Е.В. Якушева, А.В. Попов, А.Г. Якушев - Математика (1108714), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Эта сумма положительна, следовательно,уравнение(3)не может равнятьсянулю,поэтомуне имеет действительных корней, а поэтому не имеетих и уравнение8. Разложение квадратного трехчлена на линейные множители8.33РАЗЛОЖЕНИЕ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНАНА ЛИНЕЙНЫЕ МНОЖИТЕЛИОпределение.Мliогочлеll второй степени ах 2менная, а, Ь и с+ Ьх + с,где хперепроизвольные действительные числа, причем а=F О,на.;зывается 'К:вадратны,м трехчлено.м.I•Определение.
I<JpHJt.«u квадратного трехчлена называются корни соответствующего KBaдpaTH~ГO уравнения.Теорема.+ Ьх + с имеет корни XlЕсли квадратный трехчлени Х2, тосправедливо тождествоах 2 +ьх+са(х-Х2),в случае, когда тре:({член имеет лишь один корень х 1, спраж;.цливо тождествоах 2+ Ьх + са(х Если же квадратный трехчлен не имеет корней, то его нельзя разложить налинейные множители.Доказатрльство.В вопросеьсаа7для случаяD>О_ -ь --ь++ -х + - =получено тождество~)2а2аи показано, что корни квадратного уравнения имеют вид:;rl=-ь+и2аХ2=-Ь~2аПоэтому это тождество можно записать в видеЬ + -с+ -хаа(х-)Xl (х- Х2).Умножая обе части получившегося тождества на а, получаем+ Ьх + с(хХ2).
Таким же образом устанавливается, что при+ Ьх + с =гдеXl -D <О Xl) ,единственный корень уравнения ах 2Если жеD2+ Ьх + с = О.О, то квадратный трехчлен пелыя разложить налинейные множители, так как в противном случае он имел бы корни(поскольку каждый линейный сомножитель обязательно имеет одинТеорема доказана.349.Теорема ВиетаТЕОРЕМА ВИЕТА9.Теорема (Виета).Если числа Хl и Х2 являются корнями квадратногоуравнения+ Ьх + сО,то имеют место следующие соотношения;(<1)Пусть числа хl и Х2вопроса+ Х2корни уравнения. Тогда иэполучимJlJ 2 - 4~~-ьадля корней квадратного уравнения непосред7ственным вычислениемХIXl'X2=~'{ДОКfI.1ателъетво.Ь+ Х2xl+20,-Ь + JIJ 220,-ь-4о,сIJ+JfJ 2 -4о,сь20,Хl•-ьХ2- JIJ 2 -4ас -Ьа,+ JlJ 2 - 4ас20,2а62(JlJ 24о,с)2ь2+ 4ас_ с40,2аТеорема доказана..
Замечание.для суммы и произведения корнеи квадратного уравнения остаются верными и в случае, когда уравнение имеет единственныи корень Х], если положить в укюанных формулах хзТеорема (обратная теореме Виета).Если данные числа Хl и Х2 таковы,чтоХlто числа х]+ Х2=-рИХl' хзДокмателъетво."fерез Х]= q,и 'Т2 ЯВЛЯЮТСЯ корнями приведенного квадратного уравнения+ рх +qствами х]= xl'О.Воспользуемся данными в условии теоремы ра.вен+ Хз = -р и ;1.:1 . Х2 = q 11 выразим ко;)ффициентыи Х2+ р;!; + q =Х· (Хl+ ХЗ) + Х] . Хз.уравнения10.Свойства квадратичной функции и ее график35что полученное выражение можно разложить на множителих2-+ Х2) + Xl . 3:2Х·(Х-Xl) .поэтому+ рх + qравпение (Х - Х 1)' (Х(х - х 1).О, очеви,цно, имеет корни Х 1 И ;1:2 и никаких=,цругих.
Следовательно, и равносильное ему уравнение х 2имеет такжекорниXlи+ рх + q =оХ2.Теорема доказана.Замечание.Прямая теорема Виета может быть сформулирована как,цля приведенногоуравненияквадратногообщего ви,ца.уравнения,такОбратную теоремуидляквадратногоформулируют обычнотолько для приведенного уравнения. Это объясняется тем, ч'го, знаядва корня, невозможно однозна<ню определить все три коэффициен'уравнения, поэтому для определенности полагают а= 1.10. СВОЙСТВА КВАДРАТИ1СffiОЙ функции ИЕЕ ГРАФИК+ Ь:г + с,-#О, называется1.
Область определения функции. 3на'lение функции ах:?+ Ьх + с одноОпределение.'4-'ункция вида У=где ах;вадраmuч'Ноu функцией.значно определено для любого действительного числа, т. е. п(у) =2.Область зна'"lений функции.JR.Преобразуем выражение, З(tдающее квавыделив полный квадрат, получимдратичнуюУ ах 2 + Ьх + са(х 2 + ~x + .:а Ь)2= а (( х + 2аl'де использованы обозначения х вВыражение (х -аЬ -4ас)4а 22Ь2аи Ув+ Ув,а (Х Ь2-4ас4а~ожет принимать любое неотрицательноезначение в зависимости 0'11 Х.
Поэтому областью значений выражения2'а (а:ХВ )Уввсех возможных значениях Х является:+а)если а> О, промежутокб)если а< О,промежуток36Свойства квадратичной функции и ее график10.3. Периодичность. Квадратичная функция неперио,цическм, так как,например, значение У=точке ХУв она принимает только вХв'4. Четность или нечетность. Квадратичная функция ЯВ.1!яется четнойтогда и только тогда, когда ЬДоказательство.О.Необходимость. Если функция четная, то для любогозначения переменой х должно выполняться равенство У(Х)= у(-х).квадратичной функции это означает, чтоx 2 +bx+c=(-х)2+Ь(-х)+с{:}bx=b(-х)2Ьх=0.{:}Пыра.жение 2Ьх может быть равным НУ,'Iю при любом Х только приусловии, что Ь= О. Тем самым необходимость условия доказана.= О сдедует из равенства+с = у(х).Достаточность.
