагаемых сумма не меняется».Далее мы будем приводить две формулировки каждого свойства.Однуна строгом математическом языке, а вторуюсловами,-к которым каждый привыкает еще в средних классах школы.1.а> Ь тогда и только тогда, когда Ь< а.
Если одно число больше второго, то (пnорое меньше первого. Доказательство.Это свойство следует из определения операции сравнения двух чисел.2.Если а>Ьи Ь>е, то а>с. ЕеЛll одно число больше второго, а второе больше третьего, то первое больше третьего. Доказательство.Из условий аследует, что аЬ->О и Ьс>>Ь и Ь>с по доказанной теоремеО. Тогда, складывая неравенства,получим(а-Ь)+ (Ьчто а-с3.Для любого числа е если аДоказательство.+> с.>Ь, то а+ с > Ь + е. частJlМ Nеравенеrnва можн,о nрuбавлюпь одно и то же чнсло, энак: неравснсmва(а>0.-Ь)+(Ь-е), получаем а-с> О.
По=теореме это означает, что а[{ обеимс)е) и (Ь+приэтомеоз:ран,леmе.я.По утверждению теоремы для сравнения двух чиселс), нужно сра1311ИТЬ с нулем их разность (аРаскрыв скобки, получим(а+е)-(Ь+с)аЬ>О.СЛСIIНСС неравенство следует из условия а>Ь.+с)(Ь+с)З. Свойства числовых неравенств204.Для любого положительного числа с если а,> Ь,то f:! . с> Ь . с.При у,м,ноженuи неравенства на nОJ!О'JICитеJ!ь'Ное чt!СJ!О 31·тх: неравенства сохран,яетс,я.Доказательство.аТак как а· сЬ· с(а=-ь)с И по условию выполненоЬ> О, то знак разности чисел ас и Ьс определяет!:я знаком ЧИС.,Jlа с.5.
Для любого отрицательного числа с если а> Ь,то d . с< Ь . с.у.множении неравенства на оmршщтеJ!ьное 'Щ~J!О сдедусm uз.м.енить знах: неравенства на nроml1вОnОJ!ОЖНЫЙ.Доказательство.6.Если а>Ьи сДословно совпадает с f\оказательством свойства 4.> d,+ с > Ь + d. то аНеравснства одного знака .м,о.жно nОЧJ!енно ск:лаdывать, знах: полученного неравенства совпадает со зuак:а.м.и исходных неравенств.
Доказательство.(а7.Если а> Ь исТак как (а+ с)< d,->оИ (с(аЬ)+ d)(Ьто аразногоЬ)-с> Ьзнах:а-- d) >+ (сО, тоd) > О.- d..м,о:жноnочленновычитать,знак1),ОЛУченного неравенства совпадает со знак,о.М первого нсравенства.Доказательство.8.Если а>Ь>ОАна.,rюгично,и с>d>-О, то ас)(Ь- d)-Ь)+(d-е)>О.. с > Ь . d.одиого знах:о. с nОЛОJICителы/,ы.м.u, числа.м.и .м.ожно nочлеUIЮ у.м.uожаrnь, при это,м, знак полученного неравенства совпадает со знака.м.u исходиых неравснств.Доказательство.Так как все числа а, Ь, с иа таюке СIlравеД.lrивы неравенства (аЬ)d ПО условию положительны,о и (сd) > О, то можно>:записа'IЪa'c-iJ·d9.Если аа·сb·c+1J·c-Ь,d=(а> Ь > О, то 1 <а+ (с -d)lJ >О._/1.)обратные х: nоложuтель ны.м.
Чl1сла.А~, Сf),яэаны uсравеuство,м,nроm.tiвоположногоДока.1зтельство.З1-lака. Запишем разность рассматриваемых чисел 1Ьаа-Ь--;:;::ь>О.Последнее неравенство справедливо, т. к. ПО условию и числитель,и знаменатель дроби IlOJIOжительны.4.21сокращенного умноженияЕсли а > Ь > О, то а "Если обе части10.>Т1Ь , где n Е N. положительны, тnо при возведении его в любую натуральную стеnе1tl. знаll: неравенсmва сохраняется.
Доказательство.По свойству8из неравенства а>Ь, умноженногочто а 2 > Ь 2 • Применив ещс раз это свойство уже> Ь и а 2 > Ь'2, получим, что а:1 > Ь 3 и т. д. Такимобразом, для любdго конечного n можно докаэать, что из условия а > Ьсамо на себя,к неравенствам аследует llеравенство а "Следствие.лаn>ЬN•любого положительного числа а и натурального чисllеравенство а> 1 выполнсно> ].тогда и только 'тогда, когда выполнено неравенство а "4.ФОРМУЛЫ СО~РАЩЕННОГО УМНОЖЕНИЯТеорема.
Для люрых чисел а и Ь справедливы тождества- 2аЬ + Ь 2 ,а 2 +2аЬ+Ь 2 ,(а+ь)2= а - 3а ь + 3аЬ - Ь:1,(а + Ь)З = а + 3а ь + 3аь + Ь ,(а - Ь)З+ Ь:О- ьДоказательство.22322+ Ь)( а - Ь),= (а + Ь) (а - аЬ + Ь= (а - Ь)(а + аЬ + ЬЗь 2 = (аа2аЗ3322),22).Формулы сокращенного умножения доказываютсянепосредственным раскрытием скобок и привсдением подобных слагаемых. Привелем пример выкладок для первой формулы:-Ь)а=2--Ь)аЬ - ЬаЬ)-2аЬ+ь =2+ ь2 .Остальные формулы доказываются аналогично.Существуют аналогичные форму лы сокращенного умножения и дляболсс высоких степенейa'2тtь 2nа'2n+l±(а "+ Ьn)(а " _(а ± Ь)(а2nь n ),=F a 2n - 1 b + а 2n - 2 ь 2 ++ ... + а 2 ь2n- 2 =F+ь2n).5.22Крометого,Свойства линейной функции и ее графикдлястепенейсуммыдвух слагаемых существуютсоотношения(а+ Ь)n = C~an + C~an-lь + C~an-2ь2 + ...
+ c~~1aьn-l + c~ьn,называемые биномом Ньютона..Коэффициенты C~., C~, С;, ... , С:;', называемые биномиальными коэффициентами, могут быть вычислены с помощью треугольника234Паскаля.346коэффициентам C~, участвующим в формуле.для степени 11"щая11,Числа, состаВЛЯК1щие треугольникПаскаля, записываются следующим образом:соответствует 11,+ 1 число.+1строка треугqльника, содержаПервое и последнее число каждой строки-единицы.Остальные числа строки равны сумме двух чисел, стоящих строкойвыше левее иправееданного числа.5. СВОЙСТВА ЛИНЕЙНОЙ ФУНКЦИИ ИЕЕ ГРАФИКОпределение.Функция вида у= ах + Ь,где а и Ь некоторые числа,называется лu.неЙноЙ фунхцu.еЙ.При а= О линейная функция тождественно совпадает с постояннойфункцией у1.= Ь.Область определения функции.
Выражение ах+Ьделено для любого действительного числа, поэтому2.Область значений функции.При адействительные числа, т. к.!JЬ,1:=~атакое, что у::f.однозначно опреD(ax+ Ь) = ~.о множество значений-вседля любого числа у существует число= ах + Ь.Если а= О,то множество значенийсостоит из одного числа Ь, т. к. значение выражения ах+Ьв этомслучае тождественно равно Ь.З. Периодичность.аЕсли а::f.О, то функцirя непериодическая. Если= О, то функция периодическая с любым :периодом.Доказательство.Пусть аЭто означает, что а( х::f.о и линейная функция имеет период Т+ Т) + Ь =ах::f.О.+ Ь для любого х; После элементарных преобразований получим равенство аТ= О, которое противоречиттому, что оба сомножителя отличны от нуля.