Четность функции при!Ь=а(-х)2 + с = ах2Квадратичная функция не является нечетнои, т. к. ее об.1!а.сть значении несимметрична относительно НУJIЯ.5. Точки пересечения графика с осями координат, При х=Офункцияпринимает значение, равное с, т. е.
точка пересечения графика квадратичной функции с осью ординат имеет координаты (О; с).Абсциссыточек пересеченинграфика функции с осью абсциссявляются корнями уравненияахn =ЬЕсли nО,2ЕслиЕслиD>-4ас< О,2+ Ьх + с = О.то точек пересечения с осью абсцисс нет.то имеется единственная точка пересечения (Х В ; О).О, то [(вадра,тноеимеет два корня, которыевычисляются по формулам Х1и Х2= -ЬtаVD ПО:JТОМУграфик функции имеет две точки пересечения с о(;ью абсцисс и ониимеют координаты (Х1; О) и (Х2;б, Промежутки знакопостоянства функции, Если аквадратичнан функцияЕсли а>ОBcel'iIa.и n ) О, то при х Е(-00; X1)U(X2; +(0)положительны, а при Х Е (хl; Х:2)ЕС.lrи а,<О иn < О,>О и<О,то:значения функцииотрицательны.то квадра.тичная функция Iтринимает толькоотрицательные значения при всех значениях х. Ес.rrи же а.'Го при Х Е (-сх); х 1)nпринимает положи'rе.lJъные значения.U(хз;+00)отрица.тельны, а при х Е (Х1; х,,)<ОиD )О,значения квадратичной функцииположительны.1О.
СвоЙстваквадратичной функции и ее графикIДоказательство.>Пусть аО.еслиD <37О, то область значесоставляют только положительные числа.>утверждения для случал аУ(3:}а(х - Х1)(Х - Х2),IПри ХО очевидна. ЕслиU (Х2; ~oo) значения выражений, стоящих в скоб(-00; 3:1)ках, будут иметь одинаковые знаки, что и означает положительностьвеличины у(х), если а> О.
Наоборот, при х ЕзнаI(И выраже<ний в скобках будет Р~1НЫМИ, и, следовательно,для случал а<О, если а> О.О проводится аналогично.7. Наибольшее и наименьшее зна'iения. Из анализа области значений-_.. ,.,-_.~а) если а>ОJфункции следует, что:то функция не имеет наибольшего значения, а наименьшееХ В И оно равно ув;зна'Iение принимает при Хб) если а< О, ТО функция не имеет наименьшего значения, а наибольшеезначение принимает при ХХ в И оно равно Ув'> О, то функция являетсяпри Х ~ Х в ; если а < О, то8.
Интервалы возрастания и убывания. Если аХ )Х в И убывающейявляется; возрастающей при Х :::; Х В И убывающей при Х )Хв ·Дока.1ательство. 'Рассмотрим разность значений квадратичной функции в точках Х2иУ(Х2)Х1(а(Х2 -+ УВ) -++ (Х]- Xl)а а> о и Х ВХ1:::;<Х2. Тогда все три сомножителя в полученном вьrражении пЬложительны.
Это означает, чтоУ(Х2) - У(Х1)т. е.приа>ОО{:}квадратичналY(;Z:l) < У(Х2),наявляется+(0).про меж уткеЕсли а>>Ои Х1<Х2 :::; Х в , тогда последниисомножитель отрицателен, а первые два положительны. Таким образом,) - У(Х1)что означает убывание при аСлучай а9.<ОАсимптоты.<о{:} >Оу(а:1)> У(Х2),функции на промежуткерассматривается аналогично.Графикасимптот не имеет.(-00;11. Свойства функции У38Графиком== k / Хквадратич:нойфункцииЯВЛЯетсякривая, называемаяпараболой,рис.10.1.
TO<IKa с координатами (Х в ,см.называется вершиной параболы. Параболаух 2 В результате следующихпоследовательных преоqразованиЙ." :1) Параллельныиперенос графика2у= ах + Ьх +сРис.а (Х - Х В) 2. + Ув полуЧ:ается из графикафункции Ухвдоль оси абсцисс на расстояние10.1.уХ2Ixal вправо, если Х в > О, и влево, если Ха < О.
Получ:им график у (Х х в )2.2) Растяжение графика у ==х в )2 вдоль оси ординат в lal раэ с последующим его симметричным отражением относительно оси абсцисс,если а<О. в результате ПОЛУ<Iается графlШфУНКЦИИ у==а (Х-2Хв) .3) Па.раллельпыЙ перепос графика у == а (Х - х в )2 вдоль оси ординатнаIUn 1 вверх,если Ув>О, И вниз, если у"< О.СВОЙСТВА Функции У = k/x и ЕЕ ГРАФИК11.Будем рассматривать только значенияшением уkхk =f-О. Задаваемую соотнофункцию называют обратной nРОnОРЦUО1-l0ЛЬ1-l0стью.Замечание. Если k == О, то формула У == ~ зада,ет функцию, принимающую знач:ение нуль при всех ненулевых знач:ениях переменной Х.В нуле она не определена.1.Область определения функции. Выражение у == k однознач:но опрехделено для любого деЙствите.rrьного числа Хпри Х===f-О и не имеет смыслаО, по;)тому область определения функции есть множество всехдеiiствительных '·IИсел, кроме нуля, Т.е.n(k),'1,;(-00;О) u (О; +(0),2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