Следовательно, предположение о существованиипериода ложно.5. С~ойства линейной функции и ее графика23О утверждение очевидно, т. к. функция при любом хпринимает одно значение, равное Ь.4.Четность илитогда, когда аО; нечетная тогда и только тогда, когда ЬДока.lательство.Функция являетсякогда равенство у(х)определения, т. е.получаем ахФункция является четной тогда и толькоHE['ieTHOCTb.;::::четной;::::О.тогда и TOJIbKO тогда,у(-х) выполнено для любого х из ее областиIhx+bа( -х) +Ь. После приведения подобных членовО.
Это равенство выполнено для любых х тогда и толькотогда, когда аО.Аналогично, функция называется нечетной тогда и только тогда,ког да длялюбого хизобласти определения-у(х), т. е. а(-х) +Ь=членов получаем равенство 2Ь=о.равенство выполнено для любыхзначений х тогда и только тогда, когда Ь5.выполнено равенство+Ь). После приведения подобных= О.ТО'iКИ пересе'iения графика с осями координат.Графикпересекаетось Оу в точке с координатами (О; Ь).Если аf.О, то график функции пересекает ось Ох в точке с координатами (-~; о).Если а;:::: О, то график совпадает с осью Ох (при Ьс нею общих точек (при Ь::f-= О)или не имеетО).б. Промежутки знакопостоянства функции. а) Если а> о, то значенияфункции отрицательны при х < - ~ и положительны при х >Если а<О, то Значения функции положительны при хи отрицательны при х >В) Если а;::::(l<ь(lQ(lо, то функция принимает постоянное значение и неменяет своего знака на всей области определения.Доказательство.а) Если а> О, то, по свойствам числовых перавенств,неравенство ах + Ь > О равносильно неравенству х >~.
Аналоги'lНОдоказывается и вторая часть утверждения этого пункта.б) Доказательство аналогично предыдущему, с той лишь !JGtJl1Нцс:а,что при делении н:а отрицательное число знак неравенства изменяетсяна противоположный.7.Наибольшее и наименьшее зна'iения. Если а::f-О, то не существуетнаибольшего и наименьшего значений, т. к. область значенийв этом случае есть множество всех действительных чисел. Если ато наибольшее и наименьшее значения совпадают и равны Ь.О,246.Уравнения и неравенства, их совокупности и системы8. Интервалы возрастания и убывания. Если авозрастает.
Если а<>О, то функция строго О, то функция строго убывает. Если а=О, ТО функция является постоянной. Доказательство.>Пусть Х2У(Х2) - У(Х1)следовательно,Х1. = а:С2 + Ь><У(Х2)+ Ь) =если а> О, 1),),если а< О, если а=О. имеет асимптотуу= ах9. Асимптоты. График+ Ь.а=О уа < О .уох Рис.х5.1.'рафиком линейной фУНКЦИИ является ПРЯМaF[, образующая с осьюабсцисс угол <р, г деt,g rpа..
Примеры графиков при Рl1ЗJIИ'ШЫХ знакахкоэффициента а изображены на рис.6. 5.1.УРАВНЕНИЯ И ПЕР АВЕПСТВА, ИХ СОВОКУПНОСТИ И СИСТЕМЫОпределение.зываетсяОб,l!асmью IЭrmycrn Н,М.ЫХ эн.аченщlмножествовсех значенийtu До)уравнения нах,каждомприизкоторых имеют смысл левая и правая части уравнения.Любое число значениеХ, принадлежащее ОДЗ уравнения, наэыва.ется доnусmи,м,ы.м ;mач.енuе,м, ДJIЯ данного уравнения.Определение.Число 0', принадлежащееназывается решенuе,м,этогочиславместочисловое равенствоуравненияуравнения,еСJIИприподстановкех уравнение обращаетс.JI в верноеб.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
